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13. 已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(-2, -4)$，且与正比例函数$y = \frac{1}{2}x$的图象相交于点$(4, a)$，求该一次函数的解析式.
答案
解：
把点$(4,a)$代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得
$a = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
即一次函数与正比例函数的交点坐标为$(4,2)$。
将点$(-2,-4)$和$(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = -4 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-2k + b = -4$，得$-2×1 + b = -4$，解得$b=-2$。
所以该一次函数的解析式为$y = x - 2$。
把点$(4,a)$代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得
$a = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
即一次函数与正比例函数的交点坐标为$(4,2)$。
将点$(-2,-4)$和$(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -2k + b = -4 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-2k + b = -4$，得$-2×1 + b = -4$，解得$b=-2$。
所以该一次函数的解析式为$y = x - 2$。
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的解析式，需要求出$k$、$b$两个未知参数，因此需要两组对应的坐标值。题目已给出一次函数经过点$(-2,-4)$，另一个交点$(4,a)$的纵坐标$a$未知，可先利用该点在正比例函数图象上的条件求出$a$，得到第二个点的坐标，再将两个点的坐标代入一次函数解析式，列出关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，最终确定一次函数解析式。
【解析】
把点$(4,a)$代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得：
$a = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
即一次函数与正比例函数的交点坐标为$(4,2)$。
将点$(-2,-4)$和$(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = -4 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-2k + b = -4$，得$-2×1 + b = -4$，解得$b=-2$。
【答案】
$y = x - 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的特征，解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是先通过正比例函数求出未知交点的坐标，再利用待定系数法列方程组求解参数，计算难度低，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的解析式，需要求出$k$、$b$两个未知参数，因此需要两组对应的坐标值。题目已给出一次函数经过点$(-2,-4)$，另一个交点$(4,a)$的纵坐标$a$未知，可先利用该点在正比例函数图象上的条件求出$a$，得到第二个点的坐标，再将两个点的坐标代入一次函数解析式，列出关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，最终确定一次函数解析式。
【解析】
把点$(4,a)$代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得：
$a = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
即一次函数与正比例函数的交点坐标为$(4,2)$。
将点$(-2,-4)$和$(4,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k + b = -4 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-2k + b = -4$，得$-2×1 + b = -4$，解得$b=-2$。
【答案】
$y = x - 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的特征，解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是先通过正比例函数求出未知交点的坐标，再利用待定系数法列方程组求解参数，计算难度低，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
14. 已知一次函数的图象经过点$(2,3)$和点$(-1,4)$,求这个一次函数的解析式.
答案
解：设这个一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(2,3)$和$(-1,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 3 \\-k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
把$k=-\frac{1}{3}$代入$-k + b = 4$，得$\frac{1}{3}+b=4$，解得$b=\frac{11}{3}$。
所以这个一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}$。
将点$(2,3)$和$(-1,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 3 \\-k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
把$k=-\frac{1}{3}$代入$-k + b = 4$，得$\frac{1}{3}+b=4$，解得$b=\frac{11}{3}$。
所以这个一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}$。
解析
【分析】
要确定一次函数的解析式，我们通常使用待定系数法：首先一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中$k$、$b$是未知常数，需要两个独立条件求解。已知函数图象经过两个点，说明这两个点的坐标满足函数解析式，因此可以将两点坐标代入一般式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，再代回一般式即可得到所求解析式。
【解析】
解：设这个一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(2,3)$和$(-1,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 3 \\-k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
把$k=-\frac{1}{3}$代入$-k + b = 4$，得$\frac{1}{3}+b=4$，解得$b=\frac{11}{3}$。
将$k$、$b$的值代入$y=kx+b$，即可得到一次函数解析式。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}$
【知识点】
待定系数法，一次函数图象上点的特征，二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的解析式形式，以及正确代入点坐标求解二元一次方程组，掌握这类题型是后续学习更复杂函数问题的基础。
【难度系数】
0.85
要确定一次函数的解析式，我们通常使用待定系数法：首先一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中$k$、$b$是未知常数，需要两个独立条件求解。已知函数图象经过两个点，说明这两个点的坐标满足函数解析式，因此可以将两点坐标代入一般式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，再代回一般式即可得到所求解析式。
【解析】
解：设这个一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(2,3)$和$(-1,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 3 \\-k + b = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$。
把$k=-\frac{1}{3}$代入$-k + b = 4$，得$\frac{1}{3}+b=4$，解得$b=\frac{11}{3}$。
将$k$、$b$的值代入$y=kx+b$，即可得到一次函数解析式。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}$
【知识点】
待定系数法，一次函数图象上点的特征，二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的解析式形式，以及正确代入点坐标求解二元一次方程组，掌握这类题型是后续学习更复杂函数问题的基础。
【难度系数】
0.85
15. 已知一次函数 $ y = (3 - k)x - 2k + 18 $.
