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1. 实数$a、b、c$在数轴上的位置如图所示，化简$|a|+\sqrt{(c-a)^2}+\sqrt[3]{(b+c)^3}-\sqrt{c^2}=$$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
1. $b+c$ 解析:由题意可得,$c＜a＜0＜b$,$|c|＞|b|$,$\therefore c-a＜0,b+c＜0$,$\therefore$原式$=-a+(a-c)+(b+c)-(-c)=-a+a-c+b+c+c=b+c$.
解析
【分析】
解题第一步先根据数轴上点的位置，判断出实数a、b、c的大小关系和正负性，再结合绝对值、二次根式、立方根的化简规则处理每一项：①负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身；②二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$，需先判断x的符号再去绝对值；③立方根$\sqrt[3]{x^3}=x$，化简后符号和被开方数一致。最后将各项化简结果合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$c＜a＜0＜1＜b$，且$|c|＞|b|$，
因此可得$a＜0$，$c-a＜0$，$c＜0$，
根据性质逐项化简：
$|a|=-a$，
$\sqrt{(c-a)^2}=|c-a|=a-c$，
$\sqrt[3]{(b+c)^3}=b+c$，
$\sqrt{c^2}=|c|=-c$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-a+(a-c)+(b+c)-(-c)\\&=-a+a-c+b+c+c\\&=b+c\end{aligned}$
【答案】
$b+c$
【知识点】
实数与数轴，绝对值化简，根式的性质
【点评】
本题是代数式化简的典型题型，解题关键是结合数轴准确判断各实数的正负，以及待化简代数式的符号，再熟练运用相关性质化简，去绝对值符号时要注意符号变换，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题第一步先根据数轴上点的位置，判断出实数a、b、c的大小关系和正负性，再结合绝对值、二次根式、立方根的化简规则处理每一项：①负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身；②二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$，需先判断x的符号再去绝对值；③立方根$\sqrt[3]{x^3}=x$，化简后符号和被开方数一致。最后将各项化简结果合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$c＜a＜0＜1＜b$，且$|c|＞|b|$，
因此可得$a＜0$，$c-a＜0$，$c＜0$，
根据性质逐项化简：
$|a|=-a$，
$\sqrt{(c-a)^2}=|c-a|=a-c$，
$\sqrt[3]{(b+c)^3}=b+c$，
$\sqrt{c^2}=|c|=-c$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-a+(a-c)+(b+c)-(-c)\\&=-a+a-c+b+c+c\\&=b+c\end{aligned}$
【答案】
$b+c$
【知识点】
实数与数轴，绝对值化简，根式的性质
【点评】
本题是代数式化简的典型题型，解题关键是结合数轴准确判断各实数的正负，以及待化简代数式的符号，再熟练运用相关性质化简，去绝对值符号时要注意符号变换，避免出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点 A 表示的实数为$-\sqrt{2}$,点 A 沿数轴向右移动了 2 个单位长度到达点 B,设点 B 表示的实数为 m.
(1)实数 m 的值为
(2)求$|m+2|+|m-2|$的值.
(3)若数轴上的 C、D 两点分别表示实数 c、d,且$|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数,求$3c+d$的平方根.
(1)实数 m 的值为
$2-\sqrt{2}$
.(2)求$|m+2|+|m-2|$的值.
(3)若数轴上的 C、D 两点分别表示实数 c、d,且$|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数,求$3c+d$的平方根.
答案
2. (1)$2-\sqrt{2}$ 解析:由题意可知,$AB=2$,$\therefore|m-(-\sqrt{2})|=2$,$\therefore|m+\sqrt{2}|=2$,$\therefore m+\sqrt{2}=2$,$\therefore m=2-\sqrt{2}$.
(2)由(1)可知,$m=2-\sqrt{2}$,$\therefore|m+2|+|m-2|=|2-\sqrt{2}+2|+|2-\sqrt{2}-2|=|4-\sqrt{2}|+|-\sqrt{2}|=4-\sqrt{2}+\sqrt{2}=4$.
