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1.已知往返于A,B两地的火车,中途经过三个站点.
求:(1)有多少种不同的票价?
(2)有多少种不同的车票?(要求画线段图分析)
求:(1)有多少种不同的票价?
(2)有多少种不同的车票?(要求画线段图分析)
答案
解:如答图,中途经过的三个站点分别记为C,D,E.根据线段的定义,可知图中有线段AC,AD,AE,AB,CD,CE,CB,DE,DB,EB,共10条.
(1)有10种不同的票价.
(2)因车票需要考虑方向性,如“A→C”与“C→A”票价相同,但车票不同,故有20种不同的车票.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个问题的本质区别：①不同票价对应两个站点之间的路段，和行驶方向无关，所以问题等价于计算所有站点构成的线段总条数；②不同车票需要考虑往返方向，相同两个站点的往返车票不同，因此车票总数是线段总条数的2倍。计数线段时要按顺序有序计数，避免重复或遗漏：我们先标记出所有站点，共5个，从最左侧端点开始，依次枚举以每个点为左端点的不重复线段，相加即可得到总线段数。
【解析】
首先将起点A、终点B及中途3个站点共5个站点依次标记为A、C、D、E、B，如图所示：
第一步，计算线段总条数：
按左端点分类计数：
以A为左端点的线段：AC、AD、AE、AB，共4条；
以C为左端点的不重复线段：CD、CE、CB，共3条；
以D为左端点的不重复线段：DE、DB，共2条；
以E为左端点的不重复线段：EB，共1条；
总线段数为$4+3+2+1=10$条。
(1) 由于不同的线段对应不同的票价，票价与行驶方向无关，因此不同票价的总数等于线段总条数。
(2) 车票需要考虑方向性，例如“A→C”和“C→A”票价相同，但属于两种不同的车票，因此车票总数是线段总条数的2倍。
【答案】
(1) 有10种不同的票价。
(2) 有20种不同的车票。
【知识点】
线段计数、几何计数应用
【点评】
本题是几何计数的实际应用问题，解题的核心是区分票价和车票的差异：票价仅与两站之间的路段有关，无方向差异，对应线段的数量；车票涉及出发和到达的方向，相同路段往返对应两种不同车票。计数时采用有序分类的方法可以有效避免重复、遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确两个问题的本质区别：①不同票价对应两个站点之间的路段，和行驶方向无关，所以问题等价于计算所有站点构成的线段总条数；②不同车票需要考虑往返方向，相同两个站点的往返车票不同，因此车票总数是线段总条数的2倍。计数线段时要按顺序有序计数，避免重复或遗漏：我们先标记出所有站点，共5个，从最左侧端点开始，依次枚举以每个点为左端点的不重复线段，相加即可得到总线段数。
【解析】
首先将起点A、终点B及中途3个站点共5个站点依次标记为A、C、D、E、B，如图所示：
第一步，计算线段总条数：
按左端点分类计数：
以A为左端点的线段：AC、AD、AE、AB，共4条；
以C为左端点的不重复线段：CD、CE、CB，共3条；
以D为左端点的不重复线段：DE、DB，共2条；
以E为左端点的不重复线段：EB，共1条；
总线段数为$4+3+2+1=10$条。
(1) 由于不同的线段对应不同的票价，票价与行驶方向无关，因此不同票价的总数等于线段总条数。
(2) 车票需要考虑方向性，例如“A→C”和“C→A”票价相同，但属于两种不同的车票，因此车票总数是线段总条数的2倍。
【答案】
(1) 有10种不同的票价。
(2) 有20种不同的车票。
【知识点】
线段计数、几何计数应用
【点评】
本题是几何计数的实际应用问题，解题的核心是区分票价和车票的差异：票价仅与两站之间的路段有关，无方向差异，对应线段的数量；车票涉及出发和到达的方向，相同路段往返对应两种不同车票。计数时采用有序分类的方法可以有效避免重复、遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
2.(1)观察思考:如图,线段AB上有两个点C,D,请计算图中共有多少条线段；
(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?
(3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛? 请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题.
(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?
(3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛? 请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题.
答案
解:(1)以A为左端点的线段有线段AC,AD,AB,
以C为左端点的线段有线段CD,CB,
以D为左端点的线段有线段DB,
所以共有3+2+1=6(条)线段.
(2)线段上有m个点,设该线段上共有线段x条,
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
倒序排列为x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1),
所以2x=m+m+m+…+m=m(m-1),
所以x=$\frac{1}{2}m(m-1)$.
