【典例1】求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

方法1:∠1+∠2=∠B+∠E，
∴∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=180°.

方法2:∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

方法3:∠3=∠4+∠A=∠A+∠B+∠D，
∴∠B+∠D+∠C+∠A+∠E=180°.

【分析】
要求五个分散角的和，无法直接分别计算每个角的度数，考虑利用三角形外角的性质，将分散的角转化到同一个三角形中，结合三角形内角和为180°即可求出总和。解题时可以任选不同的外角进行转化，得到多种求解方法。
【解析】
方法1：根据三角形外角的性质，可得∠1+∠2=∠B+∠E，在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=180°，将∠1+∠2替换为∠B+∠E，即可得到五个角的和。

方法2：根据三角形外角的性质，∠1是含∠A、∠C的三角形的外角，故∠1=∠A+∠C；∠2是含∠B、∠E的三角形的外角，故∠2=∠B+∠E。在含∠1、∠2、∠D的三角形中，三个内角和为180°，替换后即可得到五个角的和。

方法3：根据三角形外角的性质，∠4是含∠B、∠D的三角形的外角，故∠4=∠B+∠D；∠3是含∠4、∠A的三角形的外角，故∠3=∠4+∠A=∠A+∠B+∠D。在含∠3、∠C、∠E的三角形中，三个内角和为180°，替换后即可得到五个角的和。

【答案】
方法1:∠1+∠2=∠B+∠E，
∴∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=180°.

方法2:∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

方法3:∠3=∠4+∠A=∠A+∠B+∠D，
∴∠B+∠D+∠C+∠A+∠E=180°.

【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的多边形角度求和问题，核心是利用三角形外角的性质将分散的角集中到同一个三角形中，运用整体思想简化计算，熟练掌握三角形内外角的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

变式1.如图,求∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的度数.

变式1.解:连接CD，
则∠DBE+∠E=∠ECD+∠BDC，
∴∠A+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠E=180°.

【分析】
本题是求解多个分散角的度数和问题，核心思路是通过转化思想将分散的角整合到同一个三角形中，利用三角形内角和定理求解。观察图形特征，我们可以作辅助线连接CD，借助对顶角相等和三角形内角和的性质，将∠DBE和∠E转化为△ACD的内角相关的角，最终将五个角的和转化为三角形ACD的内角和。
【解析】
解：连接CD，设BD、CE交于点F。
在△BEF中，根据三角形内角和定理可得：$∠ DBE + ∠ E + ∠ BFE = 180°$；
在△CDF中，根据三角形内角和定理可得：$∠ ECD + ∠ BDC + ∠ CFD = 180°$；
∵$∠ BFE$与$∠ CFD$是对顶角，
∴$∠ BFE = ∠ CFD$，
∴$∠ DBE + ∠ E = ∠ ECD + ∠ BDC$。
将上述结论代入原式可得：
$∠ A+∠ DBE+∠ C+∠ D+∠ E$
$=∠ A + ∠ C + ∠ ECD + ∠ D + ∠ BDC$
$=∠ A + ∠ ACD + ∠ ADC$
在△ACD中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ ACD + ∠ ADC = 180°$，
因此$∠ A+∠ DBE+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
【答案】
$180°$

【知识点】
三角形内角和；对顶角相等；角度转化
【点评】
本题属于常见的不规则图形角度求和题型，解题核心是通过构造辅助线将分散的角集中到同一个三角形中，利用已学的三角形内角和性质求解，体现了整体转化的数学思想，掌握此类辅助线的构造方法可快速解决同类型的角度求和问题。
【难度系数】
0.7

变式2.如图，若∠E=80°,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.

变式2.解:连接CD，
则∠A+∠B=∠ACD+∠BDC，
∴∠A+∠B+∠EDB+∠ACE=100°.

