登录
【例1】下列各式中是分式的是(
A.$\frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{x+1}$
C.$\frac{x}{2}+y$
D.$\frac{1}{π}$
B
)A.$\frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{x+1}$
C.$\frac{x}{2}+y$
D.$\frac{1}{π}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且分母B中含有字母（B不为0），则这个式子是分式。解题时只需逐个检查各选项的分母是否含有字母即可，注意π是固定的数学常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{x}{2}$的分母是2，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，含有字母x，符合分式的定义，是分式；
3. 选项C：$\frac{x}{2}+y$是两个整式的和，没有含字母的分母，属于整式，不是分式；
4. 选项D：$\frac{1}{π}$的分母是π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有选项B是分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义，整式的判定，常数π的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对分式定义的理解运用，易错点是容易误将常数π当作字母判断，只要牢记“分母含字母的有理式才是分式”的判定标准即可快速得分。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且分母B中含有字母（B不为0），则这个式子是分式。解题时只需逐个检查各选项的分母是否含有字母即可，注意π是固定的数学常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{x}{2}$的分母是2，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，含有字母x，符合分式的定义，是分式；
3. 选项C：$\frac{x}{2}+y$是两个整式的和，没有含字母的分母，属于整式，不是分式；
4. 选项D：$\frac{1}{π}$的分母是π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有选项B是分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义，整式的判定，常数π的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对分式定义的理解运用，易错点是容易误将常数π当作字母判断，只要牢记“分母含字母的有理式才是分式”的判定标准即可快速得分。
【难度系数】
0.85
练习1.下列式子中：$\frac{2}{x}$，$\frac{x+y}{5}$，$\frac{1}{2-a}$，$\frac{1}{4}x^2y$，其中是分式的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是掌握分式的判定标准，首先回忆分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。判定时关键看式子的分母中是否含有字母，我们只需要逐个核对给出的4个式子，统计符合分式定义的个数即可。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{2}{x}$：分母是$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x+y}{5}$：分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{2-a}$：分母是$2-a$，含有字母$a$，属于分式；
4. $\frac{1}{4}x^2y$：无分母（或分母为1，是常数），属于整式，不是分式。
综上，是分式的共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是误将含有分数形式的式子都判定为分式，判定时要牢牢抓住“分母含字母”这一核心特征，区分整式和分式。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握分式的判定标准，首先回忆分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。判定时关键看式子的分母中是否含有字母，我们只需要逐个核对给出的4个式子，统计符合分式定义的个数即可。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{2}{x}$：分母是$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x+y}{5}$：分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{2-a}$：分母是$2-a$，含有字母$a$，属于分式；
4. $\frac{1}{4}x^2y$：无分母（或分母为1，是常数），属于整式，不是分式。
综上，是分式的共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是误将含有分数形式的式子都判定为分式，判定时要牢牢抓住“分母含字母”这一核心特征，区分整式和分式。
【难度系数】
0.8
练习2.在下列各式中:①$\frac{1}{2}(1-x)$;②$\frac{2x}{π -3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{2}$;④$\frac{3}{x + y}$;⑤$\frac{5y^2}{x}$,其中是分式的是________.
答案
④⑤
解析
【分析】
要判断哪些式子是分式，首先需要明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B不为0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。判断的核心是看式子的分母中是否含有字母，特别注意π是圆周率，属于固定的常数，不属于字母。解题时我们逐个分析5个式子的分母是否含字母，就能得出结果。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，$B≠0$，且B中含有字母）的式子为分式，我们逐个判断：
①$\frac{1}{2}(1-x)$：属于整式，分母为常数2，不含字母，不是分式；
②$\frac{2x}{π -3}$：分母$π-3$中π是常数，所以分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
③$\frac{x^2 - y^2}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
④$\frac{3}{x + y}$：分母为$x+y$，含有字母x、y，满足分式定义，是分式；
⑤$\frac{5y^2}{x}$：分母为x，含有字母x，满足分式定义，是分式。
综上，是分式的为④⑤。
【答案】
④⑤
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是分式判断的基础题，解题的关键是掌握分式的判定标准，尤其要注意π是常数，不要误将含π的分母判定为含字母的分母，避免错判。
【难度系数】
0.8
