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1. 方程 $x^{2}+|x-1|-1=0$ 的解为 （
A.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
B.$x_{1}=1,x_{2}=0$
C.$x_{1}=x_{2}=1$
D.$x_{1}=x_{2}=-2$
B
）A.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
B.$x_{1}=1,x_{2}=0$
C.$x_{1}=x_{2}=1$
D.$x_{1}=x_{2}=-2$
答案
B
解析
【分析】
含绝对值的方程需先根据绝对值内表达式的正负性分情况讨论，去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解，再检验解是否满足对应情况的取值范围，最终确定方程的解并匹配选项。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当 $ x ≥ 1 $ 时，$ |x-1|=x-1 $，原方程化为：
$ x^2 + (x-1) -1 = 0 $，整理得 $ x^2 + x -2 =0 $，
因式分解得 $ (x+2)(x-1)=0 $，解得 $ x=-2 $ 或 $ x=1 $。
因 $ x ≥1 $，故舍去 $ x=-2 $，保留 $ x=1 $；
② 当 $ x ＜1 $ 时，$ |x-1|=1-x $，原方程化为：
$ x^2 + (1-x) -1 =0 $，整理得 $ x^2 -x=0 $，
因式分解得 $ x(x-1)=0 $，解得 $ x=0 $ 或 $ x=1 $。
因 $ x ＜1 $，故舍去 $ x=1 $，保留 $ x=0 $；
综上，方程的解为 $ x_1=0, x_2=1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值方程，一元二次方程求解
【点评】
本题考查含绝对值的一元二次方程的解法，核心是利用绝对值的性质分情况去绝对值，需注意检验解的合理性，避免增根，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
含绝对值的方程需先根据绝对值内表达式的正负性分情况讨论，去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解，再检验解是否满足对应情况的取值范围，最终确定方程的解并匹配选项。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当 $ x ≥ 1 $ 时，$ |x-1|=x-1 $，原方程化为：
$ x^2 + (x-1) -1 = 0 $，整理得 $ x^2 + x -2 =0 $，
因式分解得 $ (x+2)(x-1)=0 $，解得 $ x=-2 $ 或 $ x=1 $。
因 $ x ≥1 $，故舍去 $ x=-2 $，保留 $ x=1 $；
② 当 $ x ＜1 $ 时，$ |x-1|=1-x $，原方程化为：
$ x^2 + (1-x) -1 =0 $，整理得 $ x^2 -x=0 $，
因式分解得 $ x(x-1)=0 $，解得 $ x=0 $ 或 $ x=1 $。
因 $ x ＜1 $，故舍去 $ x=1 $，保留 $ x=0 $；
综上，方程的解为 $ x_1=0, x_2=1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值方程，一元二次方程求解
【点评】
本题考查含绝对值的一元二次方程的解法，核心是利用绝对值的性质分情况去绝对值，需注意检验解的合理性，避免增根，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 已知$□ ABCD$的面积为12，且$AB,BC$($AB＜BC$)的长是方程$x^{2}-10x+24=0$的两个根. 过点$A$作直线$BC$的垂线交$BC$于点$E$，过点$A$作直线$CD$的垂线交$CD$于点$F$，则$CE+CF$的值为
$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$
.答案
$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$ 提示:解方程$x^{2}-10x+24=0$,得$x_{1}=4,x_{2}=6$,所以$AB=CD=4,BC=AD=6$. ①
,因为$S_{□ ABCD}=BC· AE=CD· AF=12$,所以$AE=2,AF=3$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$,在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=3\sqrt{3}$,所以$CE+CF=BC-BE+DF-CD=2+\sqrt{3}$. ②
,因为$S_{□ ABCD}=BC· AE=CD· AF=12$,所以$AE=2,AF=3$.在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$,在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=3\sqrt{3}$,所以$CE+CF=BC+BE+DF+CD=10+5\sqrt{3}$. 综上所述,$CE+CF$的值为$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$.解析
【分析】
