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1 《天工开物》中记载了中国古人利用桔槔汲水的情景(如图甲所示)，如今一些农田在灌溉时仍然传承着这种汲水方式.据此，小明改制了如图乙所示装置模拟桔槔汲水，横杆AB可绕O处的转轴转动，A处系有配重铁块，B处悬挂水桶，C处连接一根细杆，使用时人可对细杆施加竖直向上的撑力或竖直向下的拉力：已知OA长为20 cm，OB长为50 cm，BC长为10 cm.横杆的自重、支点处的摩擦、细杆和悬线以及水桶的重力均忽略不计，为使横杆在水平位置静止，则：
(1) 当B处提起40 N的水、C处没有施力时，求出配重铁块的重$G_0$；
(2) 当A处配重铁块重120 N，B处仍提起40 N重的水时，求人对C处细杆的力$F_1$；
(3) 当A处配重铁块重120 N，B处提起60 N重的水时，求人对C处细杆的力$F_2$.
(1) 当B处提起40 N的水、C处没有施力时，求出配重铁块的重$G_0$；
(2) 当A处配重铁块重120 N，B处仍提起40 N重的水时，求人对C处细杆的力$F_1$；
(3) 当A处配重铁块重120 N，B处提起60 N重的水时，求人对C处细杆的力$F_2$.
答案
(1) O为支点,铁块对横杆的拉力等于铁块的重力,即$F=G_0$,力臂为$L_1$,B处线对横杆的拉力等于水和水桶的重力,即$F_{拉}=G_{水}$,力臂为$L_2$,依据杠杆的平衡条件可得$G_0L_1=F_{拉}L_2$,则铁块的重力为
$G_0=\frac{F_{拉}L_2}{L_1}=\frac{40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}}{0.2\ \mathrm{m}}=100\ \mathrm{N}.$
(2) 当A处配重铁块重$G_1=120\ \mathrm{N}$,B处受到的拉力仍为40 N时,杠杆平衡在水平位置,因为$G_1L_1=120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}＞F_{拉}L_2=40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$;杠杆逆时针转动,所以人对C处细杆施加的力$F_1$为向下的拉力,力臂为OC,长度为
$L_{OC}=OB-BC=0.5\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{m},$
根据杠杆平衡条件知$G_1L_1=F_{拉}L_2+F_1L_{OC}$,
则$F_1=\frac{G_1L_1-F_{拉}L_2}{L_{OC}}=\frac{120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}-40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}.$
(3) 当A处配重铁块重$G_1=120\ \mathrm{N}$,B处提起60 N重的水时,杠杆平衡在水平位置,因为$G_1L_1=120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}＜F_{拉}L_2=60\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$,杠杆顺时针转动,人对C处细杆施加的力$F_2$为向上的推力,根据杠杆平衡条件知
$G_1L_1=F'_{拉}L_2-F_2L_{OC},$
则$F_2=\frac{F'_{拉}L_2-G_1L_1}{L_{OC}}=\frac{60\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}-120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=15\ \mathrm{N}.$
$G_0=\frac{F_{拉}L_2}{L_1}=\frac{40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}}{0.2\ \mathrm{m}}=100\ \mathrm{N}.$
(2) 当A处配重铁块重$G_1=120\ \mathrm{N}$,B处受到的拉力仍为40 N时,杠杆平衡在水平位置,因为$G_1L_1=120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}＞F_{拉}L_2=40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$;杠杆逆时针转动,所以人对C处细杆施加的力$F_1$为向下的拉力,力臂为OC,长度为
$L_{OC}=OB-BC=0.5\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{m},$
根据杠杆平衡条件知$G_1L_1=F_{拉}L_2+F_1L_{OC}$,
则$F_1=\frac{G_1L_1-F_{拉}L_2}{L_{OC}}=\frac{120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}-40\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}.$
(3) 当A处配重铁块重$G_1=120\ \mathrm{N}$,B处提起60 N重的水时,杠杆平衡在水平位置,因为$G_1L_1=120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}＜F_{拉}L_2=60\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$,杠杆顺时针转动,人对C处细杆施加的力$F_2$为向上的推力,根据杠杆平衡条件知
$G_1L_1=F'_{拉}L_2-F_2L_{OC},$
则$F_2=\frac{F'_{拉}L_2-G_1L_1}{L_{OC}}=\frac{60\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}-120\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=15\ \mathrm{N}.$
解析
【分析】
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路：确定支点为O点，明确各力对应的力臂，利用杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂，即$F_1L_1=F_2L_2$）分析。每一问先分析杠杆两侧力矩大小，判断转动趋势以确定施加力的方向，再结合力臂代入平衡条件计算。
【解析】
(1) 当C处无施力时，支点为O，A处配重重力$G_0$的力臂$OA=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，B处水的重力的力臂$OB=50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_0 × OA = G_{\mathrm{水}} × OB$
