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10. 若$ a $满足$ \sqrt{a} = \sqrt[3]{a} $，则$ a $的值为 （
A.1
B.0
C.0或1
D.0或1或-1
C
）A.1
B.0
C.0或1
D.0或1或-1
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先要明确根式有意义的条件：平方根的被开方数必须是非负数，因此可以先排除负数选项。接下来可以通过对等式两边同时乘方（取2和3的最小公倍数6次方）去掉根号，转化为整式方程求解，最后要验证解是否满足原等式。
【解析】
步骤1：确定a的取值范围
因为$\sqrt{a}$是平方根，被开方数需满足$a≥0$，因此$a=-1$不符合要求，排除选项D。
步骤2：去根号转化为整式方程
对等式$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$两边同时取6次方（6是根指数2和3的最小公倍数，乘方后可消去根号）：
左边：$(\sqrt{a})^6 = (a^{\frac{1}{2}})^6 = a^3$
右边：$(\sqrt[3]{a})^6 = (a^{\frac{1}{3}})^6 = a^2$
可得方程：$a^3 = a^2$
步骤3：解方程并验证
移项得：$a^3 - a^2 = 0$，因式分解得$a^2(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$
验证：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，等式成立；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，等式成立。
因此a的值为0或1。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；根式方程求解
【点评】
本题易错点是忽略平方根被开方数的非负性，误将-1计入答案，解题时要先确定未知数的取值范围，再通过乘方去根号的方法将根式方程转化为熟悉的整式方程求解，最后注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确根式有意义的条件：平方根的被开方数必须是非负数，因此可以先排除负数选项。接下来可以通过对等式两边同时乘方（取2和3的最小公倍数6次方）去掉根号，转化为整式方程求解，最后要验证解是否满足原等式。
【解析】
步骤1：确定a的取值范围
因为$\sqrt{a}$是平方根，被开方数需满足$a≥0$，因此$a=-1$不符合要求，排除选项D。
步骤2：去根号转化为整式方程
对等式$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$两边同时取6次方（6是根指数2和3的最小公倍数，乘方后可消去根号）：
左边：$(\sqrt{a})^6 = (a^{\frac{1}{2}})^6 = a^3$
右边：$(\sqrt[3]{a})^6 = (a^{\frac{1}{3}})^6 = a^2$
可得方程：$a^3 = a^2$
步骤3：解方程并验证
移项得：$a^3 - a^2 = 0$，因式分解得$a^2(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$
验证：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，等式成立；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，等式成立。
因此a的值为0或1。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；根式方程求解
【点评】
本题易错点是忽略平方根被开方数的非负性，误将-1计入答案，解题时要先确定未知数的取值范围，再通过乘方去根号的方法将根式方程转化为熟悉的整式方程求解，最后注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
11. 若$2x+7$的立方根是3，则$x$的值是________.