首先解方程求出AB、BC的长度，利用平行四边形对边相等得到CD、AD的长度；再根据平行四边形面积公式求出高AE、AF的长度；接着分两种情况（高在边内部和外部），结合勾股定理计算BE、DF的长度，进而求出CE、CF的长度，最后相加得到结果，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
1. 解方程：对$x^2 -10x +24=0$因式分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。因为$AB＜BC$，所以$AB=4$，$BC=6$。由平行四边形性质得：$CD=AB=4$，$AD=BC=6$。
2. 利用平行四边形面积公式$S=底×高$：
以$BC$为底时，$S_{□ABCD}=BC·AE=12$，则$AE=\frac{12}{6}=2$；
以$CD$为底时，$S_{□ABCD}=CD·AF=12$，则$AF=\frac{12}{4}=3$。
3. 分两种情况计算：
情况1（高在边内部）：
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{4^2 -2^2}=2\sqrt{3}$，则$CE=BC - BE=6 -2\sqrt{3}$；
在$Rt△ADF$中，由勾股定理得$DF=\sqrt{AD^2 - AF^2}=\sqrt{6^2 -3^2}=3\sqrt{3}$，则$CF=DF - CD=3\sqrt{3}-4$；
所以$CE+CF=(6-2\sqrt{3})+(3\sqrt{3}-4)=2+\sqrt{3}$。
情况2（高在边延长线上）：
在$Rt△ABE$中，$BE=2\sqrt{3}$，此时$CE=BC + BE=6+2\sqrt{3}$；
在$Rt△ADF$中，$DF=3\sqrt{3}$，此时$CF=CD + DF=4+3\sqrt{3}$；
所以$CE+CF=(6+2\sqrt{3})+(4+3\sqrt{3})=10+5\sqrt{3}$。
综上，$CE+CF$的值为$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$。
【答案】
$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形性质，一元二次方程解法，勾股定理
【点评】
本题需结合平行四边形性质、面积公式和勾股定理求解，关键是分类讨论高的位置，避免漏解，考查学生的逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.5
首先解方程求出AB、BC的长度，利用平行四边形对边相等得到CD、AD的长度；再根据平行四边形面积公式求出高AE、AF的长度；接着分两种情况（高在边内部和外部），结合勾股定理计算BE、DF的长度，进而求出CE、CF的长度，最后相加得到结果，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
1. 解方程：对$x^2 -10x +24=0$因式分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。因为$AB＜BC$，所以$AB=4$，$BC=6$。由平行四边形性质得：$CD=AB=4$，$AD=BC=6$。
2. 利用平行四边形面积公式$S=底×高$：
以$BC$为底时，$S_{□ABCD}=BC·AE=12$，则$AE=\frac{12}{6}=2$；
以$CD$为底时，$S_{□ABCD}=CD·AF=12$，则$AF=\frac{12}{4}=3$。
3. 分两种情况计算：
情况1（高在边内部）：
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{4^2 -2^2}=2\sqrt{3}$，则$CE=BC - BE=6 -2\sqrt{3}$；
在$Rt△ADF$中，由勾股定理得$DF=\sqrt{AD^2 - AF^2}=\sqrt{6^2 -3^2}=3\sqrt{3}$，则$CF=DF - CD=3\sqrt{3}-4$；
所以$CE+CF=(6-2\sqrt{3})+(3\sqrt{3}-4)=2+\sqrt{3}$。
情况2（高在边延长线上）：
在$Rt△ABE$中，$BE=2\sqrt{3}$，此时$CE=BC + BE=6+2\sqrt{3}$；
在$Rt△ADF$中，$DF=3\sqrt{3}$，此时$CF=CD + DF=4+3\sqrt{3}$；
所以$CE+CF=(6+2\sqrt{3})+(4+3\sqrt{3})=10+5\sqrt{3}$。
综上，$CE+CF$的值为$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$。
【答案】
$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形性质，一元二次方程解法，勾股定理
【点评】
本题需结合平行四边形性质、面积公式和勾股定理求解，关键是分类讨论高的位置，避免漏解，考查学生的逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.5
3. 阅读与思考:将式子$x^{2}-6x+8$分解因式.
解法一:整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由$(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$,
得$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.
分析:这个式子的常数项$8=(-2) ×$$(-4)$,一次项系数$-6=(-2)+(-4)$,所以$x^{2}-6x+8=x^{2}+[(-2)+(-4)]x+$$(-2) ×(-4)$,所以$x^{2}-6x+8=(x-2)·$$(x-4)$.
