登录
1. 计算$(ab^2)^3$的结果，正确的是（
A.$a^3b^6$
B.$a^3b^5$
C.$ab^6$
D.$ab^5$
A
）A.$a^3b^6$
B.$a^3b^5$
C.$ab^6$
D.$ab^5$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆积的乘方、幂的乘方的运算法则：第一步，根据积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方；第二步，对含有幂的因式再使用幂的乘方法则计算，最后合并结果对应选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$
因此$(ab^2)^3=a^3b^6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意区分幂的乘方、同底数幂乘法等不同运算的指数计算规则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆积的乘方、幂的乘方的运算法则：第一步，根据积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方；第二步，对含有幂的因式再使用幂的乘方法则计算，最后合并结果对应选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$
因此$(ab^2)^3=a^3b^6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意区分幂的乘方、同底数幂乘法等不同运算的指数计算规则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算正确的是（
A.$3a + 2b = 5ab$
B.$3a · 2b = 6ab$
C.$(a^3)^2 = a^5$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
B
）A.$3a + 2b = 5ab$
B.$3a · 2b = 6ab$
C.$(a^3)^2 = a^5$
D.$(ab^2)^3 = ab^6$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查整式的各类运算，解题思路是逐一对应每个选项涉及的运算法则进行判断：首先明确合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方的运算规则，再逐个验证选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：3a和2b所含字母不相同，不属于同类项，只有同类项才能合并，因此$3a + 2b$无法计算为$5ab$，A错误；
B选项：单项式乘单项式运算中，系数相乘作为结果的系数，相同字母分别相乘，因此$3a·2b=(3×2)·(a·b)=6ab$，B正确；
C选项：幂的乘方运算规则为“底数不变，指数相乘”，因此$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6≠a^5$，C错误；
D选项：积的乘方运算规则为“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，因此$(ab^2)^3=a^3·(b^2)^3=a^3b^6≠ab^6$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对各类整式运算法则的掌握，做题时要注意区分合并同类项与乘法运算的差异，不要混淆幂运算中指数的计算规则，是代数部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类运算，解题思路是逐一对应每个选项涉及的运算法则进行判断：首先明确合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方的运算规则，再逐个验证选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：3a和2b所含字母不相同，不属于同类项，只有同类项才能合并，因此$3a + 2b$无法计算为$5ab$，A错误；
B选项：单项式乘单项式运算中，系数相乘作为结果的系数，相同字母分别相乘，因此$3a·2b=(3×2)·(a·b)=6ab$，B正确；
C选项：幂的乘方运算规则为“底数不变，指数相乘”，因此$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6≠a^5$，C错误；
D选项：积的乘方运算规则为“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，因此$(ab^2)^3=a^3·(b^2)^3=a^3b^6≠ab^6$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对各类整式运算法则的掌握，做题时要注意区分合并同类项与乘法运算的差异，不要混淆幂运算中指数的计算规则，是代数部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
3. 计算 $ a · a^5 - (2a^3)^2 $ 的结果为（
A.$ a^6 - 2a^5 $
B.$ -a^6 $
C.$ a^6 - 4a^5 $
D.$ -3a^6 $
D
）A.$ a^6 - 2a^5 $
B.$ -a^6 $
C.$ a^6 - 4a^5 $
D.$ -3a^6 $
答案
3.D
解析
【分析】
本题是整式混合运算题，解题思路清晰明了：第一步先计算$a · a^5$，运用同底数幂相乘的运算法则；第二步计算$(2a^3)^2$，依次运用积的乘方、幂的乘方的运算法则；最后将两个运算结果合并同类项，就能得到最终结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据幂的运算法则分步计算：
1. 计算同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得
$a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
2. 计算积的乘方：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得
$(2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4 · a^{3 × 2} = 4a^6$
3. 合并同类项：
$a^6 - 4a^6 = (1-4)a^6 = -3a^6$