(3)$\because|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数,$\therefore|2c+d|+\sqrt{d^2-144}=0$,$\therefore2c+d=0$,$d^2-144=0$,解得$d=\pm12$.当$d=12$时,$c=-6$,$3c+d=3×(-6)+12=-6$,此时$3c+d$无平方根;当$d=-12$时,$c=6$,$3c+d=3×6+(-12)=6$,此时$3c+d$的平方根是$\pm\sqrt{6}$.
(2)由(1)可知,$m=2-\sqrt{2}$,$\therefore|m+2|+|m-2|=|2-\sqrt{2}+2|+|2-\sqrt{2}-2|=|4-\sqrt{2}|+|-\sqrt{2}|=4-\sqrt{2}+\sqrt{2}=4$.
(3)$\because|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数,$\therefore|2c+d|+\sqrt{d^2-144}=0$,$\therefore2c+d=0$,$d^2-144=0$,解得$d=\pm12$.当$d=12$时,$c=-6$,$3c+d=3×(-6)+12=-6$,此时$3c+d$无平方根;当$d=-12$时,$c=6$,$3c+d=3×6+(-12)=6$,此时$3c+d$的平方根是$\pm\sqrt{6}$.
解析
【分析】
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数是$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位，直接计算即可得到m的值；
(2) 先根据m的取值范围判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并化简即可得到结果；
(3) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，可得两个非负式子分别为0，列方程求解c、d的值，再代入计算$3c+d$，最后根据平方根的定义判断并求出结果，注意负数没有平方根。
【解析】
(1) 点A表示的实数为$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位长度，因此$m = -\sqrt{2} + 2 = 2-\sqrt{2}$；
(2) 由(1)得$m=2-\sqrt{2}$，可知$0＜m＜1$，因此$m+2＞0$，$m-2＜0$：
$\begin{aligned}|m+2|+|m-2|&=|2-\sqrt{2}+2|+|2-\sqrt{2}-2|\\&=|4-\sqrt{2}|+|-\sqrt{2}|\\&=4-\sqrt{2}+\sqrt{2}\\&=4\end{aligned}$
(3) $\because|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数，$\therefore|2c+d| + \sqrt{d^2-144} = 0$，
又$\because|2c+d|≥0$，$\sqrt{d^2-144}≥0$，
$\therefore\begin{cases}2c+d=0\\d^2-144=0\end{cases}$，解得$d=\pm12$：
当$d=12$时，$2c+12=0$，解得$c=-6$，此时$3c+d=3×(-6)+12=-6$，负数没有平方根，舍去；
当$d=-12$时，$2c-12=0$，解得$c=6$，此时$3c+d=3×6+(-12)=6$，6的平方根为$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $2-\sqrt{2}$；(2) $4$；(3) $\pm\sqrt{6}$
【知识点】
数轴点的平移规律，绝对值的化简，非负数的性质
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，解题时要注意数轴平移的规律，去绝对值前先判断绝对值内式子的符号，求解第三问时要牢记绝对值和算术平方根的非负性，同时注意只有非负数才有平方根，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数是$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位，直接计算即可得到m的值；
(2) 先根据m的取值范围判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并化简即可得到结果；
(3) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，可得两个非负式子分别为0，列方程求解c、d的值，再代入计算$3c+d$，最后根据平方根的定义判断并求出结果，注意负数没有平方根。
【解析】
(1) 点A表示的实数为$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位长度，因此$m = -\sqrt{2} + 2 = 2-\sqrt{2}$；
(2) 由(1)得$m=2-\sqrt{2}$，可知$0＜m＜1$，因此$m+2＞0$，$m-2＜0$：
$\begin{aligned}|m+2|+|m-2|&=|2-\sqrt{2}+2|+|2-\sqrt{2}-2|\\&=|4-\sqrt{2}|+|-\sqrt{2}|\\&=4-\sqrt{2}+\sqrt{2}\\&=4\end{aligned}$
(3) $\because|2c+d|$与$\sqrt{d^2-144}$互为相反数，$\therefore|2c+d| + \sqrt{d^2-144} = 0$，
又$\because|2c+d|≥0$，$\sqrt{d^2-144}≥0$，
$\therefore\begin{cases}2c+d=0\\d^2-144=0\end{cases}$，解得$d=\pm12$：
当$d=12$时，$2c+12=0$，解得$c=-6$，此时$3c+d=3×(-6)+12=-6$，负数没有平方根，舍去；
当$d=-12$时，$2c-12=0$，解得$c=6$，此时$3c+d=3×6+(-12)=6$，6的平方根为$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $2-\sqrt{2}$；(2) $4$；(3) $\pm\sqrt{6}$
【知识点】
数轴点的平移规律，绝对值的化简，非负数的性质
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，解题时要注意数轴平移的规律，去绝对值前先判断绝对值内式子的符号，求解第三问时要牢记绝对值和算术平方根的非负性，同时注意只有非负数才有平方根，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
1. (2025·湖南)下列四个数中,最大的数是 (
A.3.5
B.$\sqrt{2}$
C.0
D.$-1$
A
)A.3.5
B.$\sqrt{2}$
C.0