解法二:配方的思想.
$x^{2}-6x+8=x^{2}-6x+9-9+8=(x-$$3)^{2}-1^{2}=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)·$$(x-4)$.
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1) 分解因式:$x^{2}+5x+6=(x+\_\_\_\_\_\_)·$$(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2) 请用上述两种方法解方程(需写出每种方法的具体步骤):
①$x^{2}+6x-27=0$;
②$4x^{2}-8x-5=0$.
解法一:整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由$(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$,
得$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.
分析:这个式子的常数项$8=(-2) ×$$(-4)$,一次项系数$-6=(-2)+(-4)$,所以$x^{2}-6x+8=x^{2}+[(-2)+(-4)]x+$$(-2) ×(-4)$,所以$x^{2}-6x+8=(x-2)·$$(x-4)$.
解法二:配方的思想.
$x^{2}-6x+8=x^{2}-6x+9-9+8=(x-$$3)^{2}-1^{2}=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)·$$(x-4)$.
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1) 分解因式:$x^{2}+5x+6=(x+\_\_\_\_\_\_)·$$(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2) 请用上述两种方法解方程(需写出每种方法的具体步骤):
①$x^{2}+6x-27=0$;
②$4x^{2}-8x-5=0$.
答案
(1) 3 2
(2) ①解法一:$x^{2}+6x-27=0$,$(x+9)·(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9,x_{2}=3$;
解法二:$x^{2}+6x-27=0$,$x^{2}+6x+9-9-27=0$,$(x+3)^{2}-36=0$,$(x+3+6)(x+3-6)=0$,$(x+9)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9,x_{2}=3$.
②解法一:$4x^{2}-8x-5=0$,$(2x+1)(2x-5)=0$,解得$x_{1}=-\dfrac{1}{2},x_{2}=\dfrac{5}{2}$;
解法二:$4x^{2}-8x-5=0$,$4x^{2}-8x+4-4-5=0$,$(2x-2)^{2}-9=0$,$(2x-2+3)(2x-2-3)=0$,$(2x+1)(2x-5)=0$,解得$x_{1}=-\dfrac{1}{2},x_{2}=\dfrac{5}{2}$.
(2) ①解法一:$x^{2}+6x-27=0$,$(x+9)·(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9,x_{2}=3$;
解法二:$x^{2}+6x-27=0$,$x^{2}+6x+9-9-27=0$,$(x+3)^{2}-36=0$,$(x+3+6)(x+3-6)=0$,$(x+9)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9,x_{2}=3$.
②解法一:$4x^{2}-8x-5=0$,$(2x+1)(2x-5)=0$,解得$x_{1}=-\dfrac{1}{2},x_{2}=\dfrac{5}{2}$;
解法二:$4x^{2}-8x-5=0$,$4x^{2}-8x+4-4-5=0$,$(2x-2)^{2}-9=0$,$(2x-2+3)(2x-2-3)=0$,$(2x+1)(2x-5)=0$,解得$x_{1}=-\dfrac{1}{2},x_{2}=\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题要求仿照给定的十字相乘法（整式乘法逆变形）和配方法分解因式的思路，解决因式分解和一元二次方程求解问题。第(1)题直接用十字相乘法，找常数项的两个因数，使其和等于一次项系数；第(2)题的两个方程分别用两种方法：解法一利用十字相乘法分解因式后求解，解法二通过配方转化为平方差形式，再用平方差公式分解因式后求解，需注意二次项系数不为1时的整体配方处理。
【解析】
(1) 对于$x^2+5x+6$，常数项$6=2×3$，一次项系数$5=2+3$，根据十字相乘法可得：
$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$；
(2) ① 解方程$x^2+6x-27=0$：
解法一（十字相乘法）：常数项$-27=9×(-3)$，一次项系数$6=9+(-3)$，分解因式得：
$(x+9)(x-3)=0$，
则$x+9=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$；
解法二（配方法）：移项后配方：$x^2+6x+9-9-27=0$，
即$(x+3)^2-36=0$，利用平方差公式分解：$(x+3)^2-6^2=(x+3+6)(x+3-6)=0$，
即$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$；
② 解方程$4x^2-8x-5=0$：
解法一（十字相乘法）：二次项系数$4=2×2$，常数项$-5=1×(-5)$，交叉相乘和为$2×(-5)+2×1=-8$（等于一次项系数），分解因式得：