综上，计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查幂的相关运算法则的掌握程度，计算时要注意不要出现指数运算错误、系数漏乘方的问题，熟练掌握基础运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
本题是整式混合运算题，解题思路清晰明了：第一步先计算$a · a^5$，运用同底数幂相乘的运算法则；第二步计算$(2a^3)^2$，依次运用积的乘方、幂的乘方的运算法则；最后将两个运算结果合并同类项，就能得到最终结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据幂的运算法则分步计算：
1. 计算同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得
$a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
2. 计算积的乘方：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得
$(2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4 · a^{3 × 2} = 4a^6$
3. 合并同类项：
$a^6 - 4a^6 = (1-4)a^6 = -3a^6$
综上，计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查幂的相关运算法则的掌握程度，计算时要注意不要出现指数运算错误、系数漏乘方的问题，熟练掌握基础运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
4. 下列运算正确的是 （
A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(-b^2)^3 = -b^6$
C.$2x · 2x^2 = 2x^3$
D.$(m-n)^2 = m^2 - n^2$
B
）A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(-b^2)^3 = -b^6$
C.$2x · 2x^2 = 2x^3$
D.$(m-n)^2 = m^2 - n^2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的运算法则进行计算，判断运算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。首先回忆合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算法则，再逐一验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：属于合并同类项，同类项合并时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$a^2+a^2=2a^2≠ a^4$，该选项运算错误。
选项B：属于积的乘方与幂的乘方运算，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。因此$(-b^2)^3=(-1)^3×(b^2)^3=-1× b^{2×3}=-b^6$，该选项运算正确。
选项C：属于单项式乘单项式运算，系数与系数相乘，同底数幂相乘，因此$2x·2x^2=(2×2)×(x· x^2)=4x^3≠2x^3$，该选项运算错误。
选项D：属于完全平方公式的应用，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≠ m^2-n^2$，该选项运算错误。
综上，只有B选项运算正确。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；幂的运算；乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察对各类整式运算法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算的规则，尤其要避免将完全平方公式和平方差公式、合并同类项和同底数幂乘法的规则混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的运算法则进行计算，判断运算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。首先回忆合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算法则，再逐一验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：属于合并同类项，同类项合并时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$a^2+a^2=2a^2≠ a^4$，该选项运算错误。
选项B：属于积的乘方与幂的乘方运算，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。因此$(-b^2)^3=(-1)^3×(b^2)^3=-1× b^{2×3}=-b^6$，该选项运算正确。
选项C：属于单项式乘单项式运算，系数与系数相乘，同底数幂相乘，因此$2x·2x^2=(2×2)×(x· x^2)=4x^3≠2x^3$，该选项运算错误。
选项D：属于完全平方公式的应用，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≠ m^2-n^2$，该选项运算错误。
综上，只有B选项运算正确。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；幂的运算；乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察对各类整式运算法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算的规则，尤其要避免将完全平方公式和平方差公式、合并同类项和同底数幂乘法的规则混淆。
【难度系数】
0.8
5. 下列运算错误的是 （
A.$a + 2a = 3a$
B.$(a^2)^3 = a^6$
C.$a^2 · a^3 = a^5$
D.$a^6 ÷ a^3 = a^2$
D
）A.$a + 2a = 3a$
B.$(a^2)^3 = a^6$
C.$a^2 · a^3 = a^5$
D.$a^6 ÷ a^3 = a^2$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查整式的基本运算，解题时需逐个对应各选项的运算法则进行计算验证，最终选出运算错误的选项。首先要回忆合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的运算规则，再逐一核对每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数保持不变，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，运算正确，不符合题意；
