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6. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x + 3 = 0$；
(2) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$。
(1) $x^2 - 2x + 3 = 0$；
(2) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$。
答案
6. 解:(1)由题意知 a =1 ,b = -2 ,c =3 ,所以 Δ = b² -4ac = ( -2 )² - 4 ×1 ×3 = -8 ＜ 0。故方程无实数根。
(2)原方程化为 3x² - 2√3 x + 1 = 0,则 a =3 ,b = -2√3 ,c = 1 ,所以 Δ = b² - 4ac = ( -2√3 )² -4 ×3 ×1 =12 -12 =0,故方程有两个相等的实数根$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)原方程化为 3x² - 2√3 x + 1 = 0,则 a =3 ,b = -2√3 ,c = 1 ,所以 Δ = b² - 4ac = ( -2√3 )² -4 ×3 ×1 =12 -12 =0,故方程有两个相等的实数根$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可。第(1)题已经是一般形式，可直接确定参数计算判别式；第(2)题需要先移项化为一般形式，再按步骤求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 2x + 3 = 0$为一般形式，可得$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12=-8＜0$，
故方程无实数根。
(2) 先将原方程移项化为一般形式：$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，
可得$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 -4×3×1 = 12-12=0$，
故方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 方程无实数根；
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
公式法解方程，根的判别式，求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查公式法的规范解题步骤，解题时需注意必须先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的取值，计算判别式是判断根的情况的前提，不要跳过判别式直接代入求根公式计算。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的核心思路是：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可。第(1)题已经是一般形式，可直接确定参数计算判别式；第(2)题需要先移项化为一般形式，再按步骤求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 2x + 3 = 0$为一般形式，可得$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12=-8＜0$，
故方程无实数根。
(2) 先将原方程移项化为一般形式：$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，
可得$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 -4×3×1 = 12-12=0$，
故方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 方程无实数根；
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
公式法解方程，根的判别式，求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查公式法的规范解题步骤，解题时需注意必须先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的取值，计算判别式是判断根的情况的前提，不要跳过判别式直接代入求根公式计算。
【难度系数】
0.8
7. 用因式分解法解下列方程:
(1)$(x - 5)(x - 6) = x - 5$;
(2)$16(x - 3)^2 - 25(x - 2)^2 = 0$。
(1)$(x - 5)(x - 6) = x - 5$;
(2)$16(x - 3)^2 - 25(x - 2)^2 = 0$。
答案
7. 解:(1)移项,得(x -5 )(x -6 ) - (x -5 ) =0。因式分解,得(x -5 )(x -6 -1 ) = 0,所以 x -5 = 0 或x -6 -1 =0,所以 x₁ =5 ,x₂ =7。
(2)整理方程,得[4(x -3 )]² - [5(x -2 )]² = 0。因式分解,得[4(x -3 ) +5(x -2 ) ][4(x -3 ) -5(x -2 ) ] =0,即(9x -22 )(x +2 ) = 0,所以 9x -22 =0或 x +2 =0,所以$x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$。
(2)整理方程,得[4(x -3 )]² - [5(x -2 )]² = 0。因式分解,得[4(x -3 ) +5(x -2 ) ][4(x -3 ) -5(x -2 ) ] =0,即(9x -22 )(x +2 ) = 0,所以 9x -22 =0或 x +2 =0,所以$x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程整理为若干个整式乘积等于0的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
第(1)题：注意不能直接两边同时除以(x-5)，否则会丢失x=5这个根，正确做法是先移项，再提取公因式(x-5)分解因式。
第(2)题：方程左边两项均为平方形式，符合平方差公式结构，先将两项整理为标准平方形式，再用平方差公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 移项，得$(x - 5)(x - 6) - (x - 5) = 0$，
因式分解，得$(x - 5)(x - 6 - 1) = 0$，
所以$x - 5 = 0$或$x - 7 = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 7$。
(2) 整理方程，得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$，
因式分解，得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$，
化简得$(9x - 22)(-x - 2) = 0$，即$(9x - 22)(x + 2) = 0$，
所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1 = \frac{22}{9}$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=7$；(2) $x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础典型题，解题时要注意不要随意约去公因式避免漏根，同时要熟练识别公式结构，灵活运用因式分解方法将方程转化为低次方程求解。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程整理为若干个整式乘积等于0的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
第(1)题：注意不能直接两边同时除以(x-5)，否则会丢失x=5这个根，正确做法是先移项，再提取公因式(x-5)分解因式。
第(2)题：方程左边两项均为平方形式，符合平方差公式结构，先将两项整理为标准平方形式，再用平方差公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 移项，得$(x - 5)(x - 6) - (x - 5) = 0$，
因式分解，得$(x - 5)(x - 6 - 1) = 0$，
所以$x - 5 = 0$或$x - 7 = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 7$。
(2) 整理方程，得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$，
因式分解，得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$，
化简得$(9x - 22)(-x - 2) = 0$，即$(9x - 22)(x + 2) = 0$，
所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1 = \frac{22}{9}$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=7$；(2) $x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础典型题，解题时要注意不要随意约去公因式避免漏根，同时要熟练识别公式结构，灵活运用因式分解方法将方程转化为低次方程求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1 cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t s。
(1)当t为何值时,△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$?
(2)请问△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半?若能,求出t的值;若不能,请说明理由。
(1)当t为何值时,△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$?