$(2x+1)(2x-5)=0$，
则$2x+1=0$或$2x-5=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$；
解法二（配方法）：将原式变形为关于$2x$的平方形式：$(2x)^2-2×(2x)×2+2^2-2^2-5=0$，
整理得：$(2x-2)^2-9=0$，利用平方差公式分解：$(2x-2)^2-3^2=(2x-2+3)(2x-2-3)=0$，
即$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$；
【答案】
(1) $3$；$2$
(2) ① 解法一：$x^2+6x-27=0$，$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9,x_2=3$；
解法二：$x^2+6x-27=0$，$x^2+6x+9-9-27=0$，$(x+3)^2-36=0$，$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9,x_2=3$；
② 解法一：$4x^2-8x-5=0$，$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{5}{2}$；
解法二：$4x^2-8x-5=0$，$4x^2-8x+4-4-5=0$，$(2x-2)^2-9=0$，$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{5}{2}$；
【知识点】
十字相乘法分解因式、配方法解一元二次方程、平方差公式分解因式
【点评】
本题是对因式分解两种核心方法（十字相乘法、配方法）的综合应用，既考查因式分解的逆向思维，又结合一元二次方程的解法，题型基础，需学生熟练掌握两种方法的操作步骤，尤其是二次项系数不为1时的整体配方处理，是初中数学的重点内容。
【难度系数】
0.6
本题要求仿照给定的十字相乘法（整式乘法逆变形）和配方法分解因式的思路，解决因式分解和一元二次方程求解问题。第(1)题直接用十字相乘法，找常数项的两个因数，使其和等于一次项系数；第(2)题的两个方程分别用两种方法：解法一利用十字相乘法分解因式后求解，解法二通过配方转化为平方差形式，再用平方差公式分解因式后求解，需注意二次项系数不为1时的整体配方处理。
【解析】
(1) 对于$x^2+5x+6$，常数项$6=2×3$，一次项系数$5=2+3$，根据十字相乘法可得：
$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$；
(2) ① 解方程$x^2+6x-27=0$：
解法一（十字相乘法）：常数项$-27=9×(-3)$，一次项系数$6=9+(-3)$，分解因式得：
$(x+9)(x-3)=0$，
则$x+9=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$；
解法二（配方法）：移项后配方：$x^2+6x+9-9-27=0$，
即$(x+3)^2-36=0$，利用平方差公式分解：$(x+3)^2-6^2=(x+3+6)(x+3-6)=0$，
即$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$；
② 解方程$4x^2-8x-5=0$：
解法一（十字相乘法）：二次项系数$4=2×2$，常数项$-5=1×(-5)$，交叉相乘和为$2×(-5)+2×1=-8$（等于一次项系数），分解因式得：
$(2x+1)(2x-5)=0$，
则$2x+1=0$或$2x-5=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$；
解法二（配方法）：将原式变形为关于$2x$的平方形式：$(2x)^2-2×(2x)×2+2^2-2^2-5=0$，
整理得：$(2x-2)^2-9=0$，利用平方差公式分解：$(2x-2)^2-3^2=(2x-2+3)(2x-2-3)=0$，
即$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$；
【答案】
(1) $3$；$2$
(2) ① 解法一：$x^2+6x-27=0$，$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9,x_2=3$；
解法二：$x^2+6x-27=0$，$x^2+6x+9-9-27=0$，$(x+3)^2-36=0$，$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9,x_2=3$；
② 解法一：$4x^2-8x-5=0$，$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{5}{2}$；
解法二：$4x^2-8x-5=0$，$4x^2-8x+4-4-5=0$，$(2x-2)^2-9=0$，$(2x+1)(2x-5)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=\dfrac{5}{2}$；
【知识点】
十字相乘法分解因式、配方法解一元二次方程、平方差公式分解因式
【点评】
本题是对因式分解两种核心方法（十字相乘法、配方法）的综合应用，既考查因式分解的逆向思维，又结合一元二次方程的解法，题型基础，需学生熟练掌握两种方法的操作步骤，尤其是二次项系数不为1时的整体配方处理，是初中数学的重点内容。
【难度系数】
0.6
4. 我们知道:求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为$x=a$的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似地,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.