(1)求 $ k $ 为何值时,它的图象经过原点;
(2)求 $ k $ 为何值时,它的图象经过点 $ (0, -2) $.
(1)求 $ k $ 为何值时,它的图象经过原点;
(2)求 $ k $ 为何值时,它的图象经过点 $ (0, -2) $.
答案
解：
(1) 因为一次函数$y=(3-k)x - 2k + 18$的图象经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入解析式，得：
$0 = -2k + 18$，
解得$k=9$。
由一次函数定义可知一次项系数不为0，即$3 - k ≠ 0$，得$k ≠ 3$，
$k=9$满足$k≠3$，
所以当$k=9$时，该函数的图象经过原点。
(2) 因为函数图象经过点$(0,-2)$，
将$x=0$，$y=-2$代入解析式，得：
$-2 = -2k + 18$，
整理得$2k=20$，
解得$k=10$。
此时一次项系数$3-10=-7≠0$，符合一次函数定义，
所以当$k=10$时，该函数的图象经过点$(0,-2)$。
(1) 因为一次函数$y=(3-k)x - 2k + 18$的图象经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入解析式，得：
$0 = -2k + 18$，
解得$k=9$。
由一次函数定义可知一次项系数不为0，即$3 - k ≠ 0$，得$k ≠ 3$，
$k=9$满足$k≠3$，
所以当$k=9$时，该函数的图象经过原点。
(2) 因为函数图象经过点$(0,-2)$，
将$x=0$，$y=-2$代入解析式，得：
$-2 = -2k + 18$，
整理得$2k=20$，
解得$k=10$。
此时一次项系数$3-10=-7≠0$，符合一次函数定义，
所以当$k=10$时，该函数的图象经过点$(0,-2)$。
解析
【分析】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义，解题思路如下：1. 明确核心性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立，两个小问均先将已知点坐标代入一次函数解析式，得到关于k的一元一次方程；2. 求解方程得到k的候选值；3. 根据一次函数的定义，一次项系数不能为0，对候选值进行验证，符合条件的即为所求k值。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=(3-k)x - 2k + 18$的图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入解析式，得：
$0 = -2k + 18$
解得$k=9$。
由一次函数定义可知一次项系数不为0，即$3 - k ≠ 0$，得$k ≠ 3$，$k=9$满足$k≠3$，因此符合要求。
(2) 因为函数图象经过点$(0,-2)$，将$x=0$，$y=-2$代入解析式，得：
$-2 = -2k + 18$
整理得$2k=20$，解得$k=10$。
此时一次项系数$3-10=-7≠0$，符合一次函数定义，因此符合要求。
【答案】
(1)$k=9$；(2)$k=10$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题核心是掌握函数图象与点坐标的对应关系，需要注意求解后要验证一次项系数不为0，避免遗漏一次函数的定义条件导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义，解题思路如下：1. 明确核心性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立，两个小问均先将已知点坐标代入一次函数解析式，得到关于k的一元一次方程；2. 求解方程得到k的候选值；3. 根据一次函数的定义，一次项系数不能为0，对候选值进行验证，符合条件的即为所求k值。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=(3-k)x - 2k + 18$的图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入解析式，得：
$0 = -2k + 18$
解得$k=9$。
由一次函数定义可知一次项系数不为0，即$3 - k ≠ 0$，得$k ≠ 3$，$k=9$满足$k≠3$，因此符合要求。
(2) 因为函数图象经过点$(0,-2)$，将$x=0$，$y=-2$代入解析式，得：
$-2 = -2k + 18$
整理得$2k=20$，解得$k=10$。
此时一次项系数$3-10=-7≠0$，符合一次函数定义，因此符合要求。
【答案】
(1)$k=9$；(2)$k=10$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题核心是掌握函数图象与点坐标的对应关系，需要注意求解后要验证一次项系数不为0，避免遗漏一次函数的定义条件导致错误。
【难度系数】
0.8
