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1. (教材例题变式)气温随着高度的升高而下降,下降的一般规律是从地面到高空11 km处,每升高1 km,气温下降$6\ °\mathrm{C}$;高于11 km,几乎不再变化.设地面的气温为$20\ °\mathrm{C}$,当离地面13 km时,气温为 (
A.$-44\ °\mathrm{C}$
B.$-45\ °\mathrm{C}$
C.$-46\ °\mathrm{C}$
D.$-47\ °\mathrm{C}$
C
)A.$-44\ °\mathrm{C}$
B.$-45\ °\mathrm{C}$
C.$-46\ °\mathrm{C}$
D.$-47\ °\mathrm{C}$
答案
解析:设升高到x km时温度为y ℃.根据题意,得y=20-6x(0≤x≤11).
∵高于11 km时,气温几乎不再变化,
∴离地面13 km时与离地面11 km时气温一样.当x=11时,y=20-6×11=-46,
∴当离地面13 km时,气温为-46 ℃.
∵高于11 km时,气温几乎不再变化,
∴离地面13 km时与离地面11 km时气温一样.当x=11时,y=20-6×11=-46,
∴当离地面13 km时,气温为-46 ℃.
解析
【分析】
本题属于分段函数的实际应用问题，解题时首先要理清不同高度区间对应的气温变化规则：第一，0~11km范围内，气温随高度升高均匀下降，可通过一次函数建立气温和高度的关系；第二，高度超过11km时，气温不再变化，和11km处的气温一致。要求13km处的气温，首先判断13km超出了11km的范围，因此只需先求出11km处的气温，即可得到13km处的气温。
【解析】
设离地面的高度为x km，对应位置的气温为y ℃。
根据题意，当$0≤ x≤11$时，地面气温为$20\ °\mathrm{C}$，每升高1km气温下降$6\ °\mathrm{C}$，可得函数表达式：$y=20-6x$。
因为高度高于11km时气温几乎不再变化，所以离地面13km处的气温和11km处的气温相等。
将$x=11$代入表达式计算：$y=20-6×11=20-66=-46$，即13km处的气温为$-46\ °\mathrm{C}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用；分段函数求值
【点评】
本题结合生活中气温随高度变化的规律出题，解题核心是认真审题，准确区分不同区间的计算规则，避免直接将13代入0~11km的函数式计算，侧重考查对题意的理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
本题属于分段函数的实际应用问题，解题时首先要理清不同高度区间对应的气温变化规则：第一，0~11km范围内，气温随高度升高均匀下降，可通过一次函数建立气温和高度的关系；第二，高度超过11km时，气温不再变化，和11km处的气温一致。要求13km处的气温，首先判断13km超出了11km的范围，因此只需先求出11km处的气温，即可得到13km处的气温。
【解析】
设离地面的高度为x km，对应位置的气温为y ℃。
根据题意，当$0≤ x≤11$时，地面气温为$20\ °\mathrm{C}$，每升高1km气温下降$6\ °\mathrm{C}$，可得函数表达式：$y=20-6x$。
因为高度高于11km时气温几乎不再变化，所以离地面13km处的气温和11km处的气温相等。
将$x=11$代入表达式计算：$y=20-6×11=20-66=-46$，即13km处的气温为$-46\ °\mathrm{C}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用；分段函数求值
【点评】
本题结合生活中气温随高度变化的规律出题，解题核心是认真审题，准确区分不同区间的计算规则，避免直接将13代入0~11km的函数式计算，侧重考查对题意的理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
2. 下表为摄氏温度和华氏温度部分计量值的对应表.
根据表格信息,当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时,这个值是
根据表格信息,当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时,这个值是
-40
.答案
解析:通过表格中数据可知,华氏温度值y(℉)与摄氏温度值x(℃)之间满足一次函数关系,设华氏温度值y(℉)关于摄氏温度值x(℃)的函数表达式为y=kx+b(k≠0).根据题意,得$\begin{cases} b=32,\\ 10k+b=50, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1.8,\\ b=32, \end{cases}$
∴y=1.8x+32.当y=x时,x=1.8x+32,解得x=-40.故当华氏温度值为-40时,摄氏温度值也是-40.
