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1. 小红上学需要经过两个十字路口，每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等，小红上学经过两个路口全是绿灯的概率是（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查简单概率的计算，解题思路是：先明确每个十字路口遇到绿灯的概率，再利用独立事件的概率乘法原理，或通过列举所有可能的情况来计算两个路口全是绿灯的概率。每个路口遇到红灯、绿灯的可能性相等，因此每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$，且两个路口的情况相互独立，据此可计算出结果。
【解析】
每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性相等，故每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$。由于经过两个十字路口是相互独立的事件，根据独立事件同时发生的概率公式：若事件A、B相互独立，则$P(AB)=P(A)×P(B)$，因此两个路口全是绿灯的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。也可通过列举所有等可能的结果：（红，红）、（红，绿）、（绿，红）、（绿，绿），共4种情况，其中全是绿灯的情况仅1种，故概率为$\frac{1}{4}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
概率的计算、独立事件的概率
【点评】
本题属于概率基础题，通过列举法或独立事件乘法公式即可快速求解，主要考查学生对简单概率计算方法的掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查简单概率的计算，解题思路是：先明确每个十字路口遇到绿灯的概率，再利用独立事件的概率乘法原理，或通过列举所有可能的情况来计算两个路口全是绿灯的概率。每个路口遇到红灯、绿灯的可能性相等，因此每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$，且两个路口的情况相互独立，据此可计算出结果。
【解析】
每个十字路口遇到红灯、绿灯的可能性相等，故每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$。由于经过两个十字路口是相互独立的事件，根据独立事件同时发生的概率公式：若事件A、B相互独立，则$P(AB)=P(A)×P(B)$，因此两个路口全是绿灯的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。也可通过列举所有等可能的结果：（红，红）、（红，绿）、（绿，红）、（绿，绿），共4种情况，其中全是绿灯的情况仅1种，故概率为$\frac{1}{4}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
概率的计算、独立事件的概率
【点评】
本题属于概率基础题，通过列举法或独立事件乘法公式即可快速求解，主要考查学生对简单概率计算方法的掌握。
【难度系数】
0.8
2. 小华将一枚质地均匀的硬币连续掷三次，则三次都是正面朝上的概率是 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{8}$
D
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
2. D
解析
【分析】
要计算连续掷三次质地均匀硬币三次正面朝上的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出“三次正面朝上”的结果数，最后根据古典概型概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。每次掷硬币有正、反2种等可能结果，连续三次的总结果数可通过乘法原理或列举法得出，再统计符合条件的结果即可。
【解析】
解：质地均匀的硬币每次掷出正面或反面的概率相等，每次有2种等可能结果，连续掷三次的总等可能结果数为：$2×2×2=8$种（列举为：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反）；其中三次都是正面朝上的结果仅1种，根据古典概型概率公式，所求概率为：$1÷8=\dfrac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，属于概率入门题型，需掌握独立重复试验的结果计数方法，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算连续掷三次质地均匀硬币三次正面朝上的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出“三次正面朝上”的结果数，最后根据古典概型概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。每次掷硬币有正、反2种等可能结果，连续三次的总结果数可通过乘法原理或列举法得出，再统计符合条件的结果即可。
【解析】
解：质地均匀的硬币每次掷出正面或反面的概率相等，每次有2种等可能结果，连续掷三次的总等可能结果数为：$2×2×2=8$种（列举为：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反）；其中三次都是正面朝上的结果仅1种，根据古典概型概率公式，所求概率为：$1÷8=\dfrac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，属于概率入门题型，需掌握独立重复试验的结果计数方法，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 2025 年国产 AI 大模型的爆火,引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从 A,B,C,D 四种 AI 应用软件中随机选取两种进行学习,则小庆同学选取的两种软件为 A 和B 的概率为（
A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
B
）A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
3. B 提示:根据题意可画树状图如下：
由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中恰好选中A 和 B 的有 2 种结果,小庆同学恰好选中 A 和 B 的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】要计算选取两种软件为A和B的概率，需先通过树状图法列举从A、B、C、D四种软件中随机选两种的所有等可能结果，再找出恰好选中A和B的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算，树状图法可避免结果重复或遗漏。
【解析】根据题意，画树状图如下：
第一步，从A、B、C、D中任选1种，有4种选择；第二步，从剩余3种中任选1种，有3种选择，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果。其中恰好选中A和B的结果有2种：（A，B）和（B，A），根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】B
【知识点】概率计算，树状图法
【点评】本题考查简单随机事件的概率基础应用，核心是用树状图列举所有等可能结果，难度较低，适合巩固概率基本公式的使用。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，画树状图如下：
第一步，从A、B、C、D中任选1种，有4种选择；第二步，从剩余3种中任选1种，有3种选择，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果。其中恰好选中A和B的结果有2种：（A，B）和（B，A），根据概率公式，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】B
【知识点】概率计算，树状图法
【点评】本题考查简单随机事件的概率基础应用，核心是用树状图列举所有等可能结果，难度较低，适合巩固概率基本公式的使用。
【难度系数】0.6
4. 暑假来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{9}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{9}$