【分析】
遇到多个不在同一三角形内的角求和的问题，我们通常用转化思想，把分散的角转移到同一个三角形中求解。本题可连接CD作为辅助线：首先根据对顶角相等和三角形内角和为180°，可推导出∠A+∠B和∠ACD+∠BDC相等，这样原本要求的∠A+∠B+∠C+∠D就可以转化为△CDE中除∠E外的两个内角的和，再用三角形内角和减去已知的∠E的度数，就能得到最终结果。
【解析】
解：连接CD，设AC、BD交于点F。
∵在△ABF和△DCF中，∠AFB = ∠DFC（对顶角相等），
且三角形内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ AFB = 180°$，$∠ ACD+∠ BDC+∠ DFC=180°$，
∴$∠ A + ∠ B = ∠ ACD + ∠ BDC$。
在△CDE中，$∠ E=80°$，由三角形内角和定理可得：
$∠ EDC + ∠ ECD + ∠ E = 180°$，
其中$∠ EDC = ∠ D + ∠ BDC$，$∠ ECD = ∠ C + ∠ ACD$，
代入得：$∠ D + ∠ BDC + ∠ C + ∠ ACD + 80° = 180°$，
把$∠ A + ∠ B = ∠ ACD + ∠ BDC$代入上式，得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 180° - 80° = 100°$。
【答案】
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=100°$

【知识点】
三角形内角和，对顶角相等，角的等量代换
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，核心是通过添加辅助线构造三角形，实现角的等量代换，将零散的角整合后利用三角形内角和求解，熟练掌握该方法能快速解决同类型的一笔画角度求和问题。
【难度系数】
0.7

【典例2】如图，求$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数.

【典例2】解:∠AMN=∠A+∠B,∠FNM=∠E+∠F,
∠MGC=∠C+∠D，
∵∠AMN+∠FNM+∠MGC=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

【分析】
要计算六个分散的角的和，直接单独求每个角的度数无法实现，我们可以利用三角形外角的性质进行转化：首先回忆三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，观察图形可发现∠A与∠B的和正好等于△ABM的外角∠AMN，同理∠E+∠F、∠C+∠D也可分别转化为另外两个外角，而这三个外角恰好是同一个三角形的三个外角，三角形外角和为360°，代入代换就能求出六个角的总度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：
$∠ AMN=∠ A+∠ B$，$∠ FNM=∠ E+∠ F$，$∠ MGC=∠ C+∠ D$，
∵ 三角形的外角和为$360°$，即$∠ AMN+∠ FNM+∠ MGC=360°$，
将上述三个等式代入可得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$。
【答案】
$\boldsymbol{360°}$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形外角和定理；整体代换思想
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，核心是通过外角性质将分散的多个角集中，转化为已知和的外角组求解，避免了复杂的角度推导，体现了转化思想与整体思想在几何解题中的应用，解题关键是准确找到对应的外角完成等量代换。
【难度系数】
0.6

【典例3】如图，$∠ CGE=150°$，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=$.

【典例3】300°
解:如图,∠1=∠A+∠F,∠2=∠D+∠E，
而∠1+∠B+∠2+∠C=300°,
∴原式=300°.

【分析】
本题为多角求和类题目，解题的核心是利用三角形外角的性质将分散的角度进行转化，集中到可直接计算角度和的图形中。首先观察图形特征，可通过构造外角将∠A+∠F、∠D+∠E分别转化为两个外角∠1和∠2，此时待求的六个角的和就转化为∠1+∠B+∠C+∠2的和，再结合已知∠CGE=150°，利用角度关系即可求出最终结果。
【解析】
如图标记∠1、∠2，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），可得：
$∠ 1=∠ A+∠ F$，$∠ 2=∠ D+∠ E$，
已知$∠ CGE=150°$，结合图形的角度关系可推得$∠ 1+∠ B+∠ 2+∠ C=300°$，
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=∠ 1+∠ 2+∠ B+∠ C=300°$。
【答案】
$300°$
【知识点】
三角形外角性质；对顶角的性质；多边形内角和
【点评】
本题是角度转化类的典型题型，解题的关键是灵活运用三角形外角的性质，将分散的多个角度集中转化为关联已知条件的角度和，体现了整体转化的数学思想，掌握基础角度性质是快速解题的前提。
【难度系数】
0.6