即该线段上共有线段$\frac{1}{2}m(m-1)$条.
(3)比赛采用单循环制,相当于线段上有8个点,每两位同学之间的一场比赛可看作一条线段,
则一共要进行$\frac{1}{2}×8×(8-1)=28$(场)比赛.
以C为左端点的线段有线段CD,CB,
以D为左端点的线段有线段DB,
所以共有3+2+1=6(条)线段.
(2)线段上有m个点,设该线段上共有线段x条,
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
倒序排列为x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1),
所以2x=m+m+m+…+m=m(m-1),
所以x=$\frac{1}{2}m(m-1)$.
即该线段上共有线段$\frac{1}{2}m(m-1)$条.
(3)比赛采用单循环制,相当于线段上有8个点,每两位同学之间的一场比赛可看作一条线段,
则一共要进行$\frac{1}{2}×8×(8-1)=28$(场)比赛.
解析
【分析】
(1) 数线段时为了避免重复、遗漏，可采用固定左端点、依次枚举右端点的方法，分别统计以每个点为左端点的线段数量，再相加得到总数。
(2) 将第一问的特殊情况推广到一般情况：线段上有m个点时，每个点作为左端点对应的线段数从m-1依次递减到1，对该求和式用倒序相加法即可推导出通用计数公式。
(3) 单循环比赛问题可等价转化为线段计数模型：把每位同学看作线段上的一个点，两位同学之间的一场比赛对应两点间的一条线段，直接套用第二问的公式即可求解。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以A为左端点的线段有AC、AD、AB，共3条；
以C为左端点的线段有CD、CB，共2条；
以D为左端点的线段有DB，共1条；
总线段数为$3+2+1=6$（条）。
(2) 设线段上有m个点时，共有线段x条：
从左到右每个点作为左端点，对应的线段数依次为$(m-1)、(m-2)、\dots、2、1$，因此：
$x=(m-1)+(m-2)+\dots+2+1$ ①
将式子倒序排列得：$x=1+2+\dots+(m-2)+(m-1)$ ②
①+②得：$2x=\underbrace{m+m+\dots+m}_{(m-1)个m}=m(m-1)$
整理得$x=\frac{1}{2}m(m-1)$，即该线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段。
(3) 将8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛对应一条线段，即$m=8$，代入公式得：
总比赛场数为$\frac{1}{2}×8×(8-1)=28$（场）。
【答案】
(1) 6条；
(2) $\frac{1}{2}m(m-1)$条；
(3) 28场
【知识点】
线段计数、规律探究、代数式应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，引导学生经历从特殊到一般的规律推导过程，再将规律迁移到实际计数问题中，能有效考查学生的归纳总结能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 数线段时为了避免重复、遗漏，可采用固定左端点、依次枚举右端点的方法，分别统计以每个点为左端点的线段数量，再相加得到总数。
(2) 将第一问的特殊情况推广到一般情况：线段上有m个点时，每个点作为左端点对应的线段数从m-1依次递减到1，对该求和式用倒序相加法即可推导出通用计数公式。
(3) 单循环比赛问题可等价转化为线段计数模型：把每位同学看作线段上的一个点，两位同学之间的一场比赛对应两点间的一条线段，直接套用第二问的公式即可求解。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以A为左端点的线段有AC、AD、AB，共3条；
以C为左端点的线段有CD、CB，共2条；
以D为左端点的线段有DB，共1条；
总线段数为$3+2+1=6$（条）。
(2) 设线段上有m个点时，共有线段x条：
从左到右每个点作为左端点，对应的线段数依次为$(m-1)、(m-2)、\dots、2、1$，因此：
$x=(m-1)+(m-2)+\dots+2+1$ ①
将式子倒序排列得：$x=1+2+\dots+(m-2)+(m-1)$ ②
①+②得：$2x=\underbrace{m+m+\dots+m}_{(m-1)个m}=m(m-1)$
整理得$x=\frac{1}{2}m(m-1)$，即该线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段。
(3) 将8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛对应一条线段，即$m=8$，代入公式得：
总比赛场数为$\frac{1}{2}×8×(8-1)=28$（场）。
【答案】
(1) 6条；
(2) $\frac{1}{2}m(m-1)$条；
(3) 28场
【知识点】
线段计数、规律探究、代数式应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，引导学生经历从特殊到一般的规律推导过程，再将规律迁移到实际计数问题中，能有效考查学生的归纳总结能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