B. 幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，运算正确，不符合题意；
C. 同底数幂相乘法则为：底数不变，指数相加，因此$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确，不符合题意；
D. 同底数幂相除法则为：底数不变，指数相减，因此$a^6÷ a^3=a^{6-3}=a^3≠ a^2$，运算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的乘方运算，同底数幂乘除运算
【点评】
本题是基础运算类常考题，核心是对各类整式运算规则的准确记忆，需注意区分不同幂运算中指数的运算规律，避免出现指数加减、乘除混淆的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的基本运算，解题时需逐个对应各选项的运算法则进行计算验证，最终选出运算错误的选项。首先要回忆合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的运算规则，再逐一核对每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数保持不变，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，运算正确，不符合题意；
B. 幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，运算正确，不符合题意；
C. 同底数幂相乘法则为：底数不变，指数相加，因此$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确，不符合题意；
D. 同底数幂相除法则为：底数不变，指数相减，因此$a^6÷ a^3=a^{6-3}=a^3≠ a^2$，运算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的乘方运算，同底数幂乘除运算
【点评】
本题是基础运算类常考题，核心是对各类整式运算规则的准确记忆，需注意区分不同幂运算中指数的运算规律，避免出现指数加减、乘除混淆的错误。
【难度系数】
0.8
6.若$xy=1$,则$(x+y)^2 - (x-y)^2 =$（
A.$-4$
B.$4$
C.$2$
D.$-2$
B
）A.$-4$
B.$4$
C.$2$
D.$-2$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的结构，它是两个平方的差，核心思路是消去式子中的$x^2$、$y^2$项，凑出已知条件$xy$的形式。可以选择两种方法：一是用完全平方公式将两个平方项分别展开，合并同类项后化简得到只含$xy$的代数式，再代入已知值计算；二是用平方差公式对原式因式分解后化简，同样得到含$xy$的式子后代入求值，两种方法均符合整式运算的逻辑。
【解析】
方法一：利用完全平方公式计算
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 - (x-y)^2&=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)\\&=x^2+2xy+y^2 -x^2+2xy -y^2\\&=4xy\end{aligned}$
已知$xy=1$，代入得$4xy=4×1=4$。
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x+y$，$b=x-y$，则：
$\begin{aligned}(x+y)^2 - (x-y)^2&=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]\\&=2x·2y\\&=4xy\end{aligned}$
代入$xy=1$，得$4xy=4×1=4$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键，通过公式展开或因式分解消去无关项后，代入已知条件即可快速得到结果，思路指向性明确。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的结构，它是两个平方的差，核心思路是消去式子中的$x^2$、$y^2$项，凑出已知条件$xy$的形式。可以选择两种方法：一是用完全平方公式将两个平方项分别展开，合并同类项后化简得到只含$xy$的代数式，再代入已知值计算；二是用平方差公式对原式因式分解后化简，同样得到含$xy$的式子后代入求值，两种方法均符合整式运算的逻辑。
【解析】
方法一：利用完全平方公式计算
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 - (x-y)^2&=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)\\&=x^2+2xy+y^2 -x^2+2xy -y^2\\&=4xy\end{aligned}$
已知$xy=1$，代入得$4xy=4×1=4$。
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x+y$，$b=x-y$，则：
$\begin{aligned}(x+y)^2 - (x-y)^2&=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]\\&=2x·2y\\&=4xy\end{aligned}$
代入$xy=1$，得$4xy=4×1=4$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键，通过公式展开或因式分解消去无关项后，代入已知条件即可快速得到结果，思路指向性明确。
【难度系数】
0.8
7.已知$a^2 + b^2 + 4b - 2a + 5 = 0$，则$\frac{a + b}{a - b}$的值为（
A.$3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
D
）A.$3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
7.D
解析
【分析】
观察已知等式是含a、b的二次多项式相加等于0的形式，解题思路如下：第一步用配方法，将等式左边的常数项拆分后分组，配成两个完全平方式相加的形式；第二步根据平方数的非负性，即两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的具体值；第三步将a、b的值代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
