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1. 如右图,一个圆柱和一个圆锥等底等高。
(1) 如果圆柱的体积是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
(2) 如果圆锥的体积是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆柱的体积是(
(3) 如果它们的体积相差 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
(4) 如果它们的体积和是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
(5) 如果将左边高9 cm的圆锥形量杯装满水,再将水倒入右边的圆柱形量杯,那么圆柱形量杯的水面高度是(
(1) 如果圆柱的体积是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
6
) $\mathrm{dm}^3$。(2) 如果圆锥的体积是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆柱的体积是(
54
) $\mathrm{dm}^3$。(3) 如果它们的体积相差 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
9
) $\mathrm{dm}^3$,圆柱的体积是(27
) $\mathrm{dm}^3$。(4) 如果它们的体积和是 $18\ \mathrm{dm}^3$, 那么圆锥的体积是(
4.5
) $\mathrm{dm}^3$,圆柱的体积是(13.5
) $\mathrm{dm}^3$。(5) 如果将左边高9 cm的圆锥形量杯装满水,再将水倒入右边的圆柱形量杯,那么圆柱形量杯的水面高度是(
3
)cm。答案
1. (1)6 (2)54 (3)9 27 (4)4.5
13.5 (5)3
13.5 (5)3
解析
【分析】
本题核心是利用“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”这一关系解题，我们可以根据不同已知条件，梳理数量关系：
1. 已知圆柱体积求圆锥体积：圆锥体积=圆柱体积×$\frac{1}{3}$；
2. 已知圆锥体积求圆柱体积：圆柱体积=圆锥体积×3；
3. 已知体积差：圆柱比圆锥多的体积是圆锥体积的2倍，先求圆锥体积，再求圆柱体积；
4. 已知体积和：体积和是圆锥体积的4倍，先求圆锥体积，再求圆柱体积；
5. 等体积等底的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，用圆锥的高乘$\frac{1}{3}$即可得到圆柱水面高度。
【解析】
(1) 因为等底等高的圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积：$18×\frac{1}{3}=6(\mathrm{dm}^3)$；
(2) 因为等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，所以圆柱体积：$18×3=54(\mathrm{dm}^3)$；
(3) 等底等高时，圆柱体积比圆锥多$3-1=2$倍圆锥体积，所以圆锥体积：$18÷(3-1)=9(\mathrm{dm}^3)$，圆柱体积：$9×3=27(\mathrm{dm}^3)$；
(4) 等底等高时，体积和是圆锥体积的$3+1=4$倍，所以圆锥体积：$18÷(3+1)=4.5(\mathrm{dm}^3)$，圆柱体积：$4.5×3=13.5(\mathrm{dm}^3)$；
(5) 等体积等底时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，所以水面高度：$9×\frac{1}{3}=3(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)6 (2)54 (3)9 27 (4)4.5 13.5 (5)3
【知识点】
等底等高圆柱圆锥体积关系，圆柱圆锥体积计算
【点评】
本题紧密围绕等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系，考查对该知识点的灵活运用能力。解题时需根据不同的已知条件，准确梳理数量间的倍数关系，选择对应的计算方法，是对圆柱圆锥体积核心知识点的综合考查。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”这一关系解题，我们可以根据不同已知条件，梳理数量关系：
1. 已知圆柱体积求圆锥体积：圆锥体积=圆柱体积×$\frac{1}{3}$；
2. 已知圆锥体积求圆柱体积：圆柱体积=圆锥体积×3；
3. 已知体积差：圆柱比圆锥多的体积是圆锥体积的2倍，先求圆锥体积，再求圆柱体积；
4. 已知体积和：体积和是圆锥体积的4倍，先求圆锥体积，再求圆柱体积；
5. 等体积等底的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，用圆锥的高乘$\frac{1}{3}$即可得到圆柱水面高度。
【解析】
(1) 因为等底等高的圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，所以圆锥体积：$18×\frac{1}{3}=6(\mathrm{dm}^3)$；