例如,一元三次方程$x^{3}-x=0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}-1)=0$,解方程$x=0$和$x^{2}-1=0$,可得方程$x^{3}-x=0$的解.
(1)【问题】方程$x^{3}-x=0$的解是$x_{1}=0$,$x_{2}=$
(2)【拓展】解方程:$\sqrt{4x+13}=x+2$.
(3)【应用】如图,已知矩形草坪$ABCD$的宽$AB=8\ \mathrm{m}$,小华把一根长为$27\ \mathrm{m}$的绳子的一端固定在点$B$,沿草坪边沿$BA$,$AD$走到点$P$处,且$AP:PD=2:5$,把长绳$PB$段拉直并固定在点$P$,然后沿草坪边沿$PD$,$DC$走到点$C$处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点$C$处,求$BP$的长.
例如,一元三次方程$x^{3}-x=0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}-1)=0$,解方程$x=0$和$x^{2}-1=0$,可得方程$x^{3}-x=0$的解.
(1)【问题】方程$x^{3}-x=0$的解是$x_{1}=0$,$x_{2}=$
-1
,$x_{3}=$1
.(2)【拓展】解方程:$\sqrt{4x+13}=x+2$.
(3)【应用】如图,已知矩形草坪$ABCD$的宽$AB=8\ \mathrm{m}$,小华把一根长为$27\ \mathrm{m}$的绳子的一端固定在点$B$,沿草坪边沿$BA$,$AD$走到点$P$处,且$AP:PD=2:5$,把长绳$PB$段拉直并固定在点$P$,然后沿草坪边沿$PD$,$DC$走到点$C$处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点$C$处,求$BP$的长.
答案
(1) $-1\ \ 1$
(2) 因为$\sqrt{4x+13}=x+2$,方程的两边平方,得$4x+13=(x+2)^{2}$,即$x^{2}=9$,所以$x_{1}=3,x_{2}=-3$. 当$x=-3$时,$\sqrt{4x+13}=1≠-1$,所以$-3$不是原方程的解,所以$\sqrt{4x+13}=x+2$的解是$x=3$.
(3) 因为四边形 $ABCD$ 是矩形,所以$∠ A=∠ D=90°,AB=CD=8\ \mathrm{m}$. 设$BP=x\ \mathrm{m}$, 则 $PC=(27-x)\ \mathrm{m}$,$AP=\sqrt{x^{2}-8^{2}}\ \mathrm{m}$,$PD=\sqrt{(27-x)^{2}-8^{2}}\ \mathrm{m}$, 由$AP:PD=2:5$,得$\dfrac{\sqrt{x^{2}-8^{2}}}{\sqrt{(27-x)^{2}-8^{2}}}=\dfrac{2}{5}$,两边平方并整理,得$7x^{2}+72x-1420=0$,解得$x_{1}=10,x_{2}=-\dfrac{142}{7}$(舍去). 经检验,$x=10$是方程的解. 所以$BP=10\ \mathrm{m}$,即$BP$的长为$10\ \mathrm{m}$.
(2) 因为$\sqrt{4x+13}=x+2$,方程的两边平方,得$4x+13=(x+2)^{2}$,即$x^{2}=9$,所以$x_{1}=3,x_{2}=-3$. 当$x=-3$时,$\sqrt{4x+13}=1≠-1$,所以$-3$不是原方程的解,所以$\sqrt{4x+13}=x+2$的解是$x=3$.