要判断哪些式子是分式，首先需要明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B不为0），那么$\frac{A}{B}$就是分式。判断的核心是看式子的分母中是否含有字母，特别注意π是圆周率，属于固定的常数，不属于字母。解题时我们逐个分析5个式子的分母是否含字母，就能得出结果。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，$B≠0$，且B中含有字母）的式子为分式，我们逐个判断：
①$\frac{1}{2}(1-x)$：属于整式，分母为常数2，不含字母，不是分式；
②$\frac{2x}{π -3}$：分母$π-3$中π是常数，所以分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
③$\frac{x^2 - y^2}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
④$\frac{3}{x + y}$：分母为$x+y$，含有字母x、y，满足分式定义，是分式；
⑤$\frac{5y^2}{x}$：分母为x，含有字母x，满足分式定义，是分式。
综上，是分式的为④⑤。
【答案】
④⑤
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是分式判断的基础题，解题的关键是掌握分式的判定标准，尤其要注意π是常数，不要误将含π的分母判定为含字母的分母，避免错判。
【难度系数】
0.8
【例2】(2026·北京)若代数式$\frac{1}{x-7}$在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
$x≠7$
。答案
$x≠7$
解析
【分析】要确定该代数式在实数范围内有意义时x的取值范围，首先观察到代数式是分式，根据分式的性质，分式有意义的核心要求是分母不能为0，因此只需令该分式的分母不等于0，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】解：
∵ 代数式$\frac{1}{x-7}$为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 列不等式得：$x-7 ≠ 0$，
解得：$x ≠ 7$。
【答案】$x≠7$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是基础考点题型，主要考查对分式有意义条件的掌握，牢记分母不为0的规则即可快速解题，是分式部分的常规考查内容。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵ 代数式$\frac{1}{x-7}$为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 列不等式得：$x-7 ≠ 0$，
解得：$x ≠ 7$。
【答案】$x≠7$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是基础考点题型，主要考查对分式有意义条件的掌握，牢记分母不为0的规则即可快速解题，是分式部分的常规考查内容。
【难度系数】0.9
练习1.要使分式$\frac{x+1}{x-2}$有意义，则$x$的取值应满足（
A.$x≠2$
B.$x≠-1$
C.$x=2$
D.$x=-1$
A
）A.$x≠2$
B.$x≠-1$
C.$x=2$
D.$x=-1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式有意义的判定规则：分式存在意义的前提是分母不能为0（否则会出现除数为0的无意义情况）。因此解题步骤为：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母不等于0列出不等式，第三步解不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
要使分式$\frac{x+1}{x-2}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x - 2 ≠ 0$
解得：$x ≠ 2$
因此符合要求的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，难度较低，牢记“分式分母不为0”的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆分式有意义的判定规则：分式存在意义的前提是分母不能为0（否则会出现除数为0的无意义情况）。因此解题步骤为：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母不等于0列出不等式，第三步解不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
要使分式$\frac{x+1}{x-2}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x - 2 ≠ 0$
解得：$x ≠ 2$
因此符合要求的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，难度较低，牢记“分式分母不为0”的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
练习2.当$x=$
$±1$
时，分式$\frac{5}{x^2 -1}$无意义。答案
$±1$
解析
【分析】
要解决分式何时无意义的问题，首先需要明确分式无意义的判定规则：分式的分母为0时，分式无意义。因此我们只需要令题目中分式的分母等于0，解出对应的x的值即可得到答案。
【解析】
根据分式无意义的条件，可知当分母$x^2 - 1 = 0$时，分式$\frac{5}{x^2 -1}$无意义。
解方程$x^2 - 1 = 0$：
移项得$x^2 = 1$，
开平方得$x = ±1$。
【答案】
$±1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 简单一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对分式无意义判定规则的理解，只要掌握分母为0时分式无意义的知识点，结合简单的方程求解即可正确作答。
【难度系数】
0.9
要解决分式何时无意义的问题，首先需要明确分式无意义的判定规则：分式的分母为0时，分式无意义。因此我们只需要令题目中分式的分母等于0，解出对应的x的值即可得到答案。
【解析】
根据分式无意义的条件，可知当分母$x^2 - 1 = 0$时，分式$\frac{5}{x^2 -1}$无意义。
解方程$x^2 - 1 = 0$：
移项得$x^2 = 1$，
开平方得$x = ±1$。
【答案】
$±1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 简单一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对分式无意义判定规则的理解，只要掌握分母为0时分式无意义的知识点，结合简单的方程求解即可正确作答。
【难度系数】
0.9
练习3.(教材P140T3改编)x取何值时,下列分式有意义?
(1)$\frac{2x+1}{3x+2}$；
(2)$\frac{3}{x^2+1}$；
(3)$\frac{1}{x-2}$；
(4)$\frac{x}{x^2-4}$。
(1)$\frac{2x+1}{3x+2}$；
(2)$\frac{3}{x^2+1}$；
(3)$\frac{1}{x-2}$；
(4)$\frac{x}{x^2-4}$。
答案
解:(1)$x≠-\frac{2}{3}$;(2)全体实数;(3)$x≠2$;(4)$x≠±2$.