代入数据得：
$G_0=\frac{G_{\mathrm{水}} × OB}{OA}=\frac{40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}}{0.2\ \mathrm{m}}=100\ \mathrm{N}$
(2) 当A处配重$G_1=120\ \mathrm{N}$，B处水重40 N时，先计算两侧力矩：
左侧力矩$G_1 × OA=120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=24\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩$G_{\mathrm{水}} × OB=40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{N·m}$，左侧力矩更大，杠杆逆时针转动，故C处施加向下的拉力$F_1$，力臂$OC=OB-BC=0.5\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_1 × OA = G_{\mathrm{水}} × OB + F_1 × OC$
代入数据得：
$F_1=\frac{G_1 × OA - G_{\mathrm{水}} × OB}{OC}=\frac{120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m} - 40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}$
(3) 当A处配重120 N，B处水重60 N时，计算两侧力矩：
左侧力矩$120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=24\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩$60\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}=30\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩更大，杠杆顺时针转动，故C处施加向上的推力$F_2$，力臂$OC=0.4\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_{\mathrm{水}} × OB = G_1 × OA + F_2 × OC$
代入数据得：
$F_2=\frac{G_{\mathrm{水}} × OB - G_1 × OA}{OC}=\frac{60\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m} - 120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=15\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $100\ \mathrm{N}$；(2) $10\ \mathrm{N}$；(3) $15\ \mathrm{N}$
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题结合古代桔槔汲水的实际模型，考查杠杆平衡条件的应用，需准确判断力的方向和力臂，体现物理知识在生活中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路：确定支点为O点，明确各力对应的力臂，利用杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂，即$F_1L_1=F_2L_2$）分析。每一问先分析杠杆两侧力矩大小，判断转动趋势以确定施加力的方向，再结合力臂代入平衡条件计算。
【解析】
(1) 当C处无施力时，支点为O，A处配重重力$G_0$的力臂$OA=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，B处水的重力的力臂$OB=50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_0 × OA = G_{\mathrm{水}} × OB$
代入数据得：
$G_0=\frac{G_{\mathrm{水}} × OB}{OA}=\frac{40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}}{0.2\ \mathrm{m}}=100\ \mathrm{N}$
(2) 当A处配重$G_1=120\ \mathrm{N}$，B处水重40 N时，先计算两侧力矩：
左侧力矩$G_1 × OA=120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=24\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩$G_{\mathrm{水}} × OB=40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{N·m}$，左侧力矩更大，杠杆逆时针转动，故C处施加向下的拉力$F_1$，力臂$OC=OB-BC=0.5\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_1 × OA = G_{\mathrm{水}} × OB + F_1 × OC$
代入数据得：
$F_1=\frac{G_1 × OA - G_{\mathrm{水}} × OB}{OC}=\frac{120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m} - 40\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}$
(3) 当A处配重120 N，B处水重60 N时，计算两侧力矩：
左侧力矩$120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=24\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩$60\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m}=30\ \mathrm{N·m}$，右侧力矩更大，杠杆顺时针转动，故C处施加向上的推力$F_2$，力臂$OC=0.4\ \mathrm{m}$。根据杠杆平衡条件：
$G_{\mathrm{水}} × OB = G_1 × OA + F_2 × OC$
代入数据得：