D.$-1$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断四个数中最大的数，可按照实数大小比较的基本思路分步分析：首先根据数的正负性筛选，正数大于0、0大于负数，先排除小于等于0的选项；再对剩余的正数进行大小比较，估算出无理数√2的近似值后和3.5对比，就能得出最大的数。
【解析】
第一步，判断各选项数的正负属性：
A选项3.5是正数，B选项√2是正无理数，C选项0既不是正数也不是负数，D选项-1是负数。
第二步，根据实数大小比较法则：正数＞0＞负数，可知C、D选项的数小于A、B选项的数，先排除C、D。
第三步，估算√2的大小：我们知道1²=1，2²=4，所以√2在1和2之间，即√2≈1.414，显然1.414＜3.5，也就是√2＜3.5。
因此四个数中最大的数是3.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查实数大小比较规则的应用和常见无理数的估算能力，解题的关键是先通过正负性快速缩小可选范围，再对剩余正数做比较，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.95
要判断四个数中最大的数，可按照实数大小比较的基本思路分步分析：首先根据数的正负性筛选，正数大于0、0大于负数，先排除小于等于0的选项；再对剩余的正数进行大小比较，估算出无理数√2的近似值后和3.5对比，就能得出最大的数。
【解析】
第一步，判断各选项数的正负属性：
A选项3.5是正数，B选项√2是正无理数，C选项0既不是正数也不是负数，D选项-1是负数。
第二步，根据实数大小比较法则：正数＞0＞负数，可知C、D选项的数小于A、B选项的数，先排除C、D。
第三步，估算√2的大小：我们知道1²=1，2²=4，所以√2在1和2之间，即√2≈1.414，显然1.414＜3.5，也就是√2＜3.5。
因此四个数中最大的数是3.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查实数大小比较规则的应用和常见无理数的估算能力，解题的关键是先通过正负性快速缩小可选范围，再对剩余正数做比较，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.95
2. (2025·江西)下列各数中,是无理数的是 (
A.0
B.$\sqrt{2}$
C.3.14
D.$\dfrac{2}{3}$
B
)A.0
B.$\sqrt{2}$
C.3.14
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断一个数是不是无理数，首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时我们只需要逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数就能得到正确答案。
【解析】
根据相关定义逐一分析选项：
A. 0是整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
C. 3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查学生对有理数、无理数概念的区分能力，熟练掌握常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断一个数是不是无理数，首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时我们只需要逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数就能得到正确答案。
【解析】
根据相关定义逐一分析选项：
A. 0是整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
C. 3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查学生对有理数、无理数概念的区分能力，熟练掌握常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. (2025·广安)公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计$\sqrt{2}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
A
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
3. A
解析
【分析】
要估算$\sqrt{2}$的取值范围，核心思路是找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于和大于被开方数2，再根据“非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，就能推出$\sqrt{2}$的范围。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$
又$\because 1＜2＜4$
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
化简得$1＜\sqrt{2}＜2$
即$\sqrt{2}$的值在1和2之间，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查无理数估算的核心方法，只要掌握找被开方数相邻的两个完全平方数的技巧，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要估算$\sqrt{2}$的取值范围，核心思路是找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于和大于被开方数2，再根据“非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，就能推出$\sqrt{2}$的范围。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$
又$\because 1＜2＜4$
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
化简得$1＜\sqrt{2}＜2$
即$\sqrt{2}$的值在1和2之间，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查无理数估算的核心方法，只要掌握找被开方数相邻的两个完全平方数的技巧，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4. (2025·南充)如图,把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周,圆上点A到达点$A'$,点$A'$对应的数是2,则滚动前点A对应的数是 (
A.$2-2π$
B.$π-2$
C.$5-2π$
D.$2-π$
D
)A.$2-2π$
B.$π-2$
C.$5-2π$
D.$2-π$
答案
4. D 解析:由题意可知,$AA'=π×1=π$,设滚动前点 A 对应的数为$x$,$\therefore|2-x|=π$,$\therefore2-x=π$,$\therefore x=2-π$,$\therefore$滚动前点 A 对应的数是$2-π$.