(2) 因为等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，所以圆柱体积：$18×3=54(\mathrm{dm}^3)$；
(3) 等底等高时，圆柱体积比圆锥多$3-1=2$倍圆锥体积，所以圆锥体积：$18÷(3-1)=9(\mathrm{dm}^3)$，圆柱体积：$9×3=27(\mathrm{dm}^3)$；
(4) 等底等高时，体积和是圆锥体积的$3+1=4$倍，所以圆锥体积：$18÷(3+1)=4.5(\mathrm{dm}^3)$，圆柱体积：$4.5×3=13.5(\mathrm{dm}^3)$；
(5) 等体积等底时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，所以水面高度：$9×\frac{1}{3}=3(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)6 (2)54 (3)9 27 (4)4.5 13.5 (5)3
【知识点】
等底等高圆柱圆锥体积关系，圆柱圆锥体积计算
【点评】
本题紧密围绕等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系，考查对该知识点的灵活运用能力。解题时需根据不同的已知条件，准确梳理数量间的倍数关系，选择对应的计算方法，是对圆柱圆锥体积核心知识点的综合考查。
【难度系数】
0.6
2. 计算下面圆锥的体积。
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
2. (1)$3.14×(6÷2)^2×9×\frac{1}{3}=84.78(\mathrm{dm}^3)$
(2)$18.84÷3.14÷2=3(\mathrm{m})$ $3.14×3^2×10×\frac{1}{3}=94.2(\mathrm{m}^3)$
(2)$18.84÷3.14÷2=3(\mathrm{m})$ $3.14×3^2×10×\frac{1}{3}=94.2(\mathrm{m}^3)$
解析
【分析】
要计算圆锥的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是圆锥的底面积，$h$是圆锥的高）。
对于（1），已知圆锥底面直径和高，先通过直径求出底面半径，再根据圆的面积公式$S=π r^2$算出底面积，最后代入圆锥体积公式计算即可。
对于（2），已知圆锥底面周长和高，先根据圆的周长公式$C=2π r$求出底面半径，再计算底面积，最后代入圆锥体积公式求出体积。
【解析】
(1) 综合算式计算：
$3.14×(6÷2)^2×9×\frac{1}{3}$
$=3.14×3^2×9×\frac{1}{3}$
$=3.14×9×3$
$=84.78(\mathrm{dm}^3)$
(2) 第一步：求底面半径
$18.84÷3.14÷2=3(\mathrm{m})$
第二步：计算圆锥体积
$3.14×3^2×10×\frac{1}{3}$
$=3.14×9×10×\frac{1}{3}$
$=3.14×3×10$
$=94.2(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) $84.78\mathrm{dm}^3$；(2) $94.2\mathrm{m}^3$
【知识点】
圆锥体积计算，圆的面积计算，圆的周长计算
【点评】
本题考查圆锥体积的基础计算，解题关键是牢记圆锥体积公式，能根据已知条件（直径或周长）正确求出底面半径，特别注意计算时不要遗漏乘$\frac{1}{3}$，这是这类题的易错点。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是圆锥的底面积，$h$是圆锥的高）。
对于（1），已知圆锥底面直径和高，先通过直径求出底面半径，再根据圆的面积公式$S=π r^2$算出底面积，最后代入圆锥体积公式计算即可。
对于（2），已知圆锥底面周长和高，先根据圆的周长公式$C=2π r$求出底面半径，再计算底面积，最后代入圆锥体积公式求出体积。
【解析】
(1) 综合算式计算：
$3.14×(6÷2)^2×9×\frac{1}{3}$
$=3.14×3^2×9×\frac{1}{3}$
$=3.14×9×3$
$=84.78(\mathrm{dm}^3)$
(2) 第一步：求底面半径
$18.84÷3.14÷2=3(\mathrm{m})$
第二步：计算圆锥体积
$3.14×3^2×10×\frac{1}{3}$
$=3.14×9×10×\frac{1}{3}$
$=3.14×3×10$
$=94.2(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) $84.78\mathrm{dm}^3$；(2) $94.2\mathrm{m}^3$
【知识点】
圆锥体积计算，圆的面积计算，圆的周长计算
【点评】
本题考查圆锥体积的基础计算，解题关键是牢记圆锥体积公式，能根据已知条件（直径或周长）正确求出底面半径，特别注意计算时不要遗漏乘$\frac{1}{3}$，这是这类题的易错点。
【难度系数】
0.8
3. 一个圆锥形沙堆,其底面积是$6\ \mathrm{m}^2$,高是2 m。将这堆沙铺在长40 m、宽4 m的路面上,能铺几厘米厚?
