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1. 选择。
(1)一个圆锥的体积是$628\ \mathrm{dm}^3$,底面直径是$20\ \mathrm{dm}$,它的高应是(
A. 2
B. 6
C. 9
D. 18
(2)用一块长$25.12\ \mathrm{cm}$、宽$15.7\ \mathrm{cm}$的长方形铁皮,配上直径是(
A. 2.5
B. 4
C. 5
D. 8
(3)下面各图中,(
A.
B.
C.
D.
(4)一个圆柱和一个圆锥,高相等,底面半径之比是$3:4$,则它们的体积之比是(
A. $3:4$
B. $9:16$
C. $27:16$
D. $9:4$
(1)一个圆锥的体积是$628\ \mathrm{dm}^3$,底面直径是$20\ \mathrm{dm}$,它的高应是(
B
)$\mathrm{dm}$。A. 2
B. 6
C. 9
D. 18
(2)用一块长$25.12\ \mathrm{cm}$、宽$15.7\ \mathrm{cm}$的长方形铁皮,配上直径是(
D
)$\mathrm{cm}$的圆形铁皮,可以做成容积最大的圆柱形容器。A. 2.5
B. 4
C. 5
D. 8
(3)下面各图中,(
B
)是圆柱的展开图。(单位:$\mathrm{cm}$)A.
B.
C.
D.
(4)一个圆柱和一个圆锥,高相等,底面半径之比是$3:4$,则它们的体积之比是(
C
)。A. $3:4$
B. $9:16$
C. $27:16$
D. $9:4$
答案
1.(1)B (2)D (3)B (4)C
解析
【分析】
本题包含四道选择题，分别考查圆锥体积计算、圆柱容积最大化、圆柱展开图特征、圆柱与圆锥体积比的计算，需结合对应公式和图形特征逐一分析：
1. 第(1)题：已知圆锥体积和底面直径，根据圆锥体积公式变形求高，先算出底面半径，再代入公式计算。
2. 第(2)题：长方形铁皮做圆柱有两种围法，分别以长和宽为底面周长计算容积，比较后选择容积最大的对应底面直径。
3. 第(3)题：圆柱展开图中长方形的长需等于底面圆的周长，计算底面圆周长后匹配选项。
4. 第(4)题：根据圆柱和圆锥的体积公式，结合底面半径比和高相等的条件，推导体积比。
【解析】
(1) 圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2h$，变形得$h=\frac{3V}{π r^2}$。
底面半径$r=20÷2=10\ \mathrm{dm}$，代入数据：
$h=\frac{3×628}{3.14×10^2}=\frac{1884}{314}=6\ \mathrm{dm}$，故选B。
(2) 分两种情况计算圆柱容积：
① 以长方形的长$25.12\ \mathrm{cm}$为底面周长：
底面直径$d=25.12÷3.14=8\ \mathrm{cm}$，半径$r=4\ \mathrm{cm}$，
容积$V_1=π r^2h=3.14×4^2×15.7=788.768\ \mathrm{cm}^3$；
② 以长方形的宽$15.7\ \mathrm{cm}$为底面周长：
底面直径$d=15.7÷3.14=5\ \mathrm{cm}$，半径$r=2.5\ \mathrm{cm}$，
容积$V_2=π r^2h=3.14×2.5^2×25.12=492.98\ \mathrm{cm}^3$；
因为$V_1＞V_2$，所以选择直径8cm的圆形铁皮，故选D。
(3) 圆柱展开图中长方形的长等于底面圆的周长，底面直径为6cm，周长$C=π d=3.14×6=18.84\ \mathrm{cm}$，对应选项B的长方形长为18.84cm，符合要求，故选B。
(4) 设圆柱底面半径为$3r$，圆锥底面半径为$4r$，高都为$h$。
圆柱体积$V_柱=π(3r)^2h=9π r^2h$，
圆锥体积$V_锥=\frac{1}{3}π(4r)^2h=\frac{16}{3}π r^2h$，
体积比$V_柱:V_锥=9π r^2h:\frac{16}{3}π r^2h=27:16$，故选C。
【答案】
(1)B；(2)D；(3)B；(4)C
【知识点】
1. 圆锥体积计算
2. 圆柱容积计算
3. 圆柱圆锥体积比
【点评】
本题综合考查了圆柱、圆锥的体积相关计算及圆柱展开图的特征，需要熟练掌握相关公式，注意分类讨论和公式的灵活变形，培养空间想象能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
本题包含四道选择题，分别考查圆锥体积计算、圆柱容积最大化、圆柱展开图特征、圆柱与圆锥体积比的计算，需结合对应公式和图形特征逐一分析：
1. 第(1)题：已知圆锥体积和底面直径，根据圆锥体积公式变形求高，先算出底面半径，再代入公式计算。
2. 第(2)题：长方形铁皮做圆柱有两种围法，分别以长和宽为底面周长计算容积，比较后选择容积最大的对应底面直径。
3. 第(3)题：圆柱展开图中长方形的长需等于底面圆的周长，计算底面圆周长后匹配选项。