1. 对已知等式配方：
将$a^2 + b^2 + 4b - 2a + 5 = 0$中的常数项5拆分为1+4，分组可得：
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4) = 0$
根据完全平方公式化简为：
$(a - 1)^2 + (b + 2)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b：
因为任意实数的平方都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$
解得$a = 1$，$b = -2$
3. 代入代数式计算：
将$a=1$，$b=-2$代入$\frac{a + b}{a - b}$得：
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{1 + (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
配方法，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是因式分解应用的常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方结合非负数性质求出未知字母的值再代入计算，对公式的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
观察已知等式是含a、b的二次多项式相加等于0的形式，解题思路如下：第一步用配方法，将等式左边的常数项拆分后分组，配成两个完全平方式相加的形式；第二步根据平方数的非负性，即两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的具体值；第三步将a、b的值代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
1. 对已知等式配方：
将$a^2 + b^2 + 4b - 2a + 5 = 0$中的常数项5拆分为1+4，分组可得：
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4) = 0$
根据完全平方公式化简为：
$(a - 1)^2 + (b + 2)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b：
因为任意实数的平方都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$
解得$a = 1$，$b = -2$
3. 代入代数式计算：
将$a=1$，$b=-2$代入$\frac{a + b}{a - b}$得：
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{1 + (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
配方法，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是因式分解应用的常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方结合非负数性质求出未知字母的值再代入计算，对公式的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
8.若$a$是整数，则$a^2$叫完全平方数，若自然数$x^2$是一个完全平方数，则与它相邻的一个完全平方数可以是（
A.$x+1$
B.$x^2 + 1$
C.$x^2 + \sqrt{2}x + 1$
D.$x^2 + 2x + 1$
D
）A.$x+1$
B.$x^2 + 1$
C.$x^2 + \sqrt{2}x + 1$
D.$x^2 + 2x + 1$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先明确完全平方数的定义：整数的平方为完全平方数。已知当前完全平方数是$x^2$，其底数为自然数$x$，和它相邻的完全平方数的底数必然是和$x$相邻的整数，即$x-1$或$x+1$，只需将这两个相邻整数的平方展开，再匹配选项即可，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
根据完全平方数的性质，相邻完全平方数的底数是相差1的整数。已知现有完全平方数为$x^2$，底数为自然数$x$，则相邻的底数为$x-1$和$x+1$，对应的完全平方数分别为：
$(x-1)^2=x^2-2x+1$，$(x+1)^2=x^2+2x+1$
逐一分析选项：
A. $x+1$是一次式，不是整数的平方，不属于完全平方数，排除；
B. 举反例：当$x=2$时，$x^2=4$，$x^2+1=5$，5不是完全平方数，排除；
C. 式子中含有无理数$\sqrt{2}$，$x$为自然数时，该式不是整数的平方，不属于完全平方数，排除；
D. $x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x+1$是整数，符合完全平方数定义，是和$x^2$相邻的完全平方数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
完全平方数的定义，完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方数概念和完全平方公式的应用，解题关键是理解相邻完全平方数的底数差1，也可通过举特例快速排除错误选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确完全平方数的定义：整数的平方为完全平方数。已知当前完全平方数是$x^2$，其底数为自然数$x$，和它相邻的完全平方数的底数必然是和$x$相邻的整数，即$x-1$或$x+1$，只需将这两个相邻整数的平方展开，再匹配选项即可，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
根据完全平方数的性质，相邻完全平方数的底数是相差1的整数。已知现有完全平方数为$x^2$，底数为自然数$x$，则相邻的底数为$x-1$和$x+1$，对应的完全平方数分别为：
$(x-1)^2=x^2-2x+1$，$(x+1)^2=x^2+2x+1$
逐一分析选项：
A. $x+1$是一次式，不是整数的平方，不属于完全平方数，排除；
B. 举反例：当$x=2$时，$x^2=4$，$x^2+1=5$，5不是完全平方数，排除；
C. 式子中含有无理数$\sqrt{2}$，$x$为自然数时，该式不是整数的平方，不属于完全平方数，排除；