答案
11. 10
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。已知2x+7的立方根是3，说明2x+7等于3的立方，据此列出一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵2x+7的立方根是3
根据立方根的定义可得：$2x+7 = 3^3$
计算得：$2x + 7 = 27$
移项得：$2x = 27 - 7$
合并同类项得：$2x = 20$
系数化为1得：$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握立方根的定义，将立方根的条件转化为方程求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。已知2x+7的立方根是3，说明2x+7等于3的立方，据此列出一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵2x+7的立方根是3
根据立方根的定义可得：$2x+7 = 3^3$
计算得：$2x + 7 = 27$
移项得：$2x = 27 - 7$
合并同类项得：$2x = 20$
系数化为1得：$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握立方根的定义，将立方根的条件转化为方程求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.9
12. 如果$\sqrt{x}=8$，那么$\sqrt[3]{-x}=$
$-4$
.答案
$-4$
解析:$\because \sqrt{x}=8,\therefore x=64,\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}=-4.$
解析:$\because \sqrt{x}=8,\therefore x=64,\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}=-4.$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$\sqrt{x}=8$入手，根据算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，可先求出$x$的取值；再将$x$的值代入待求式$\sqrt[3]{-x}$中，结合立方根的运算规则，负数的立方根仍为负数，即可算出最终结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{x}=8$
$\therefore$ 两边同时平方得$x=8^2=64$
$\therefore -x=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的运算
【点评】
本题是基础运算题，解题关键是先利用算术平方根的性质求出未知数$x$的值，再代入计算立方根，计算时要注意符号问题，避免把负数的立方根算成正数。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件$\sqrt{x}=8$入手，根据算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，可先求出$x$的取值；再将$x$的值代入待求式$\sqrt[3]{-x}$中，结合立方根的运算规则，负数的立方根仍为负数，即可算出最终结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{x}=8$
$\therefore$ 两边同时平方得$x=8^2=64$
$\therefore -x=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的运算
【点评】
本题是基础运算题，解题关键是先利用算术平方根的性质求出未知数$x$的值，再代入计算立方根，计算时要注意符号问题，避免把负数的立方根算成正数。
【难度系数】
0.9
13. 若27的立方根是$x$，64的平方根是$y$，则$x+y$的值为
11或$-5$
.答案
11或$-5$
解析:$\because 27$的立方根是$x$,64的平方根是$y$,$\therefore x=3,y=\pm 8.$ 当$x=3,y=8$时,$x+y=3+8=11$;当$x=3,y=-8$时,$x+y=3-8=-5.$ 综上所述,$x+y$的值为11或$-5.$
解析:$\because 27$的立方根是$x$,64的平方根是$y$,$\therefore x=3,y=\pm 8.$ 当$x=3,y=8$时,$x+y=3+8=11$;当$x=3,y=-8$时,$x+y=3-8=-5.$ 综上所述,$x+y$的值为11或$-5.$
解析
【分析】
解题时首先要明确立方根和平方根的定义区别：正数的立方根只有1个正数，正数的平方根有2个且互为相反数。第一步先根据立方根的定义求出x的值，第二步根据平方根的定义求出y的所有可能值，最后分两种情况代入计算x+y的结果即可，注意不要漏算y为负数的情况。
【解析】
解：
∵27的立方根是x，根据立方根定义，$\sqrt[3]{27}=3$，
∴$x=3$。
∵64的平方根是y，根据平方根定义，$\pm\sqrt{64}=\pm8$，
∴$y=\pm8$。
分两种情况计算：
①当$y=8$时，$x+y=3+8=11$；
②当$y=-8$时，$x+y=3+(-8)=-5$。
综上，x+y的值为11或-5。
【答案】
11或$-5$
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查平方根与立方根的概念辨析，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，漏算y为负值的情况，导致结果缺漏。解题时要注意区分两个概念的差异，考虑所有可能的取值。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确立方根和平方根的定义区别：正数的立方根只有1个正数，正数的平方根有2个且互为相反数。第一步先根据立方根的定义求出x的值，第二步根据平方根的定义求出y的所有可能值，最后分两种情况代入计算x+y的结果即可，注意不要漏算y为负数的情况。
【解析】
解：
∵27的立方根是x，根据立方根定义，$\sqrt[3]{27}=3$，
∴$x=3$。
∵64的平方根是y，根据平方根定义，$\pm\sqrt{64}=\pm8$，
∴$y=\pm8$。
分两种情况计算：
①当$y=8$时，$x+y=3+8=11$；
②当$y=-8$时，$x+y=3+(-8)=-5$。
综上，x+y的值为11或-5。
【答案】
11或$-5$
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查平方根与立方根的概念辨析，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，漏算y为负值的情况，导致结果缺漏。解题时要注意区分两个概念的差异，考虑所有可能的取值。
【难度系数】
0.6
14. 若$\sqrt[3]{x-1}+1=x$，则$x$的值为________.