解析
【分析】
解题首先要明确：圆沿数轴向右滚动一周时，点A移动的距离等于该圆的周长。第一步先根据圆的直径算出周长，也就是A到A'的距离；第二步结合数轴上点向右平移的规律：终点对应的数=起点对应的数+平移的距离，反向推导即可求出滚动前点A对应的数。
【解析】
已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得圆滚动一周的长度，即线段$AA'$的长度为：$AA'=π×1=π$。
设滚动前点A对应的数为$x$，因为圆沿数轴向右滚动，所以点A移动到$A'$满足关系：$x+π=2$，
解得$x=2-π$。
【答案】D
【知识点】
圆的周长计算；数轴上点的平移规律
【点评】
本题是圆的性质与数轴知识结合的基础综合题，解题核心是将圆滚动的实际路程转化为数轴上点的平移距离，考查学生对基础概念的理解和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确：圆沿数轴向右滚动一周时，点A移动的距离等于该圆的周长。第一步先根据圆的直径算出周长，也就是A到A'的距离；第二步结合数轴上点向右平移的规律：终点对应的数=起点对应的数+平移的距离，反向推导即可求出滚动前点A对应的数。
【解析】
已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得圆滚动一周的长度，即线段$AA'$的长度为：$AA'=π×1=π$。
设滚动前点A对应的数为$x$，因为圆沿数轴向右滚动，所以点A移动到$A'$满足关系：$x+π=2$，
解得$x=2-π$。
【答案】D
【知识点】
圆的周长计算；数轴上点的平移规律
【点评】
本题是圆的性质与数轴知识结合的基础综合题，解题核心是将圆滚动的实际路程转化为数轴上点的平移距离，考查学生对基础概念的理解和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
5. (2025·青海)4 的算术平方根是
2
.答案
5. 2
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。求4的算术平方根，只需要找到满足平方等于4的正数即可，注意不要和平方根的概念混淆，避免写出正负两个结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：
∵ $2^2 = 4$，且2是正数，
∴ 4的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分算术平方根与平方根的差异，算术平方根的结果为非负数，避免错写为$\pm2$。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。求4的算术平方根，只需要找到满足平方等于4的正数即可，注意不要和平方根的概念混淆，避免写出正负两个结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：
∵ $2^2 = 4$，且2是正数，
∴ 4的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分算术平方根与平方根的差异，算术平方根的结果为非负数，避免错写为$\pm2$。
【难度系数】
0.9
6. (2025·眉山)－27 的立方根是
-3
.答案
6. $-3$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。要求-27的立方根，只需找到哪个数的立方等于-27即可，同时结合立方根的性质，负数的立方根是负数，可先确定结果符号为负，再计算对应正数的立方根即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，因此-27的立方根是-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
立方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对立方根定义的理解和乘方运算的掌握，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数没有平方根，但有唯一的负立方根，避免概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。要求-27的立方根，只需找到哪个数的立方等于-27即可，同时结合立方根的性质，负数的立方根是负数，可先确定结果符号为负，再计算对应正数的立方根即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，因此-27的立方根是-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
立方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对立方根定义的理解和乘方运算的掌握，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数没有平方根，但有唯一的负立方根，避免概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.9