∴y=1.8x+32.当y=x时,x=1.8x+32,解得x=-40.故当华氏温度值为-40时,摄氏温度值也是-40.
解析
【分析】
观察表格数据可发现，摄氏温度每升高10℃，华氏温度对应升高18℉，温度变化均匀，说明华氏温度与摄氏温度满足一次函数关系。解题时首先用待定系数法求出两个温度之间的函数关系式，再根据“华氏温度值和摄氏温度值相等”的条件，令函数中y=x，代入解析式解方程即可得到所求数值。
【解析】
设华氏温度值$y(°\mathrm{F})$关于摄氏温度值$x(°\mathrm{C})$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=0,y=32$和$x=10,y=50$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=32\\ 10k+b=50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1.8\\ b=32 \end{cases}$
因此函数表达式为$y=1.8x+32$。
当华氏温度值和摄氏温度值相等时，$y=x$，代入得：
$x=1.8x+32$
移项计算：$-0.8x=32$，解得$x=-40$。
【答案】
$-40$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合温度换算的生活场景，考查学生建立函数模型解决实际问题的能力，解题关键是通过数据的均匀变化规律判断函数类型，再用待定系数法求出解析式后列方程求解，同时考查了函数和方程的相关知识。
【难度系数】
0.7
观察表格数据可发现，摄氏温度每升高10℃，华氏温度对应升高18℉，温度变化均匀，说明华氏温度与摄氏温度满足一次函数关系。解题时首先用待定系数法求出两个温度之间的函数关系式，再根据“华氏温度值和摄氏温度值相等”的条件，令函数中y=x，代入解析式解方程即可得到所求数值。
【解析】
设华氏温度值$y(°\mathrm{F})$关于摄氏温度值$x(°\mathrm{C})$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=0,y=32$和$x=10,y=50$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=32\\ 10k+b=50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1.8\\ b=32 \end{cases}$
因此函数表达式为$y=1.8x+32$。
当华氏温度值和摄氏温度值相等时，$y=x$，代入得：
$x=1.8x+32$
移项计算：$-0.8x=32$，解得$x=-40$。
【答案】
$-40$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合温度换算的生活场景，考查学生建立函数模型解决实际问题的能力，解题关键是通过数据的均匀变化规律判断函数类型，再用待定系数法求出解析式后列方程求解，同时考查了函数和方程的相关知识。
【难度系数】
0.7
3. 已知一个无盖的长方体水池的体积为$800\ \mathrm{m}^3$，其底部是边长为$10\ \mathrm{m}$的正方形，测得现在水面的高度为$3\ \mathrm{m}$，若打开进水阀，每小时可注入水$50\ \mathrm{m}^3$。
(1)写出水池中水的体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)关于时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)的函数表达式.(不要求写自变量的取值范围)
(2)$5\ \mathrm{h}$后，水池中水的体积是多少立方米？
(3)多长时间后，水池可以注满水？
(1)写出水池中水的体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)关于时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)的函数表达式.(不要求写自变量的取值范围)
(2)$5\ \mathrm{h}$后，水池中水的体积是多少立方米？
(3)多长时间后，水池可以注满水？
答案
(1)$V=10^2×3+50t=50t+300$.
(2)当t=5时,V=50×5+300=550.
∵550＜800,
∴5 h后,水池中水的体积是550 m³.
(3)令50t+300=800,解得t=10,
∴10 h后,水池可以注满水.
(2)当t=5时,V=50×5+300=550.
∵550＜800,
∴5 h后,水池中水的体积是550 m³.
(3)令50t+300=800,解得t=10,
∴10 h后,水池可以注满水.