4. 第(4)题：根据圆柱和圆锥的体积公式，结合底面半径比和高相等的条件，推导体积比。
【解析】
(1) 圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2h$，变形得$h=\frac{3V}{π r^2}$。
底面半径$r=20÷2=10\ \mathrm{dm}$，代入数据：
$h=\frac{3×628}{3.14×10^2}=\frac{1884}{314}=6\ \mathrm{dm}$，故选B。
(2) 分两种情况计算圆柱容积：
① 以长方形的长$25.12\ \mathrm{cm}$为底面周长：
底面直径$d=25.12÷3.14=8\ \mathrm{cm}$，半径$r=4\ \mathrm{cm}$，
容积$V_1=π r^2h=3.14×4^2×15.7=788.768\ \mathrm{cm}^3$；
② 以长方形的宽$15.7\ \mathrm{cm}$为底面周长：
底面直径$d=15.7÷3.14=5\ \mathrm{cm}$，半径$r=2.5\ \mathrm{cm}$，
容积$V_2=π r^2h=3.14×2.5^2×25.12=492.98\ \mathrm{cm}^3$；
因为$V_1＞V_2$，所以选择直径8cm的圆形铁皮，故选D。
(3) 圆柱展开图中长方形的长等于底面圆的周长，底面直径为6cm，周长$C=π d=3.14×6=18.84\ \mathrm{cm}$，对应选项B的长方形长为18.84cm，符合要求，故选B。
(4) 设圆柱底面半径为$3r$，圆锥底面半径为$4r$，高都为$h$。
圆柱体积$V_柱=π(3r)^2h=9π r^2h$，
圆锥体积$V_锥=\frac{1}{3}π(4r)^2h=\frac{16}{3}π r^2h$，
体积比$V_柱:V_锥=9π r^2h:\frac{16}{3}π r^2h=27:16$，故选C。
【答案】
(1)B；(2)D；(3)B；(4)C
【知识点】
1. 圆锥体积计算
2. 圆柱容积计算
3. 圆柱圆锥体积比
【点评】
本题综合考查了圆柱、圆锥的体积相关计算及圆柱展开图的特征，需要熟练掌握相关公式，注意分类讨论和公式的灵活变形，培养空间想象能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
2. 如右图,做一个这样的饮料瓶。
(1)需要多少平方厘米铁皮?
(2)饮料瓶商标纸上印着“净含量$600\ \mathrm{mL}$”,请问厂家有没有欺骗消费者?
(1)需要多少平方厘米铁皮?
(2)饮料瓶商标纸上印着“净含量$600\ \mathrm{mL}$”,请问厂家有没有欺骗消费者?
答案
2.(1)3.14×8×11=276.32($cm^{2}$) 3.14×$(8÷2)^{2}$×2=100.48($cm^{2}$) 276.32+100.48=376.8($cm^{2}$) 答:需要铁皮376.8$cm^{2}$。 (2)3.14×$4^{2}$×11=552.64($cm^{3}$)=552.64(mL) 552.64＜600 答:厂家欺骗消费者。
解析
【分析】
(1) 求制作饮料瓶需要的铁皮面积，实际是求圆柱的表面积。圆柱表面积由侧面积和两个底面积组成，先根据“圆柱侧面积=底面周长×高”算出侧面积，再根据“圆的面积=πr²”算出两个底面积，最后将侧面积与两个底面积相加得到总面积。
(2) 判断厂家是否欺骗消费者，需要计算饮料瓶的容积（即圆柱体积），根据“圆柱体积=底面积×高”算出容积，再与标注的净含量600mL比较，若计算出的容积小于600mL，则说明厂家存在欺骗行为。
【解析】
(1) 计算圆柱侧面积：
$3.14×8×11=276.32$（$\mathrm{cm^2}$）
计算两个底面积：
$3.14×(8÷2)^2×2=3.14×16×2=100.48$（$\mathrm{cm^2}$）
计算圆柱表面积：
$276.32+100.48=376.8$（$\mathrm{cm^2}$）
答：需要铁皮$376.8\ \mathrm{cm^2}$。
(2) 计算饮料瓶的容积：
$3.14×(8÷2)^2×11=3.14×16×11=552.64$（$\mathrm{cm^3}$）
因为$1\ \mathrm{cm^3}=1\ \mathrm{mL}$，所以$552.64\ \mathrm{cm^3}=552.64\ \mathrm{mL}$
比较容积与标注净含量：$552.64＜600$
答：厂家欺骗消费者。
【答案】
(1) 需要铁皮$376.8\ \mathrm{cm^2}$；
(2) 厂家欺骗消费者。
【知识点】
圆柱表面积计算、圆柱容积计算
【点评】
本题考查圆柱表面积和容积的实际应用，需准确区分表面积与容积的概念，熟练掌握对应的计算公式，同时注意体积单位与容积单位的换算，通过计算解决实际生活中的判断问题，提升应用数学知识的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求制作饮料瓶需要的铁皮面积，实际是求圆柱的表面积。圆柱表面积由侧面积和两个底面积组成，先根据“圆柱侧面积=底面周长×高”算出侧面积，再根据“圆的面积=πr²”算出两个底面积，最后将侧面积与两个底面积相加得到总面积。