答案
0或1或2
解析:$\because \sqrt[3]{x-1}+1=x,\therefore \sqrt[3]{x-1}=x-1,\therefore x-1=-1$或$x-1=0$或$x-1=1$,解得$x=0$或$x=1$或$x=2.$
解析:$\because \sqrt[3]{x-1}+1=x,\therefore \sqrt[3]{x-1}=x-1,\therefore x-1=-1$或$x-1=0$或$x-1=1$,解得$x=0$或$x=1$或$x=2.$
解析
【分析】
遇到含立方根的方程，首先通过移项把不含根号的项移到等号另一侧，观察可得立方根的被开方数与等号右侧的整式均为$x-1$。再回忆立方根的性质：立方根等于它本身的数只有-1、0、1三个，因此分三种情况分别求解$x$，最后验证解均满足原方程即可。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$\sqrt[3]{x-1}=x-1$
根据立方根的性质，立方根等于其本身的数为-1、0、1，因此分三类讨论：
① 当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
② 当$x-1=0$时，解得$x=1$；
③ 当$x-1=1$时，解得$x=2$。
经检验，$x=0$、$x=1$、$x=2$均是原方程的解。
【答案】
0或1或2
【知识点】
立方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题考查立方根特殊性质的应用，解题核心是通过移项将方程转化为“一个数的立方根等于它本身”的形式，结合特殊值分类求解，注意不要遗漏-1对应的解。
【难度系数】
0.7
遇到含立方根的方程，首先通过移项把不含根号的项移到等号另一侧，观察可得立方根的被开方数与等号右侧的整式均为$x-1$。再回忆立方根的性质：立方根等于它本身的数只有-1、0、1三个，因此分三种情况分别求解$x$，最后验证解均满足原方程即可。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$\sqrt[3]{x-1}=x-1$
根据立方根的性质，立方根等于其本身的数为-1、0、1，因此分三类讨论：
① 当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
② 当$x-1=0$时，解得$x=1$；
③ 当$x-1=1$时，解得$x=2$。
经检验，$x=0$、$x=1$、$x=2$均是原方程的解。
【答案】
0或1或2
【知识点】
立方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题考查立方根特殊性质的应用，解题核心是通过移项将方程转化为“一个数的立方根等于它本身”的形式，结合特殊值分类求解，注意不要遗漏-1对应的解。
【难度系数】
0.7
15. 若两个连续整数$a$、$b$满足$a＜\sqrt[3]{68}＜b$，则$\dfrac{1}{ab}$的值为________.
答案
$\dfrac{1}{20}$
解析:$\because 64＜68＜125,\therefore \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$,即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$,$\therefore a=4,b=5$,$\therefore \dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{20}.$
解析:$\because 64＜68＜125,\therefore \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$,即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$,$\therefore a=4,b=5$,$\therefore \dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{20}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt[3]{68}$的取值范围，找到夹在它两侧的连续整数$a$、$b$。我们可以利用立方根的性质：被开方数越大，对应的立方根也越大，先找到与68相邻的两个完全立方数，通过比较它们的立方根就能确定$\sqrt[3]{68}$的范围，得到$a$、$b$的值后，代入$\dfrac{1}{ab}$计算即可。
【解析】
解：$\because 4^3=64$，$5^3=125$，且$64＜68＜125$
$\therefore \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$
又$\because a$、$b$是连续整数，且$a＜\sqrt[3]{68}＜b$
$\therefore a=4$，$b=5$
$\therefore \dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{4×5}=\dfrac{1}{20}$
【答案】
$\dfrac{1}{20}$
【知识点】
立方根的估算，无理数大小比较，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过寻找与被开方数相邻的完全立方数，估算出立方根的整数范围，确定$a$、$b$的数值后代入计算即可，熟记常见整数的立方值能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt[3]{68}$的取值范围，找到夹在它两侧的连续整数$a$、$b$。我们可以利用立方根的性质：被开方数越大，对应的立方根也越大，先找到与68相邻的两个完全立方数，通过比较它们的立方根就能确定$\sqrt[3]{68}$的范围，得到$a$、$b$的值后，代入$\dfrac{1}{ab}$计算即可。
【解析】
解：$\because 4^3=64$，$5^3=125$，且$64＜68＜125$
$\therefore \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$
又$\because a$、$b$是连续整数，且$a＜\sqrt[3]{68}＜b$