(2)请问△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半?若能,求出t的值;若不能,请说明理由。
答案
8. 解:(1)由题意知,CP = t cm ,AQ = 2t cm ,AC =8 cm ,则CQ = AC - AQ = (8 - 2t ) cm ,故$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}t(8-2t)(cm^2)$。又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×8=16(cm^2)$,当$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{4}$时,整理,得t² -4t +4 =0,解得 t =2。又
∵ CP ＜ CB ,AQ ＜ AC ,
∴ t ＜4。
∴ t =2 满足题意。故当 t =2 时,△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$。
(2)当$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$时,$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{2}$,整理,得 t² -4t +8 =0。
∵ Δ = b² -4ac = ( -4 )² -4 ×1 ×8 = -16 ＜0,
∴ 此方程没有实数根,
∴ △PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半。
∵ CP ＜ CB ,AQ ＜ AC ,
∴ t ＜4。
∴ t =2 满足题意。故当 t =2 时,△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$。
(2)当$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$时,$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{2}$,整理,得 t² -4t +8 =0。
∵ Δ = b² -4ac = ( -4 )² -4 ×1 ×8 = -16 ＜0,
∴ 此方程没有实数根,
∴ △PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半。
解析
【分析】
本题是动点结合面积的一元二次方程应用问题，解题思路如下：①首先根据两个动点的运动速度和时间t，分别表示出CP、CQ的长度，因为∠C=90°，可直接用直角三角形面积公式表示△PCQ的面积；②先计算出△ABC的固定面积；③第(1)问根据“△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$”列方程，求解后结合动点的运动范围（点P在CB上、点Q在AC上）验证t的取值是否合理；④第(2)问同理列方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有实数根，从而判断面积能否达到要求。
【解析】
解：(1) 由题意得，$CP = t\ \mathrm{cm}$，$AQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∵ $AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $CQ = AC - AQ = (8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ C=90°$，
∴ $S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} · CP · CQ = \frac{1}{2}t(8-2t)\ \mathrm{cm}^2$，
又 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16\ \mathrm{cm}^2$，
当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$时，列方程得：
$\frac{1}{2}t(8-2t) = 16 × \frac{1}{4}$，
整理得 $t^2 -4t +4=0$，
解得 $t=2$。
∵ 点P在CB上运动，点Q在AC上运动，
∴ $CP ＜ CB$，$AQ ＜ AC$，即$t＜4$，$2t＜8$，得$t＜4$，
∴ $t=2$符合题意。
(2) 当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$时，列方程得：
$\frac{1}{2}t(8-2t) = 16 × \frac{1}{2}$，
整理得 $t^2 -4t +8=0$，
∵ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4 × 1 × 8 = -16 ＜0$，
∴ 该一元二次方程没有实数根，
∴ $△ PCQ$的面积不可能是$△ ABC$面积的一半。
【答案】
(1) $t=2$；
(2) 不能，对应方程无实数根，因此$△ PCQ$的面积不能为$△ ABC$面积的一半。
【知识点】
一元二次方程的应用，三角形面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的动点几何与代数方程结合的应用题，解题核心是将动态的线段长度用含时间t的代数式表示，再根据面积关系建立方程求解，需要注意动点的运动边界对t取值范围的限制，判断存在性问题时可通过一元二次方程根的情况分析，解题时要养成验证解是否符合实际意义的习惯。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合面积的一元二次方程应用问题，解题思路如下：①首先根据两个动点的运动速度和时间t，分别表示出CP、CQ的长度，因为∠C=90°，可直接用直角三角形面积公式表示△PCQ的面积；②先计算出△ABC的固定面积；③第(1)问根据“△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$”列方程，求解后结合动点的运动范围（点P在CB上、点Q在AC上）验证t的取值是否合理；④第(2)问同理列方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有实数根，从而判断面积能否达到要求。
【解析】
解：(1) 由题意得，$CP = t\ \mathrm{cm}$，$AQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∵ $AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $CQ = AC - AQ = (8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ C=90°$，
∴ $S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} · CP · CQ = \frac{1}{2}t(8-2t)\ \mathrm{cm}^2$，
又 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16\ \mathrm{cm}^2$，
当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$时，列方程得：
$\frac{1}{2}t(8-2t) = 16 × \frac{1}{4}$，
整理得 $t^2 -4t +4=0$，
解得 $t=2$。
∵ 点P在CB上运动，点Q在AC上运动，
∴ $CP ＜ CB$，$AQ ＜ AC$，即$t＜4$，$2t＜8$，得$t＜4$，
∴ $t=2$符合题意。
(2) 当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$时，列方程得：
$\frac{1}{2}t(8-2t) = 16 × \frac{1}{2}$，
整理得 $t^2 -4t +8=0$，
∵ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4 × 1 × 8 = -16 ＜0$，
∴ 该一元二次方程没有实数根，
∴ $△ PCQ$的面积不可能是$△ ABC$面积的一半。
【答案】
(1) $t=2$；
(2) 不能，对应方程无实数根，因此$△ PCQ$的面积不能为$△ ABC$面积的一半。
【知识点】
一元二次方程的应用，三角形面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的动点几何与代数方程结合的应用题，解题核心是将动态的线段长度用含时间t的代数式表示，再根据面积关系建立方程求解，需要注意动点的运动边界对t取值范围的限制，判断存在性问题时可通过一元二次方程根的情况分析，解题时要养成验证解是否符合实际意义的习惯。
【难度系数】
0.6