(2) 判断厂家是否欺骗消费者，需要计算饮料瓶的容积（即圆柱体积），根据“圆柱体积=底面积×高”算出容积，再与标注的净含量600mL比较，若计算出的容积小于600mL，则说明厂家存在欺骗行为。
【解析】
(1) 计算圆柱侧面积：
$3.14×8×11=276.32$（$\mathrm{cm^2}$）
计算两个底面积：
$3.14×(8÷2)^2×2=3.14×16×2=100.48$（$\mathrm{cm^2}$）
计算圆柱表面积：
$276.32+100.48=376.8$（$\mathrm{cm^2}$）
答：需要铁皮$376.8\ \mathrm{cm^2}$。
(2) 计算饮料瓶的容积：
$3.14×(8÷2)^2×11=3.14×16×11=552.64$（$\mathrm{cm^3}$）
因为$1\ \mathrm{cm^3}=1\ \mathrm{mL}$，所以$552.64\ \mathrm{cm^3}=552.64\ \mathrm{mL}$
比较容积与标注净含量：$552.64＜600$
答：厂家欺骗消费者。
【答案】
(1) 需要铁皮$376.8\ \mathrm{cm^2}$；
(2) 厂家欺骗消费者。
【知识点】
圆柱表面积计算、圆柱容积计算
【点评】
本题考查圆柱表面积和容积的实际应用，需准确区分表面积与容积的概念，熟练掌握对应的计算公式，同时注意体积单位与容积单位的换算，通过计算解决实际生活中的判断问题，提升应用数学知识的能力。
【难度系数】
0.8
3. 一个底面直径是$20\ \mathrm{cm}$的圆柱形容器中装有水,水里浸没着一个底面直径$6\ \mathrm{cm}$、高$20\ \mathrm{cm}$的圆锥形铅锤。当铅锤取出时,容器里的水面高度会下降多少厘米?
答案
3.3.14×$(6÷2)^{2}$×20×$\frac{1}{3}$=188.4($cm^{3}$) 3.14×$(20÷2)^{2}$=314($cm^{2}$) 188.4÷314=0.6(cm) 答:当铅锤取出时,容器里的水面高度会下降0.6cm。
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解：当圆锥形铅锤取出后，容器中水面下降部分的水的体积等于圆锥形铅锤的体积。解题思路分为三步：第一步，根据圆锥体积公式计算出铅锤的体积；第二步，计算圆柱形容器的底面积；第三步，用铅锤的体积除以圆柱容器的底面积，得到水面下降的高度（因为圆柱体积=底面积×高，所以高=体积÷底面积）。
【解析】
1. 计算圆锥形铅锤的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，其中底面半径$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$，高$h=20\ \mathrm{cm}$，代入得：
$V_{圆锥}=3.14×(6÷2)^2×20×\frac{1}{3}=3.14×9×20×\frac{1}{3}=188.4\ \mathrm{cm^3}$
2. 计算圆柱形容器的底面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，其中底面半径$R=20÷2=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$S_{圆柱底}=3.14×(20÷2)^2=3.14×100=314\ \mathrm{cm^2}$
3. 计算水面下降的高度：
因为水面下降部分水的体积等于圆锥体积，根据圆柱体积公式$V=Sh$，可得下降高度$h=V÷ S$，代入得：
$h=188.4÷314=0.6\ \mathrm{cm}$
答：当铅锤取出时，容器里的水面高度会下降0.6厘米。
【答案】
0.6厘米
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，核心是明确“水面下降的体积等于圆锥的体积”，解题时需准确运用圆锥和圆柱的体积公式，尤其注意圆锥体积计算时要乘$\frac{1}{3}$，避免公式混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是理解：当圆锥形铅锤取出后，容器中水面下降部分的水的体积等于圆锥形铅锤的体积。解题思路分为三步：第一步，根据圆锥体积公式计算出铅锤的体积；第二步，计算圆柱形容器的底面积；第三步，用铅锤的体积除以圆柱容器的底面积，得到水面下降的高度（因为圆柱体积=底面积×高，所以高=体积÷底面积）。
【解析】
1. 计算圆锥形铅锤的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，其中底面半径$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$，高$h=20\ \mathrm{cm}$，代入得：