答案
3. $6×2×\frac{1}{3}=4(\mathrm{m}^3)$ $4÷(40×4)=0.025(\mathrm{m})$
$0.025\mathrm{ m}=2.5\mathrm{ cm}$ 答:能铺2.5 cm厚。
$0.025\mathrm{ m}=2.5\mathrm{ cm}$ 答:能铺2.5 cm厚。
解析
【分析】
这道题的核心是利用“沙的体积不变”这一关键条件解题。首先需要计算圆锥形沙堆的体积，因为沙堆铺在路面上会形成一个长方体，二者体积相等；接着用沙的体积除以路面的底面积（长×宽），就能得到铺的厚度；最后将厚度的单位从米换算成厘米，符合题目要求。
【解析】
1. 计算圆锥形沙堆的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），代入数据可得：
$6×2×\frac{1}{3}=4(\mathrm{m}^3)$
2. 计算铺沙的厚度：
路面为长方形，其底面积为$40×4=160(\mathrm{m}^2)$，根据长方体体积公式$V=S_{底}×h_{厚}$，可得厚度：
$4÷(40×4)=0.025(\mathrm{m})$
3. 单位换算：
因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，所以$0.025\mathrm{m}=0.025×100=2.5\mathrm{cm}$
答：能铺2.5厘米厚。
【答案】
能铺2.5厘米厚。
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积应用、长度单位换算
【点评】
本题考查了圆锥与长方体体积公式的灵活运用，关键是抓住“沙的体积不变”这一隐含条件，同时需注意单位换算，避免因单位不统一出现错误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用“沙的体积不变”这一关键条件解题。首先需要计算圆锥形沙堆的体积，因为沙堆铺在路面上会形成一个长方体，二者体积相等；接着用沙的体积除以路面的底面积（长×宽），就能得到铺的厚度；最后将厚度的单位从米换算成厘米，符合题目要求。
【解析】
1. 计算圆锥形沙堆的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），代入数据可得：
$6×2×\frac{1}{3}=4(\mathrm{m}^3)$
2. 计算铺沙的厚度：
路面为长方形，其底面积为$40×4=160(\mathrm{m}^2)$，根据长方体体积公式$V=S_{底}×h_{厚}$，可得厚度：
$4÷(40×4)=0.025(\mathrm{m})$
3. 单位换算：
因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，所以$0.025\mathrm{m}=0.025×100=2.5\mathrm{cm}$
答：能铺2.5厘米厚。
【答案】
能铺2.5厘米厚。
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积应用、长度单位换算
【点评】
本题考查了圆锥与长方体体积公式的灵活运用，关键是抓住“沙的体积不变”这一隐含条件，同时需注意单位换算，避免因单位不统一出现错误。
【难度系数】
0.7
4. 把一个底面半径3 dm、高5 dm的圆锥形钢材锻造成一个高是15 dm的圆柱,这个圆柱的底面积是多少平方分米?
答案
4. $3.14×3^2×5×\frac{1}{3}÷15=3.14(\mathrm{dm}^2)$
答:这个圆柱的底面积是$3.14\mathrm{ dm}^2$。
答:这个圆柱的底面积是$3.14\mathrm{ dm}^2$。
解析
【分析】
这道题的关键是理解锻造前后钢材的体积不变，即圆锥的体积等于圆柱的体积。首先我们需要根据圆锥的体积公式求出圆锥形钢材的体积，再利用圆柱的体积公式（圆柱体积=底面积×高），变形得到圆柱的底面积=体积÷高，代入数值计算即可。
【解析】
1. 计算圆锥形钢材的体积：
根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2h$，其中底面半径$r=3\mathrm{dm}$，高$h=5\mathrm{dm}$，代入可得：
$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5$
$=\frac{1}{3}×3.14×9×5$
$=47.1(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算圆柱的底面积：
由于锻造前后体积不变，即圆柱体积$V_{柱}=V_{锥}=47.1\mathrm{dm}^3$，已知圆柱的高$h_{柱}=15\mathrm{dm}$，根据圆柱体积公式$V_{柱}=S_{底}×h_{柱}$，变形得$S_{底}=V_{柱}÷h_{柱}$，代入数值：
$S_{底}=47.1÷15=3.14(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
这个圆柱的底面积是$3.14\mathrm{ dm}^2$。
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，核心是抓住锻造前后体积不变这一关键条件，需要熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式，计算过程中注意运算顺序和数值的准确性。