$\therefore a=4$，$b=5$
$\therefore \dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{4×5}=\dfrac{1}{20}$
【答案】
$\dfrac{1}{20}$
【知识点】
立方根的估算，无理数大小比较，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过寻找与被开方数相邻的完全立方数，估算出立方根的整数范围，确定$a$、$b$的数值后代入计算即可，熟记常见整数的立方值能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
16. 计算四个式子的值：$\sqrt{1^3}$、$\sqrt{1^3+2^3}$、$\sqrt{1^3+2^3+3^3}$、$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}$，观察计算结果，发现规律并得出：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
36
解析:$\sqrt{1^3}=1$;$\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{9}=3=1+2$;$\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{36}=6=1+2+3$;$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$;…;$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$,$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3}=1+2+3+4+5+6+7+8=36.$
解析:$\sqrt{1^3}=1$;$\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{9}=3=1+2$;$\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{36}=6=1+2+3$;$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$;…;$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$,$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3}=1+2+3+4+5+6+7+8=36.$
解析
【分析】
解题时先按照题目要求依次计算给出的4个式子的结果，再观察结果与式子中底数的关联：先分别计算各算术平方根的值，对比发现结果恰好等于式子中从1开始的连续底数的和，总结出通用规律后，将所求式子对应的底数最大值n=8代入规律计算即可得到答案。
【解析】
首先计算前4个式子的值：
1. $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$，结果等于底数1；
2. $\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$，结果等于$1+2$；
3. $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6$，结果等于$1+2+3$；
4. $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10$，结果等于$1+2+3+4$。
由此可归纳规律：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$。
所求式子对应$n=8$，代入得：
$\sqrt{1^3+2^3+\dots+8^3}=1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{(1+8)×8}{2}=36$。
【答案】
36
【知识点】
算术平方根计算，立方运算，规律探究
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，需要先准确计算基础式子的结果，再通过对比分析找到通用规律，最后用规律求解目标式，解题过程中要注意乘方和开方运算的准确性，避免计算前几项时出错导致规律总结错误。
【难度系数】
0.8
解题时先按照题目要求依次计算给出的4个式子的结果，再观察结果与式子中底数的关联：先分别计算各算术平方根的值，对比发现结果恰好等于式子中从1开始的连续底数的和，总结出通用规律后，将所求式子对应的底数最大值n=8代入规律计算即可得到答案。
【解析】
首先计算前4个式子的值：
1. $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$，结果等于底数1；
2. $\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$，结果等于$1+2$；
3. $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6$，结果等于$1+2+3$；
4. $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10$，结果等于$1+2+3+4$。
由此可归纳规律：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$。
所求式子对应$n=8$，代入得：
$\sqrt{1^3+2^3+\dots+8^3}=1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{(1+8)×8}{2}=36$。
【答案】
36
【知识点】
算术平方根计算，立方运算，规律探究
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，需要先准确计算基础式子的结果，再通过对比分析找到通用规律，最后用规律求解目标式，解题过程中要注意乘方和开方运算的准确性，避免计算前几项时出错导致规律总结错误。
【难度系数】
0.8
17. 已知$2a-1$的平方根是$\pm 3$，$3b+1$的立方根是$-2$，求$3a+2b$的值.