D. $x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x+1$是整数，符合完全平方数定义，是和$x^2$相邻的完全平方数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
完全平方数的定义，完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方数概念和完全平方公式的应用，解题关键是理解相邻完全平方数的底数差1，也可通过举特例快速排除错误选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
9. 计算$(-a^2)^3 + (-a^3)^2 - a^2 · a^4 + 2a^9 ÷ a^3 =$
9. 计算$(-a^2)^3 + (-a^3)^2 - a^2 · a^4 + 2a^9 ÷ a^3 =$
$a^6$
。答案
9.$a^6$
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题需遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序：第一步先分别计算每一项的结果，分别用到幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，计算时要注意各项的符号判断；第二步将计算得到的同类项进行合并，即可得到最终结果。
【解析】
分别计算各项：
1. 计算$(-a^2)^3$：根据幂的乘方法则，负数的奇次幂为负，得$(-a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6$；
2. 计算$(-a^3)^2$：根据幂的乘方法则，负数的偶次幂为正，得$(-a^3)^2=a^{3×2}=a^6$；
3. 计算$a^2· a^4$：根据同底数幂的乘法法则，得$a^2· a^4=a^{2+4}=a^6$，原式中该项前面为减号，即$-a^6$；
4. 计算$2a^9÷ a^3$：根据同底数幂的除法法则，得$2a^9÷ a^3=2a^{9-3}=2a^6$；
将各项结果合并同类项：
$\begin{split}&(-a^2)^3 + (-a^3)^2 - a^2 · a^4 + 2a^9 ÷ a^3 \\=&-a^6+a^6-a^6+2a^6\\=&(-1+1-1+2)a^6\\=&a^6\end{split}$
【答案】
$a^6$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的各类运算法则的熟练应用，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，避免因符号或指数运算规则混淆出错。
【难度系数】
0.75
本题考查整式的混合运算，解题需遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序：第一步先分别计算每一项的结果，分别用到幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，计算时要注意各项的符号判断；第二步将计算得到的同类项进行合并，即可得到最终结果。
【解析】
分别计算各项：
1. 计算$(-a^2)^3$：根据幂的乘方法则，负数的奇次幂为负，得$(-a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6$；
2. 计算$(-a^3)^2$：根据幂的乘方法则，负数的偶次幂为正，得$(-a^3)^2=a^{3×2}=a^6$；
3. 计算$a^2· a^4$：根据同底数幂的乘法法则，得$a^2· a^4=a^{2+4}=a^6$，原式中该项前面为减号，即$-a^6$；
4. 计算$2a^9÷ a^3$：根据同底数幂的除法法则，得$2a^9÷ a^3=2a^{9-3}=2a^6$；
将各项结果合并同类项：
$\begin{split}&(-a^2)^3 + (-a^3)^2 - a^2 · a^4 + 2a^9 ÷ a^3 \\=&-a^6+a^6-a^6+2a^6\\=&(-1+1-1+2)a^6\\=&a^6\end{split}$
【答案】
$a^6$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的各类运算法则的熟练应用，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，避免因符号或指数运算规则混淆出错。
【难度系数】
0.75
10.计算$(3 + a)(3 - a) + a^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
10.9
解析
【分析】
解题时首先观察式子中的乘积项$(3+a)(3-a)$，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式展开该乘积项，之后再合并同类项化简即可得到结果。整体思路为先套用特殊乘法公式简化乘法运算，再通过合并同类项完成整式的加减运算。
【解析】
解：首先利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算乘积项：
$\begin{aligned}(3+a)(3-a)&=3^2 - a^2\\&=9 - a^2\end{aligned}$
将展开结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9 - a^2 + a^2\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
平方差公式、合并同类项、整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对乘法公式的掌握以及整式加减的运算能力，熟练掌握常见的乘法公式能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察式子中的乘积项$(3+a)(3-a)$，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式展开该乘积项，之后再合并同类项化简即可得到结果。整体思路为先套用特殊乘法公式简化乘法运算，再通过合并同类项完成整式的加减运算。
【解析】
解：首先利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算乘积项：
$\begin{aligned}(3+a)(3-a)&=3^2 - a^2\\&=9 - a^2\end{aligned}$
将展开结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9 - a^2 + a^2\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