答案
4. B 提示:画树状图如图所示.
共有9种等可能的结果,而小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的结果有3种,所以所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】要计算小明和小亮选到同一个社区的概率，需先通过树状图列举所有等可能的结果，再找出两人选同一社区的结果数，最后利用概率公式计算。树状图能清晰呈现所有可能的选择，避免遗漏或重复，是求概率的常用方法。
【解析】1. 确定总结果数：小明从甲、乙、丙3个社区中选1个，有3种选择；小亮同样从3个社区中选1个，也有3种选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果（对应树状图的9种分支）。2. 找出符合条件的结果数：小明和小亮选同一个社区的情况为都选甲、都选乙、都选丙，共3种结果。3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}$，可得所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】B
【知识点】概率计算、树状图法
【点评】本题属于基础概率题，通过树状图直观呈现所有等可能结果，结合概率公式即可快速求解，考查学生对概率基本概念和求法的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】1. 确定总结果数：小明从甲、乙、丙3个社区中选1个，有3种选择；小亮同样从3个社区中选1个，也有3种选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果（对应树状图的9种分支）。2. 找出符合条件的结果数：小明和小亮选同一个社区的情况为都选甲、都选乙、都选丙，共3种结果。3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}$，可得所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】B
【知识点】概率计算、树状图法
【点评】本题属于基础概率题，通过树状图直观呈现所有等可能结果，结合概率公式即可快速求解，考查学生对概率基本概念和求法的掌握。
【难度系数】0.6
5. 任意抛掷两枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1,2,3,4,5,6,则两枚骰子朝上的点数之和为奇数的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
5. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算两枚骰子朝上点数之和为奇数的概率，需先确定所有等可能的总情况数，再根据“奇数+偶数=奇数”的性质找出点数和为奇数的符合条件的情况数，最后用古典概型概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
1. 计算总情况数：抛掷两枚均匀骰子，每枚骰子有6种朝上的点数，因此总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
2. 计算点数和为奇数的情况数：两个数和为奇数，需一个为奇数、一个为偶数。
第一枚为奇数（1,3,5，共3种），第二枚为偶数（2,4,6，共3种），情况数为 $3 × 3 = 9$；
第一枚为偶数（2,4,6，共3种），第二枚为奇数（1,3,5，共3种），情况数为 $3 × 3 = 9$；
符合条件的总情况数为 $9 + 9 = 18$。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，所求概率为 $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，核心是利用奇偶性的性质确定符合条件的情况，计数时需注意两枚骰子的顺序，属于基础概率题，难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算两枚骰子朝上点数之和为奇数的概率，需先确定所有等可能的总情况数，再根据“奇数+偶数=奇数”的性质找出点数和为奇数的符合条件的情况数，最后用古典概型概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
1. 计算总情况数：抛掷两枚均匀骰子，每枚骰子有6种朝上的点数，因此总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
2. 计算点数和为奇数的情况数：两个数和为奇数，需一个为奇数、一个为偶数。
第一枚为奇数（1,3,5，共3种），第二枚为偶数（2,4,6，共3种），情况数为 $3 × 3 = 9$；
第一枚为偶数（2,4,6，共3种），第二枚为奇数（1,3,5，共3种），情况数为 $3 × 3 = 9$；
符合条件的总情况数为 $9 + 9 = 18$。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，所求概率为 $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，核心是利用奇偶性的性质确定符合条件的情况，计数时需注意两枚骰子的顺序，属于基础概率题，难度较低。
【难度系数】
0.6
6. 如图,从沅江到资阳有两条路线可走,从资阳到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达.现让你随机选择一条从沅江出发经过资阳到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
6. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个概率问题，需先确定从沅江到益阳火车站经过资阳的所有可能路线总数，以及其中经过西流湾大桥的路线数。从沅江到资阳有2条路线，从资阳到益阳火车站有3条路线，根据分步计数原理可算出总路线数；经过西流湾大桥的路线是沅江到资阳的每条路线搭配西流湾大桥，再用符合条件的路线数除以总路线数得到概率。
【解析】
1. 计算总路线数：从沅江到资阳有2条路线，从资阳到益阳火车站有3条路线，根据分步乘法计数原理，总路线数为 $2 × 3 = 6$（条）。
2. 计算经过西流湾大桥的路线数：从沅江到资阳的2条路线，每条都可搭配西流湾大桥，因此经过西流湾大桥的路线数为 $2 × 1 = 2$（条）。
3. 根据概率公式，所求概率为：$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、分步乘法计数原理
【点评】
本题结合实际路线场景考查简单概率计算，需掌握分步计数原理确定总情况数和符合条件的情况数，属于基础概率应用题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这个概率问题，需先确定从沅江到益阳火车站经过资阳的所有可能路线总数，以及其中经过西流湾大桥的路线数。从沅江到资阳有2条路线，从资阳到益阳火车站有3条路线，根据分步计数原理可算出总路线数；经过西流湾大桥的路线是沅江到资阳的每条路线搭配西流湾大桥，再用符合条件的路线数除以总路线数得到概率。
【解析】
1. 计算总路线数：从沅江到资阳有2条路线，从资阳到益阳火车站有3条路线，根据分步乘法计数原理，总路线数为 $2 × 3 = 6$（条）。
2. 计算经过西流湾大桥的路线数：从沅江到资阳的2条路线，每条都可搭配西流湾大桥，因此经过西流湾大桥的路线数为 $2 × 1 = 2$（条）。
3. 根据概率公式，所求概率为：$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、分步乘法计数原理
【点评】
本题结合实际路线场景考查简单概率计算，需掌握分步计数原理确定总情况数和符合条件的情况数，属于基础概率应用题，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字$-1,0,1,3$. 把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字并放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.答案
7. $\frac{1}{4}$ 提示:画树状图如图所示.