答案
$\because 2a-1$的平方根是$\pm 3$,$\therefore 2a-1=9$,$\therefore a=5$;$\because 3b+1$的立方根是$-2$,$\therefore 3b+1=-8$,$\therefore b=-3.$ $\therefore 3a+2b=3×5+2×(-3)=9.$
解析
【分析】
解题时先回忆平方根和立方根的性质：①若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；②若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³。我们可以先根据平方根的性质列方程求出a的值，再根据立方根的性质列方程求出b的值，最后把a、b的值代入3a+2b中计算即可得到结果。
【解析】
∵$2a-1$的平方根是$\pm 3$，
∴$2a-1=(\pm 3)^2=9$，
解得$a=5$；
∵$3b+1$的立方根是$-2$，
∴$3b+1=(-2)^3=-8$，
解得$b=-3$。
将$a=5$，$b=-3$代入$3a+2b$得：
$3a+2b=3×5+2×(-3)=15-6=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根和立方根的相关性质，通过性质建立方程求出未知参数的值，再代入代数式计算即可，解题时注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根和立方根的性质：①若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²；②若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³。我们可以先根据平方根的性质列方程求出a的值，再根据立方根的性质列方程求出b的值，最后把a、b的值代入3a+2b中计算即可得到结果。
【解析】
∵$2a-1$的平方根是$\pm 3$，
∴$2a-1=(\pm 3)^2=9$，
解得$a=5$；
∵$3b+1$的立方根是$-2$，
∴$3b+1=(-2)^3=-8$，
解得$b=-3$。
将$a=5$，$b=-3$代入$3a+2b$得：
$3a+2b=3×5+2×(-3)=15-6=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根和立方根的相关性质，通过性质建立方程求出未知参数的值，再代入代数式计算即可，解题时注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
18. 观察求算术平方根的规律,并利用这个规律解决下列问题:$\sqrt{0.0001}=0.01,\sqrt{0.01}=0.1$,
$\sqrt{1}=1,\sqrt{100}=10,\sqrt{10\ 000}=100······$
(1)已知$\sqrt{20}\approx4.47$,求$\sqrt{2\ 000}$的值.
(2)已知$\sqrt{3.68}\approx1.918,\sqrt{a}\approx191.8$,求$a$的值.
(3)根据上述探究方法,尝试解决问题:已知$\sqrt[3]{n}\approx1.26,\sqrt[3]{m}\approx12.6$,用含$n$的代数式表示$m$.
$\sqrt{1}=1,\sqrt{100}=10,\sqrt{10\ 000}=100······$
(1)已知$\sqrt{20}\approx4.47$,求$\sqrt{2\ 000}$的值.
(2)已知$\sqrt{3.68}\approx1.918,\sqrt{a}\approx191.8$,求$a$的值.
(3)根据上述探究方法,尝试解决问题:已知$\sqrt[3]{n}\approx1.26,\sqrt[3]{m}\approx12.6$,用含$n$的代数式表示$m$.
答案
(1)$\because \sqrt{20}\approx4.47$,$\therefore \sqrt{2000}=\sqrt{20}×\sqrt{100}\approx4.47×10=44.7.$
(2)$\because 191.8=1.918×100$,$\therefore \sqrt{a}=\sqrt{3.68}×100=\sqrt{3.68}×\sqrt{10000}=\sqrt{3.68×10000}=\sqrt{36800}$,$\therefore a=36800.$
(3)$\because 1.26×10=12.6$,$\therefore \sqrt[3]{n}×10=\sqrt[3]{m}$,$\therefore \sqrt[3]{n}×\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{1000n}=\sqrt[3]{m}$,$\therefore m=1000n.$
(2)$\because 191.8=1.918×100$,$\therefore \sqrt{a}=\sqrt{3.68}×100=\sqrt{3.68}×\sqrt{10000}=\sqrt{3.68×10000}=\sqrt{36800}$,$\therefore a=36800.$
(3)$\because 1.26×10=12.6$,$\therefore \sqrt[3]{n}×10=\sqrt[3]{m}$,$\therefore \sqrt[3]{n}×\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{1000n}=\sqrt[3]{m}$,$\therefore m=1000n.$