$F_2=\frac{G_{\mathrm{水}} × OB - G_1 × OA}{OC}=\frac{60\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m} - 120\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}=15\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $100\ \mathrm{N}$；(2) $10\ \mathrm{N}$；(3) $15\ \mathrm{N}$
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题结合古代桔槔汲水的实际模型，考查杠杆平衡条件的应用，需准确判断力的方向和力臂，体现物理知识在生活中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
2（2025常州模拟）如图甲所示为某款静止在水平地面上的智能机器人，重力为400 N.它在某次引领接待工作中，沿水平方向运动的路程s随时间t变化图像如图乙所示.已知机器人受到的水平阻力为机器人自重的0.02倍，问：
（1）在0～5 s内，动力对机器人做的功为多少？
（2）在0～10 s内，动力对机器人做功的功率为多少？
（1）在0～5 s内，动力对机器人做的功为多少？
（2）在0～10 s内，动力对机器人做功的功率为多少？
答案
(1) 由图像可知机器人在0～5 s沿动力方向运动的距离$s=2\ \mathrm{m}$,
机器人匀速运动,
$F=f=0.02G=0.02×400\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N},$
动力做功为
$W=Fs=8\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=16\ \mathrm{J}.$
(2) 由图像可知机器人在0～10 s沿动力方向运动的距离$s'=4\ \mathrm{m}$,
在0～10 s内,动力对机器人做功的功为
$W'=Fs'=8\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=32\ \mathrm{J},$
动力对机器人做功的功率为
$P=\frac{W'}{t}=\frac{32\ \mathrm{J}}{10\ \mathrm{s}}=3.2\ \mathrm{W}.$
机器人匀速运动,
$F=f=0.02G=0.02×400\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N},$
动力做功为
$W=Fs=8\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=16\ \mathrm{J}.$
(2) 由图像可知机器人在0～10 s沿动力方向运动的距离$s'=4\ \mathrm{m}$,
在0～10 s内,动力对机器人做功的功为
$W'=Fs'=8\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=32\ \mathrm{J},$
动力对机器人做功的功率为
$P=\frac{W'}{t}=\frac{32\ \mathrm{J}}{10\ \mathrm{s}}=3.2\ \mathrm{W}.$
解析
【分析】
要解答本题，需先结合s-t图像判断机器人的运动状态：0～5s内机器人做匀速直线运动，此时水平方向的动力与阻力是平衡力，大小相等；解题时先根据“阻力为自重的0.02倍”算出动力大小，再从图像中提取对应时间段机器人运动的路程，利用功的公式计算动力做功，最后用功率公式计算功率。
【解析】
（1）机器人在0～5s内做匀速直线运动，水平方向受力平衡，因此动力F等于阻力f。
已知阻力$f=0.02G=0.02×400\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$，故$F=f=8\ \mathrm{N}$。
由图乙可知，0～5s内机器人运动的路程$s=2\ \mathrm{m}$，
根据功的计算公式$W=Fs$，动力做的功：
$W=Fs=8\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=16\ \mathrm{J}$。
（2）由图乙可知，0～10s内机器人运动的总路程$s'=4\ \mathrm{m}$，
则0～10s内动力做的总功：
$W'=Fs'=8\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=32\ \mathrm{J}$，
根据功率公式$P=\frac{W}{t}$，动力做功的功率：
$P=\frac{W'}{t}=\frac{32\ \mathrm{J}}{10\ \mathrm{s}}=3.2\ \mathrm{W}$。
【答案】
（1）16 J；（2）3.2 W
【知识点】
功的计算、功率的计算、二力平衡
【点评】
本题结合s-t图像考查功和功率的基础计算，关键是从图像提取路程，利用二力平衡确定动力，公式应用简单，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
要解答本题，需先结合s-t图像判断机器人的运动状态：0～5s内机器人做匀速直线运动，此时水平方向的动力与阻力是平衡力，大小相等；解题时先根据“阻力为自重的0.02倍”算出动力大小，再从图像中提取对应时间段机器人运动的路程，利用功的公式计算动力做功，最后用功率公式计算功率。
【解析】
（1）机器人在0～5s内做匀速直线运动，水平方向受力平衡，因此动力F等于阻力f。
已知阻力$f=0.02G=0.02×400\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$，故$F=f=8\ \mathrm{N}$。
由图乙可知，0～5s内机器人运动的路程$s=2\ \mathrm{m}$，
根据功的计算公式$W=Fs$，动力做的功：
$W=Fs=8\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=16\ \mathrm{J}$。
（2）由图乙可知，0～10s内机器人运动的总路程$s'=4\ \mathrm{m}$，
则0～10s内动力做的总功：
$W'=Fs'=8\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=32\ \mathrm{J}$，
根据功率公式$P=\frac{W}{t}$，动力做功的功率：
$P=\frac{W'}{t}=\frac{32\ \mathrm{J}}{10\ \mathrm{s}}=3.2\ \mathrm{W}$。
【答案】
（1）16 J；（2）3.2 W
【知识点】
功的计算、功率的计算、二力平衡
【点评】
本题结合s-t图像考查功和功率的基础计算，关键是从图像提取路程，利用二力平衡确定动力，公式应用简单，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