解析
【分析】
(1) 要推导水的体积V与时间t的函数关系，首先需明确总水量=原有水量+t小时的注水量。先利用长方体体积公式算出当前水池内的原有水量，再结合每小时注水量表示出t小时的总注水量，两者相加即可得到函数表达式。
(2) 求5小时后的水体积，只需将t=5代入第一问得到的函数表达式计算结果，再和水池总容积对比，确认无溢出就是最终结果。
(3) 水池注满时总水量等于水池容积800m³，将V=800代入函数表达式，解一元一次方程即可得到注满所需的时间。
【解析】
(1) 先计算水池原有水的体积：底部是边长为10m的正方形，当前水面高度为3m，根据长方体体积公式，原有水量为$10^2×3=300\ \mathrm{m}^3$。每小时注入$50\ \mathrm{m}^3$水，t小时的注水量为$50t\ \mathrm{m}^3$，因此总水量$V=300+50t$，即$V=50t+300$。
(2) 将$t=5$代入$V=50t+300$，得$V=50×5+300=550$。因为$550＜800$，水未溢出，所以5h后水池中水的体积是550$\mathrm{m}^3$。
(3) 水池注满时水的体积为800$\mathrm{m}^3$，令$V=800$，代入表达式得$50t+300=800$，解得$t=10$，即10h后水池可以注满水。
【答案】
(1)$V=50t+300$
(2)$550\ \mathrm{m}^3$
(3)$10\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数的实际应用；代入法求函数值；一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，重点考察从实际问题中提炼数量关系的能力，只要理清初始量、变化量和总数量之间的逻辑关系，就能顺利解答，同时要注意实际问题中结果的合理性校验。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导水的体积V与时间t的函数关系，首先需明确总水量=原有水量+t小时的注水量。先利用长方体体积公式算出当前水池内的原有水量，再结合每小时注水量表示出t小时的总注水量，两者相加即可得到函数表达式。
(2) 求5小时后的水体积，只需将t=5代入第一问得到的函数表达式计算结果，再和水池总容积对比，确认无溢出就是最终结果。
(3) 水池注满时总水量等于水池容积800m³，将V=800代入函数表达式，解一元一次方程即可得到注满所需的时间。
【解析】
(1) 先计算水池原有水的体积：底部是边长为10m的正方形，当前水面高度为3m，根据长方体体积公式，原有水量为$10^2×3=300\ \mathrm{m}^3$。每小时注入$50\ \mathrm{m}^3$水，t小时的注水量为$50t\ \mathrm{m}^3$，因此总水量$V=300+50t$，即$V=50t+300$。
(2) 将$t=5$代入$V=50t+300$，得$V=50×5+300=550$。因为$550＜800$，水未溢出，所以5h后水池中水的体积是550$\mathrm{m}^3$。
(3) 水池注满时水的体积为800$\mathrm{m}^3$，令$V=800$，代入表达式得$50t+300=800$，解得$t=10$，即10h后水池可以注满水。
【答案】
(1)$V=50t+300$
(2)$550\ \mathrm{m}^3$
(3)$10\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数的实际应用；代入法求函数值；一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，重点考察从实际问题中提炼数量关系的能力，只要理清初始量、变化量和总数量之间的逻辑关系，就能顺利解答，同时要注意实际问题中结果的合理性校验。
【难度系数】
0.8
4. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
答案
(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元.根据题意,得$\begin{cases} 10a+20b=4\ 000,\\ 20a+10b=3\ 500, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=100,\\ b=150. \end{cases}$答:每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.
(2)①根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15 000.
②根据题意,得100-x≤2x,解得$x≥ 33\dfrac{1}{3}$.
∵y=-50x+15 000,
∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数,
∴当x=34时,y取得最大值,最大利润为-50×34+15 000=13 300(元),此时100-x=66.答:商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时,销售总利润最大,最大利润为13 300元.
(2)①根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15 000.
②根据题意,得100-x≤2x,解得$x≥ 33\dfrac{1}{3}$.