(3) 因为四边形 $ABCD$ 是矩形,所以$∠ A=∠ D=90°,AB=CD=8\ \mathrm{m}$. 设$BP=x\ \mathrm{m}$, 则 $PC=(27-x)\ \mathrm{m}$,$AP=\sqrt{x^{2}-8^{2}}\ \mathrm{m}$,$PD=\sqrt{(27-x)^{2}-8^{2}}\ \mathrm{m}$, 由$AP:PD=2:5$,得$\dfrac{\sqrt{x^{2}-8^{2}}}{\sqrt{(27-x)^{2}-8^{2}}}=\dfrac{2}{5}$,两边平方并整理,得$7x^{2}+72x-1420=0$,解得$x_{1}=10,x_{2}=-\dfrac{142}{7}$(舍去). 经检验,$x=10$是方程的解. 所以$BP=10\ \mathrm{m}$,即$BP$的长为$10\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】本题运用“转化”的数学思想解题：(1)将一元三次方程通过因式分解转化为一元一次方程求解；(2)将无理方程两边平方转化为整式方程，再检验增根得到有效解；(3)利用矩形性质和勾股定理，结合线段比例关系建立方程，求解后舍去不符合实际的根。
【解析】
(1) 对$x^3 - x = 0$因式分解：$x(x^2 -1)=0$，即$x(x-1)(x+1)=0$，令每个因式为0，得$x=0$，$x-1=0$，$x+1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，$x_3=-1$。
(2) 解方程$\sqrt{4x+13}=x+2$：
两边平方，得$4x+13=(x+2)^2$，展开整理得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
检验：当$x=-3$时，右边$x+2=-1$，左边$\sqrt{4×(-3)+13}=1≠-1$，故$x=-3$是增根，舍去；当$x=3$时，左边$\sqrt{12+13}=5$，右边$3+2=5$，等式成立，因此方程的解为$x=3$。
(3) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ A=∠ D=90°$，$AB=CD=8\ \mathrm{m}$。设$BP=x\ \mathrm{m}$，则$PC=(27-x)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AP=\sqrt{x^2 - 8^2}$；
在$Rt△ DCP$中，由勾股定理得$PD=\sqrt{(27-x)^2 - 8^2}$。
已知$AP:PD=2:5$，则$\frac{\sqrt{x^2 - 64}}{\sqrt{(27-x)^2 -64}}=\frac{2}{5}$，两边平方整理得$7x^2 +72x -1420=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-\frac{142}{7}$（长度为负，舍去）。经检验，$x=10$是方程的解，故$BP=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $1$，$-1$；
(2) $x=3$；
(3) $10\ \mathrm{m}$
【知识点】
因式分解、无理方程求解、勾股定理与矩形性质
【点评】
本题以“转化”思想为核心，将高次方程、无理方程转化为低次整式方程，几何问题结合勾股定理转化为代数方程，需注意无理方程求解后要检验增根，实际问题中需舍去不符合题意的解，综合考查方程思想与几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
【解析】
(1) 对$x^3 - x = 0$因式分解：$x(x^2 -1)=0$，即$x(x-1)(x+1)=0$，令每个因式为0，得$x=0$，$x-1=0$，$x+1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，$x_3=-1$。
(2) 解方程$\sqrt{4x+13}=x+2$：
两边平方，得$4x+13=(x+2)^2$，展开整理得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
检验：当$x=-3$时，右边$x+2=-1$，左边$\sqrt{4×(-3)+13}=1≠-1$，故$x=-3$是增根，舍去；当$x=3$时，左边$\sqrt{12+13}=5$，右边$3+2=5$，等式成立，因此方程的解为$x=3$。
(3) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ A=∠ D=90°$，$AB=CD=8\ \mathrm{m}$。设$BP=x\ \mathrm{m}$，则$PC=(27-x)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AP=\sqrt{x^2 - 8^2}$；
在$Rt△ DCP$中，由勾股定理得$PD=\sqrt{(27-x)^2 - 8^2}$。
已知$AP:PD=2:5$，则$\frac{\sqrt{x^2 - 64}}{\sqrt{(27-x)^2 -64}}=\frac{2}{5}$，两边平方整理得$7x^2 +72x -1420=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-\frac{142}{7}$（长度为负，舍去）。经检验，$x=10$是方程的解，故$BP=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $1$，$-1$；
(2) $x=3$；
(3) $10\ \mathrm{m}$
【知识点】
因式分解、无理方程求解、勾股定理与矩形性质
【点评】
本题以“转化”思想为核心，将高次方程、无理方程转化为低次整式方程，几何问题结合勾股定理转化为代数方程，需注意无理方程求解后要检验增根，实际问题中需舍去不符合题意的解，综合考查方程思想与几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