$V_{圆锥}=3.14×(6÷2)^2×20×\frac{1}{3}=3.14×9×20×\frac{1}{3}=188.4\ \mathrm{cm^3}$
2. 计算圆柱形容器的底面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，其中底面半径$R=20÷2=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$S_{圆柱底}=3.14×(20÷2)^2=3.14×100=314\ \mathrm{cm^2}$
3. 计算水面下降的高度：
因为水面下降部分水的体积等于圆锥体积，根据圆柱体积公式$V=Sh$，可得下降高度$h=V÷ S$，代入得：
$h=188.4÷314=0.6\ \mathrm{cm}$
答：当铅锤取出时，容器里的水面高度会下降0.6厘米。
【答案】
0.6厘米
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，核心是明确“水面下降的体积等于圆锥的体积”，解题时需准确运用圆锥和圆柱的体积公式，尤其注意圆锥体积计算时要乘$\frac{1}{3}$，避免公式混淆。
【难度系数】
0.7
4. 【提优挑战】用“$V=Sh$”求出下面直棱柱的体积。(单位:$\mathrm{cm}$)
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
4.(1)18×10÷2×15=1350($cm^{3}$) (2)(8+20)×6÷2×14=1176($cm^{3}$)
解析
【分析】
要计算直棱柱的体积，根据公式$V=Sh$，关键是先求出底面图形的面积$S$，再乘以直棱柱的高$h$。
对于(1)，直棱柱的底面是三角形，先利用三角形面积公式“底×高÷2”算出底面积，再乘以直棱柱的高15cm即可得到体积；
对于(2)，直棱柱的底面是梯形，先利用梯形面积公式“(上底+下底)×高÷2”算出底面积，再乘以直棱柱的高14cm就能求出体积。
【解析】
(1) 先计算底面三角形的面积：
$S = 18×10÷2 = 90(\mathrm{cm}^2)$
再根据直棱柱体积公式计算体积：
$V = Sh = 90×15 = 1350(\mathrm{cm}^3)$
综合算式：$18×10÷2×15 = 1350(\mathrm{cm}^3)$
(2) 先计算底面梯形的面积：
$S = (8+20)×6÷2 = 84(\mathrm{cm}^2)$
再根据直棱柱体积公式计算体积：
$V = Sh = 84×14 = 1176(\mathrm{cm}^3)$
综合算式：$(8+20)×6÷2×14 = 1176(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)$1350\mathrm{cm}^3$；(2)$1176\mathrm{cm}^3$
【知识点】
直棱柱体积计算、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题考查直棱柱体积公式的实际应用，核心是理解直棱柱体积与底面面积、棱柱高的关系，同时需要熟练掌握三角形和梯形的面积计算方法，通过分步计算或综合算式均可求解，有助于巩固立体图形体积与平面图形面积的关联知识点。
【难度系数】
0.6
要计算直棱柱的体积，根据公式$V=Sh$，关键是先求出底面图形的面积$S$，再乘以直棱柱的高$h$。
对于(1)，直棱柱的底面是三角形，先利用三角形面积公式“底×高÷2”算出底面积，再乘以直棱柱的高15cm即可得到体积；
对于(2)，直棱柱的底面是梯形，先利用梯形面积公式“(上底+下底)×高÷2”算出底面积，再乘以直棱柱的高14cm就能求出体积。
【解析】
(1) 先计算底面三角形的面积：
$S = 18×10÷2 = 90(\mathrm{cm}^2)$
再根据直棱柱体积公式计算体积：
$V = Sh = 90×15 = 1350(\mathrm{cm}^3)$
综合算式：$18×10÷2×15 = 1350(\mathrm{cm}^3)$
(2) 先计算底面梯形的面积：
$S = (8+20)×6÷2 = 84(\mathrm{cm}^2)$
再根据直棱柱体积公式计算体积：
$V = Sh = 84×14 = 1176(\mathrm{cm}^3)$
综合算式：$(8+20)×6÷2×14 = 1176(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)$1350\mathrm{cm}^3$；(2)$1176\mathrm{cm}^3$
【知识点】
直棱柱体积计算、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题考查直棱柱体积公式的实际应用，核心是理解直棱柱体积与底面面积、棱柱高的关系，同时需要熟练掌握三角形和梯形的面积计算方法，通过分步计算或综合算式均可求解，有助于巩固立体图形体积与平面图形面积的关联知识点。
【难度系数】
0.6