平方差公式、合并同类项、整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对乘法公式的掌握以及整式加减的运算能力，熟练掌握常见的乘法公式能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
11.计算$(x-1)(x+2)$的结果是
$x^2 + x - 2$
。答案
11.$x^2 + x - 2$
解析
【分析】
本题考查多项式与多项式的乘法运算，解题思路是遵循多项式乘多项式的运算规则，先将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到最终结果，计算过程中要注意各项的符号不要出错。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，计算如下：
$\begin{aligned}(x-1)(x+2)&=x· x + x·2 + (-1)· x + (-1)×2\\&=x^2 + 2x - x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
$x^2 + x - 2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的运算规则，解题时需注意项与项相乘时的符号，合并同类项时要保证同类项系数计算准确。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式与多项式的乘法运算，解题思路是遵循多项式乘多项式的运算规则，先将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到最终结果，计算过程中要注意各项的符号不要出错。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，计算如下：
$\begin{aligned}(x-1)(x+2)&=x· x + x·2 + (-1)· x + (-1)×2\\&=x^2 + 2x - x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
$x^2 + x - 2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的运算规则，解题时需注意项与项相乘时的符号，合并同类项时要保证同类项系数计算准确。
【难度系数】
0.9
12.若$5^n = 3$，$4^n = 5$，则$20^n$的值是
15
。答案
12.15
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的底数20和已知条件中两个幂的底数4、5的关系，发现20=4×5，因此可以利用积的乘方的运算法则，将$20^n$转化为$4^n$与$5^n$的乘积，再代入已知的数值计算即可得到结果。
【解析】
首先对所求式子的底数进行拆分：
∵ $20 = 4 × 5$
∴ $20^n=(4×5)^n$
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$20^n=4^n×5^n$
将已知$5^n=3$，$4^n=5$代入上式：
$20^n=5×3=15$
【答案】
15
【知识点】
积的乘方运算；代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题的核心是找到所求幂的底数与已知幂的底数的乘积关系，结合积的乘方公式代入计算即可，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.9
解题时先观察所求式子的底数20和已知条件中两个幂的底数4、5的关系，发现20=4×5，因此可以利用积的乘方的运算法则，将$20^n$转化为$4^n$与$5^n$的乘积，再代入已知的数值计算即可得到结果。
【解析】
首先对所求式子的底数进行拆分：
∵ $20 = 4 × 5$
∴ $20^n=(4×5)^n$
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$20^n=4^n×5^n$
将已知$5^n=3$，$4^n=5$代入上式：
$20^n=5×3=15$
【答案】
15
【知识点】
积的乘方运算；代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题的核心是找到所求幂的底数与已知幂的底数的乘积关系，结合积的乘方公式代入计算即可，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.9
13.将二次三项式$x^2 + 4x + 5$化成$(x + p)^2 + q$的形式应为
$(x + 2)^2 + 1$
。答案
13.$(x + 2)^2 + 1$
解析
【分析】
本题要求将二次三项式化为$(x+p)^2+q$的形式，需使用配方法求解。首先观察二次项系数为1，因此配方时只需对二次项和一次项进行变形：先取一次项系数4的一半得到2，计算2的平方为4，再将原式的常数项5拆分为4+1，前三项即可凑成完全平方公式，最后整理得到目标形式即可。
【解析】
解：对$x^2 + 4x + 5$进行配方：
首先拆分常数项凑完全平方：
$x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4 + 1$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=x$，$b=2$，可得$x^2+4x+4=(x+2)^2$
因此原式化简为：$(x+2)^2 + 1$
【答案】
$(x+2)^2 + 1$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项凑出完全平方式。
【难度系数】
0.9
本题要求将二次三项式化为$(x+p)^2+q$的形式，需使用配方法求解。首先观察二次项系数为1，因此配方时只需对二次项和一次项进行变形：先取一次项系数4的一半得到2，计算2的平方为4，再将原式的常数项5拆分为4+1，前三项即可凑成完全平方公式，最后整理得到目标形式即可。
【解析】
解：对$x^2 + 4x + 5$进行配方：
首先拆分常数项凑完全平方：
$x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4 + 1$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=x$，$b=2$，可得$x^2+4x+4=(x+2)^2$
因此原式化简为：$(x+2)^2 + 1$
【答案】
$(x+2)^2 + 1$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项凑出完全平方式。
【难度系数】
0.9