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值，核心依据是分式有意义的条件为分母不等于0。解题思路为：对每个分式先确定分母的代数式，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围；遇到含平方项的分母时，可结合平方的非负性判断分母是否可能为0。
【解析】
根据分式有意义时分母不为0的规则，逐个求解如下：
(1) 分式$\frac{2x+1}{3x+2}$的分母为$3x+2$，令$3x+2≠0$，解得$x≠-\frac{2}{3}$；
(2) 分式$\frac{3}{x^2+1}$的分母为$x^2+1$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分母恒不为0，故x可取全体实数；
(3) 分式$\frac{1}{x-2}$的分母为$x-2$，令$x-2≠0$，解得$x≠2$；
(4) 分式$\frac{x}{x^2-4}$的分母为$x^2-4$，令$x^2-4≠0$，即$x^2≠4$，解得$x≠\pm2$。
【答案】
(1)$x≠-\frac{2}{3}$;(2)全体实数;(3)$x≠2$;(4)$x≠±2$
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考查对分式有意义条件的应用，解题时需注意不要遗漏分母为0的所有取值，对于含偶次平方项的分母可结合非负性快速判断取值范围。
【难度系数】
0.85
要确定分式有意义时x的取值，核心依据是分式有意义的条件为分母不等于0。解题思路为：对每个分式先确定分母的代数式，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围；遇到含平方项的分母时，可结合平方的非负性判断分母是否可能为0。
【解析】
根据分式有意义时分母不为0的规则，逐个求解如下：
(1) 分式$\frac{2x+1}{3x+2}$的分母为$3x+2$，令$3x+2≠0$，解得$x≠-\frac{2}{3}$；
(2) 分式$\frac{3}{x^2+1}$的分母为$x^2+1$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分母恒不为0，故x可取全体实数；
(3) 分式$\frac{1}{x-2}$的分母为$x-2$，令$x-2≠0$，解得$x≠2$；
(4) 分式$\frac{x}{x^2-4}$的分母为$x^2-4$，令$x^2-4≠0$，即$x^2≠4$，解得$x≠\pm2$。
【答案】
(1)$x≠-\frac{2}{3}$;(2)全体实数;(3)$x≠2$;(4)$x≠±2$
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考查对分式有意义条件的应用，解题时需注意不要遗漏分母为0的所有取值，对于含偶次平方项的分母可结合非负性快速判断取值范围。
【难度系数】
0.85
【例3】若分式$\frac{x-2}{x+1}$的值为0，则x的值为（
A.2或-1
B.0
C.2
D.-1
C
）A.2或-1
B.0
C.2
D.-1
答案
C
解析
【分析】
要确定使分式值为0的x的值，首先要明确分式值为0需同时满足两个要求：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义）。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的无效取值，剩下的结果就是正确答案。
【解析】
分式的值为0需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：列方程$x-2=0$，解得$x=2$；
2. 分母不等于0：列不等式$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
同时满足两个条件的x的值只有2。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，仅根据分子为0就误选包含-1的选项，解题时要牢记分式值为0的两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
要确定使分式值为0的x的值，首先要明确分式值为0需同时满足两个要求：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义）。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的无效取值，剩下的结果就是正确答案。
【解析】
分式的值为0需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：列方程$x-2=0$，解得$x=2$；
2. 分母不等于0：列不等式$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
同时满足两个条件的x的值只有2。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，仅根据分子为0就误选包含-1的选项，解题时要牢记分式值为0的两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
练习.分式$\frac{x^2 -4}{x-2}$的值等于0时，x的值为(
A.$x=\pm2$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=\sqrt{2}$
C
)A.$x=\pm2$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
要确定使分式值为0的x的值，需牢记分式值为0需同时满足两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先求出使分子为0的所有x的可能值，再排除会让分母为0的x值，剩下的就是符合要求的正确解。
【解析】
解：分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
列方程得 $x^2 - 4 = 0$
解得 $x^2=4$，即$x=2$或$x=-2$
2. 分母的值不为0（保证分式有意义）：
列不等式得 $x-2 ≠ 0$
解得 $x ≠ 2$
结合两个条件，排除$x=2$，最终符合要求的x值为$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；解一元二次方程
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是解题时忽略分母不能为0的限制，误选x=±2，要牢记分式相关的求值类问题，都要优先保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要确定使分式值为0的x的值，需牢记分式值为0需同时满足两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先求出使分子为0的所有x的可能值，再排除会让分母为0的x值，剩下的就是符合要求的正确解。
【解析】
解：分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
列方程得 $x^2 - 4 = 0$
解得 $x^2=4$，即$x=2$或$x=-2$
2. 分母的值不为0（保证分式有意义）：
列不等式得 $x-2 ≠ 0$
解得 $x ≠ 2$
结合两个条件，排除$x=2$，最终符合要求的x值为$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；解一元二次方程
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是解题时忽略分母不能为0的限制，误选x=±2，要牢记分式相关的求值类问题，都要优先保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
