1. 有一块长a米、宽b米的长方形菜地，将它的长、宽分别增加3米。
（1）先画出示意图，再回答：这块菜地的面积增加了（）平方米。
（2）当a=10，b=8时，这块菜地的面积增加了（）平方米。
（3）小明提出了新的观点“不给出长方形的具体长和宽，知道长方形的周长也可以算出这块菜地增加的面积”，他说得对吗？说说你的看法。

（1）图略，$3(a+b)+9$
（2）63
（3）对。知道长方形的周长即知道了$(a+b)$的值

【分析】
我们可以结合长方形面积公式来解题：
1. 解决第一问时，我们可以通过画图把增加的面积分成3个部分：长a宽3的长方形、长b宽3的长方形、边长3的正方形，把这三部分面积加起来就是增加的总面积，整理后就能得到含字母的式子。
2. 第二问是代入求值，把a和b的数值直接代入第一问得到的式子计算即可。
3. 第三问先观察第一问得到的增加面积的式子，发现式子中只用到了原长和宽的和(a+b)，而长方形周长=2×(长+宽)，所以知道周长就能算出(a+b)的值，自然就能求出增加的面积。
【解析】
（1）我们把长、宽增加后多出来的面积分成三部分：
① 长为a米、宽为3米的长方形，面积：$a×3=3a$平方米
② 长为b米、宽为3米的长方形，面积：$b×3=3b$平方米
③ 边长为3米的正方形，面积：$3×3=9$平方米
增加的总面积 = 三部分面积相加 = $3a+3b+9=3(a+b)+9$平方米
（2）把$a=10$，$b=8$代入$3(a+b)+9$计算：
$3×(10+8)+9=3×18+9=54+9=63$平方米
（3）小明说得对。因为长方形的周长=2×(长+宽)=$2(a+b)$，如果知道周长，就可以算出$a+b=周长÷2$，而增加的面积是$3(a+b)+9$，把算出的$a+b$代入这个式子就能得到增加的面积，所以不需要知道具体的长和宽，知道周长也可以计算。
【答案】
（1）$3(a+b)+9$
（2）63
（3）对。知道长方形的周长即知道了$(a+b)$的值
【知识点】
长方形面积计算，用字母表示数，长方形周长计算
【点评】
这道题将图形面积分析和代数运算结合，既考查了对长方形周长、面积公式的掌握，也锻炼了用字母表示数量关系、代入求值以及分析式子结构的能力。
【难度系数】
0.65

2.《九章算术》中有这样一道题：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人数、物价各几何？”
（1）阅读理解：根据小女孩的解释，分别把“人数”“物价”填入下面的括号中。
几个人合买一个物品，每人出8元，就多3元；每人出7元，就少4元。问：有多少人一起买？物品的价格是多少？动脑筋想想吧！
（）×每人出的8元=()+3元
（2）如果请你教古人用方程解这道题，你会对古人说：“何不设（）为x？”
（3）请你根据上面的设句，列方程解答这道题。

（1）人数，物价
（2）人数
（3）$8x-3=7x+4$，$x=7$ 人数为7，物价为53元

【分析】
1. 第（1）问：先梳理题目中的数量关系，每人出8元时，所有人出的总钱数比物价多3元，总钱数=人数×每人出的钱数，据此就能对应找到括号里要填的量。
2. 第（2）问：用方程解题首先要设合适的未知数，两种出钱情况都和人数直接相关，设人数为x后，两种场景下的物价都可以用含x的式子表示，是最简便的设未知数方式。
3. 第（3）问：解题核心是抓住“物价固定不变”这个等量关系，两种出钱方式下表示的物价相等，就能列出方程，再用等式的性质解方程算出人数，最后代入求出物价即可。
【解析】
（1）根据“每人出8元，就多3元”可知，所有人出的总钱数=人数×8，总钱数比物价多3元，因此：人数×每人出的8元=物价+3元，所以括号依次填人数、物价。
（2）因为两种出钱场景都和人数直接关联，设人数为x后可以很方便表示出两种情况下的物价，所以设人数为x。
（3）解：设一起买物品的人数为x。
物品价格固定不变，每人出8元时物价为$8x - 3$，每人出7元时物价为$7x + 4$，列方程得：
$8x - 3 = 7x + 4$
等式两边同时减去7x，得：$x - 3 = 4$
等式两边同时加上3，得：$x = 7$
将$x=7$代入$8x - 3$，计算物价：$8×7 - 3 = 53$（元）
【答案】
（1）人数，物价
（2）人数
（3）人数为7，物价为53元
【知识点】
方程应用，盈亏问题，等量关系
【点评】
这是我国古代经典的盈亏类数学问题，解题的关键是抓住物价不变这一核心等量关系，通过设未知数建立方程即可快速求解，能有效锻炼从实际问题中提取数学关系的能力。
【难度系数】
0.7