解析
【分析】
首先总结开方运算的规律：对于算术平方根，被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就同方向移动1位；对于立方根，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就同方向移动1位。
(1) 观察$\sqrt{20}$和$\sqrt{2000}$，被开方数从20变为2000，小数点向右移动了2位，因此算术平方根的小数点也向右移动1位即可求解。
(2) 观察$\sqrt{3.68}\approx1.918$和$\sqrt{a}\approx191.8$，算术平方根的小数点向右移动了2位，因此被开方数的小数点要向右移动4位，即可求出$a$的值。
(3) 观察立方根的结果，从1.26变为12.6，小数点向右移动了1位，因此被开方数的小数点要向右移动3位，即被开方数扩大1000倍，即可得到$m$和$n$的关系。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{20}\approx4.47$，
$\sqrt{2000}=\sqrt{20×100}=\sqrt{20}×\sqrt{100}\approx4.47×10=44.7$。
(2) 已知$\sqrt{3.68}\approx1.918$，$\sqrt{a}\approx191.8$，
因为$191.8=1.918×100$，
所以$\sqrt{a}=\sqrt{3.68}×100=\sqrt{3.68}×\sqrt{10000}=\sqrt{3.68×10000}=\sqrt{36800}$，
因此$a=36800$。
(3) 已知$\sqrt[3]{n}\approx1.26$，$\sqrt[3]{m}\approx12.6$，
因为$12.6=1.26×10$，
所以$\sqrt[3]{m}=\sqrt[3]{n}×10=\sqrt[3]{n}×\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{1000n}$，
因此$m=1000n$。
【答案】
(1) $\boxed{44.7}$；(2) $\boxed{36800}$；(3) $\boxed{m=1000n}$
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式乘法运算
【点评】
本题考查开方运算中被开方数和开方结果的小数点移动对应规律，解题关键是牢记算术平方根、立方根的小数点移动和被开方数小数点移动的对应关系，结合根式乘法运算即可快速求解，属于开方性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
首先总结开方运算的规律：对于算术平方根，被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就同方向移动1位；对于立方根，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就同方向移动1位。
(1) 观察$\sqrt{20}$和$\sqrt{2000}$，被开方数从20变为2000，小数点向右移动了2位，因此算术平方根的小数点也向右移动1位即可求解。
(2) 观察$\sqrt{3.68}\approx1.918$和$\sqrt{a}\approx191.8$，算术平方根的小数点向右移动了2位，因此被开方数的小数点要向右移动4位，即可求出$a$的值。
(3) 观察立方根的结果，从1.26变为12.6，小数点向右移动了1位，因此被开方数的小数点要向右移动3位，即被开方数扩大1000倍，即可得到$m$和$n$的关系。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{20}\approx4.47$，
$\sqrt{2000}=\sqrt{20×100}=\sqrt{20}×\sqrt{100}\approx4.47×10=44.7$。
(2) 已知$\sqrt{3.68}\approx1.918$，$\sqrt{a}\approx191.8$，
因为$191.8=1.918×100$，
所以$\sqrt{a}=\sqrt{3.68}×100=\sqrt{3.68}×\sqrt{10000}=\sqrt{3.68×10000}=\sqrt{36800}$，
因此$a=36800$。
(3) 已知$\sqrt[3]{n}\approx1.26$，$\sqrt[3]{m}\approx12.6$，
因为$12.6=1.26×10$，
所以$\sqrt[3]{m}=\sqrt[3]{n}×10=\sqrt[3]{n}×\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{1000n}$，
因此$m=1000n$。
【答案】
(1) $\boxed{44.7}$；(2) $\boxed{36800}$；(3) $\boxed{m=1000n}$
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式乘法运算
【点评】
本题考查开方运算中被开方数和开方结果的小数点移动对应规律，解题关键是牢记算术平方根、立方根的小数点移动和被开方数小数点移动的对应关系，结合根式乘法运算即可快速求解，属于开方性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