共有16种等可能的结果,两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4种,所以 P(两次抽取的卡片上的数字之积为负数)=$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确是放回抽取，两次抽取的卡片数字独立，所有等可能结果总数为$4×4=16$种；其次，数字之积为负数的条件是：两个数都不为0，且符号相反（一正一负）。我们可通过树状图列举所有结果，统计符合“积为负数”的结果数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
解：由于是放回抽取，第一次抽取有4种可能，第二次抽取也有4种可能，因此共有$4×4=16$种等可能的结果。
数字之积为负数需满足：两数都不为0，且符号相反。卡片中负数仅$-1$，正数为$1、3$，符合条件的结果为：$(-1,1)、(-1,3)、(1,-1)、(3,-1)$，共4种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，代入得：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$![]()
【知识点】
树状图法求概率、有理数乘法、概率计算
【点评】
本题是初中概率基础题型，考查放回抽样的概率计算，核心是准确列举所有等可能结果，以及判断异号两数相乘为负的规则，属于常规易得分题，需注意放回抽样的总结果数为$n^2$（$n$为卡片总数），避免结果数计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确是放回抽取，两次抽取的卡片数字独立，所有等可能结果总数为$4×4=16$种；其次，数字之积为负数的条件是：两个数都不为0，且符号相反（一正一负）。我们可通过树状图列举所有结果，统计符合“积为负数”的结果数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
解：由于是放回抽取，第一次抽取有4种可能，第二次抽取也有4种可能，因此共有$4×4=16$种等可能的结果。
数字之积为负数需满足：两数都不为0，且符号相反。卡片中负数仅$-1$，正数为$1、3$，符合条件的结果为：$(-1,1)、(-1,3)、(1,-1)、(3,-1)$，共4种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，代入得：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
树状图法求概率、有理数乘法、概率计算
【点评】
本题是初中概率基础题型，考查放回抽样的概率计算，核心是准确列举所有等可能结果，以及判断异号两数相乘为负的规则，属于常规易得分题，需注意放回抽样的总结果数为$n^2$（$n$为卡片总数），避免结果数计算错误。
【难度系数】
0.6
8. 小明在四张卡片的正面分别写下甲骨文字体的文、明、自、由四个字，这四张卡片分别用字母 A,B,C,D 表示，卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1) 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
(2) 小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两人抽取卡片上文字恰好能组成“文明”一词的概率.
(1) 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
$\dfrac{1}{4}$
.(2) 小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两人抽取卡片上文字恰好能组成“文明”一词的概率.
答案
8. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 解:画树状图如下：
由树状图知,共有 12 种等可能的结果,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有 2 种,则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
第(1)问：明确总共有4张卡片，其中写有“文”的卡片仅1张，根据概率的定义，所求概率为符合条件的情况数与总情况数的比值。第(2)问是不放回抽取两张卡片的两步试验，用树状图法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，再从中找出能组成“文明”一词的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中写有“文”的卡片有1张，因此抽取卡片上文字是“文”的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好能组成“文明”一词的结果有2种，因此所求概率为 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查简单事件概率和两步不放回试验的概率计算，树状图法是解决此类概率问题的常用方法，能清晰呈现所有等可能结果，题目难度适中，属于基础概率应用题。
【难度系数】
0.6
第(1)问：明确总共有4张卡片，其中写有“文”的卡片仅1张，根据概率的定义，所求概率为符合条件的情况数与总情况数的比值。第(2)问是不放回抽取两张卡片的两步试验，用树状图法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，再从中找出能组成“文明”一词的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中写有“文”的卡片有1张，因此抽取卡片上文字是“文”的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好能组成“文明”一词的结果有2种，因此所求概率为 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查简单事件概率和两步不放回试验的概率计算，树状图法是解决此类概率问题的常用方法，能清晰呈现所有等可能结果，题目难度适中，属于基础概率应用题。
【难度系数】
0.6