【难度系数】
0.7
这道题的关键是理解锻造前后钢材的体积不变，即圆锥的体积等于圆柱的体积。首先我们需要根据圆锥的体积公式求出圆锥形钢材的体积，再利用圆柱的体积公式（圆柱体积=底面积×高），变形得到圆柱的底面积=体积÷高，代入数值计算即可。
【解析】
1. 计算圆锥形钢材的体积：
根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2h$，其中底面半径$r=3\mathrm{dm}$，高$h=5\mathrm{dm}$，代入可得：
$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5$
$=\frac{1}{3}×3.14×9×5$
$=47.1(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算圆柱的底面积：
由于锻造前后体积不变，即圆柱体积$V_{柱}=V_{锥}=47.1\mathrm{dm}^3$，已知圆柱的高$h_{柱}=15\mathrm{dm}$，根据圆柱体积公式$V_{柱}=S_{底}×h_{柱}$，变形得$S_{底}=V_{柱}÷h_{柱}$，代入数值：
$S_{底}=47.1÷15=3.14(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
这个圆柱的底面积是$3.14\mathrm{ dm}^2$。
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，核心是抓住锻造前后体积不变这一关键条件，需要熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式，计算过程中注意运算顺序和数值的准确性。
【难度系数】
0.7
5. 【提优挑战】把一个圆锥沿着高切开,得到两个如右图所示的立体图形,截面的面积之和是$10\ \mathrm{cm}^2$。如果原来圆锥的高是5 cm,那么它的体积是多少立方厘米?(结果保留两位小数)
答案
5. $10÷2÷\frac{1}{2}÷5÷2=1(\mathrm{cm})$ $\frac{1}{3}×3.14×1^2×5≈5.23(\mathrm{cm}^3)$ 答:它的体积是$5.23\mathrm{ cm}^3$。
解析
【分析】
首先明确，把圆锥沿高切开后，得到两个完全相同的等腰三角形截面，截面面积之和为$10\ \mathrm{cm}^2$，因此先求出单个截面的面积。该等腰三角形的高等于圆锥的高（$5\ \mathrm{cm}$），底等于圆锥的底面直径。我们可以利用三角形面积公式求出底面直径，进而得到底面半径，最后代入圆锥体积公式计算出圆锥的体积。
【解析】
1. 计算单个截面的面积：
$10÷2=5(\mathrm{cm}^2)$
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），求出圆锥的底面直径：
$a = 2S÷ h = 2×5÷5=2(\mathrm{cm})$
则底面半径$r=2÷2=1(\mathrm{cm})$
3. 代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算体积：
$\frac{1}{3}×3.14×1^2×5\approx5.23(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
它的体积是$\boldsymbol{5.23}$立方厘米。
【知识点】
圆锥体积计算，三角形面积公式
【点评】
本题需要结合圆锥的截面特征，将截面面积与圆锥的底面直径、高建立关联，考查了对立体图形截面的认识以及几何公式的综合运用能力，需要学生具备一定的空间想象和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
首先明确，把圆锥沿高切开后，得到两个完全相同的等腰三角形截面，截面面积之和为$10\ \mathrm{cm}^2$，因此先求出单个截面的面积。该等腰三角形的高等于圆锥的高（$5\ \mathrm{cm}$），底等于圆锥的底面直径。我们可以利用三角形面积公式求出底面直径，进而得到底面半径，最后代入圆锥体积公式计算出圆锥的体积。
【解析】
1. 计算单个截面的面积：
$10÷2=5(\mathrm{cm}^2)$
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），求出圆锥的底面直径：
$a = 2S÷ h = 2×5÷5=2(\mathrm{cm})$
则底面半径$r=2÷2=1(\mathrm{cm})$
3. 代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算体积：
$\frac{1}{3}×3.14×1^2×5\approx5.23(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
它的体积是$\boldsymbol{5.23}$立方厘米。
【知识点】
圆锥体积计算，三角形面积公式
【点评】
本题需要结合圆锥的截面特征，将截面面积与圆锥的底面直径、高建立关联，考查了对立体图形截面的认识以及几何公式的综合运用能力，需要学生具备一定的空间想象和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