∵y=-50x+15 000,
∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数,
∴当x=34时,y取得最大值,最大利润为-50×34+15 000=13 300(元),此时100-x=66.答:商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时,销售总利润最大,最大利润为13 300元.
解析
【分析】
(1) 要求每台A、B型电脑的销售利润，题目给出了两种不同销售组合的总利润，可分别设两种电脑的单台利润为未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”列两个方程，组成二元一次方程组求解即可。
(2) ①已知购进A型电脑x台，总购进量为100台，因此B型电脑购进量为(100-x)台，总利润等于A型总利润加B型总利润，代入单台利润即可整理得到y关于x的函数表达式。②首先根据“B型电脑进货量不超过A型的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，以及x为正整数的实际要求，找到使y最大的x值，进而计算最大利润和对应B型电脑的数量。
【解析】
(1) 设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元。
根据题意，得：
$\begin{cases} 10a+20b=4000\\ 20a+10b=3500 \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程化简为$a=400-2b$，代入第二个方程，得$20(400-2b)+10b=3500$，解得$b=150$，再代入得$a=100$。
即$\begin{cases} a=100\\ b=150 \end{cases}$
(2) ① 购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润：
$y=100x+150(100-x)$
整理得：$y=-50x+15000$
② 根据题意，B型进货量不超过A型的2倍，列不等式：
$100-x ≤ 2x$
解得$x ≥ 33\dfrac{1}{3}$
在一次函数$y=-50x+15000$中，$k=-50＜0$，因此y随x的增大而减小。
由于x为正整数，所以当x取最小正整数值34时，y取得最大值。
此时最大利润为：$y=-50×34+15000=13300$（元）
对应B型电脑数量为：$100-34=66$（台）
【答案】
(1) 每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元。
(2) ① $y=-50x+15000$；② 购进34台A型电脑和66台B型电脑时销售总利润最大，最大利润为13300元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，综合考查了方程组、不等式和一次函数的相关知识，解题核心是找准等量关系列方程、找不等关系求自变量范围，再结合函数增减性求最值，需要注意自变量取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 要求每台A、B型电脑的销售利润，题目给出了两种不同销售组合的总利润，可分别设两种电脑的单台利润为未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”列两个方程，组成二元一次方程组求解即可。
(2) ①已知购进A型电脑x台，总购进量为100台，因此B型电脑购进量为(100-x)台，总利润等于A型总利润加B型总利润，代入单台利润即可整理得到y关于x的函数表达式。②首先根据“B型电脑进货量不超过A型的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，以及x为正整数的实际要求，找到使y最大的x值，进而计算最大利润和对应B型电脑的数量。
【解析】
(1) 设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元。
根据题意，得：
$\begin{cases} 10a+20b=4000\\ 20a+10b=3500 \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程化简为$a=400-2b$，代入第二个方程，得$20(400-2b)+10b=3500$，解得$b=150$，再代入得$a=100$。
即$\begin{cases} a=100\\ b=150 \end{cases}$
(2) ① 购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润：
$y=100x+150(100-x)$
整理得：$y=-50x+15000$
② 根据题意，B型进货量不超过A型的2倍，列不等式：
$100-x ≤ 2x$
解得$x ≥ 33\dfrac{1}{3}$
在一次函数$y=-50x+15000$中，$k=-50＜0$，因此y随x的增大而减小。
由于x为正整数，所以当x取最小正整数值34时，y取得最大值。
此时最大利润为：$y=-50×34+15000=13300$（元）
对应B型电脑数量为：$100-34=66$（台）
【答案】
(1) 每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元。
(2) ① $y=-50x+15000$；② 购进34台A型电脑和66台B型电脑时销售总利润最大，最大利润为13300元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，综合考查了方程组、不等式和一次函数的相关知识，解题核心是找准等量关系列方程、找不等关系求自变量范围，再结合函数增减性求最值，需要注意自变量取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
