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5. 已知$(x-3)^2 + |y+4| = 0$，则代数式$(x+y)^{520}$的值为（）
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$2024$
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$2024$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式左边是一个数的平方与一个绝对值的和。根据已学知识，平方数和绝对值都具有非负性（即取值都大于等于0），两个非负数相加等于0时，仅当这两个非负数各自都等于0才能满足等式。由此我们可以分别列出关于x和y的一元一次方程，求出x、y的值后代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意实数的平方、绝对值均为非负数
∴$(x-3)^2 ≥ 0$，$|y+4| ≥ 0$
又
∵$(x-3)^2 + |y+4| = 0$
∴只有$(x-3)^2 = 0$且$|y+4| = 0$时等式成立
即$\begin{cases}x-3=0\\y+4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=-4\end{cases}$
将$x=3$、$y=-4$代入代数式得：
$(x+y)^{520}=(3-4)^{520}=(-1)^{520}$
∵520是偶数，负数的偶次幂为正数
∴$(-1)^{520}=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、绝对值的性质、有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的取值均为0”，计算负数乘方时要注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知等式的特征：等式左边是一个数的平方与一个绝对值的和。根据已学知识，平方数和绝对值都具有非负性（即取值都大于等于0），两个非负数相加等于0时，仅当这两个非负数各自都等于0才能满足等式。由此我们可以分别列出关于x和y的一元一次方程，求出x、y的值后代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意实数的平方、绝对值均为非负数
∴$(x-3)^2 ≥ 0$，$|y+4| ≥ 0$
又
∵$(x-3)^2 + |y+4| = 0$
∴只有$(x-3)^2 = 0$且$|y+4| = 0$时等式成立
即$\begin{cases}x-3=0\\y+4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=-4\end{cases}$
将$x=3$、$y=-4$代入代数式得：
$(x+y)^{520}=(3-4)^{520}=(-1)^{520}$
∵520是偶数，负数的偶次幂为正数
∴$(-1)^{520}=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、绝对值的性质、有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的取值均为0”，计算负数乘方时要注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第678个图案中的“
”的个数是（
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
A.2 039
B.2 037
C.2 035
D.2 033
解析 因为第1个图案中的“
”的个数为 $3 × 1 + 1 = 4$（个）. 第2个图案中的“
”的个数为 $3 × 2 + 1 = 7$（个）. 第3个图案中的“
”的个数为 $3 × 3 + 1 = 10$（个）. 所以第n个图案中的“
”的个数为 $(3n + 1)$ 个. 第678个图案中的“”的个数为 $3 × 678 + 1 = 2035$（个）.
答案 C
”的个数是（C
）第1个 第2个 第3个 第4个 ……
A.2 039
B.2 037
C.2 035
D.2 033
解析 因为第1个图案中的“
”的个数为 $3 × 1 + 1 = 4$（个）. 第2个图案中的“”的个数为 $3 × 2 + 1 = 7$（个）. 第3个图案中的“”的个数为 $3 × 3 + 1 = 10$（个）. 所以第n个图案中的“”的个数为 $(3n + 1)$ 个. 第678个图案中的“”的个数为 $3 × 678 + 1 = 2035$（个）.答案 C
答案
解析 因为第1个图案中的“
”的个数为 $3 × 1 + 1 = 4$（个）. 第2个图案中的“”的个数为 $3 × 2 + 1 = 7$（个）. 第3个图案中的“”的个数为 $3 × 3 + 1 = 10$（个）. 所以第n个图案中的“”的个数为 $(3n + 1)$ 个. 第678个图案中的“”的个数为 $3 × 678 + 1 = 2035$（个）.答案 C
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时首先统计前几个图案中正六边形的数量，第1个有4个，第2个有7个，第3个有10个，对比相邻图案的数量可发现，后一个图案总比前一个多3个正六边形，属于公差为3的等差变化，由此可推导得出第n个图案的正六边形数量的通用表达式，最后将n=678代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
先统计前3个图案的正六边形个数：
第1个图案中正六边形的个数：$3×1 +1=4$（个）
第2个图案中正六边形的个数：$3×2 +1=7$（个）
第3个图案中正六边形的个数：$3×3 +1=10$（个）
观察可得规律：第n个图案中正六边形的个数为$(3n+1)$个。
当$n=678$时，正六边形的个数为$3×678 +1=2034 +1=2035$（个）
【答案】C
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察前几个简单图形的数量变化，归纳出通用的规律表达式，再代入指定数值求解，能有效考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时首先统计前几个图案中正六边形的数量，第1个有4个，第2个有7个，第3个有10个，对比相邻图案的数量可发现，后一个图案总比前一个多3个正六边形，属于公差为3的等差变化，由此可推导得出第n个图案的正六边形数量的通用表达式，最后将n=678代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
先统计前3个图案的正六边形个数：
第1个图案中正六边形的个数：$3×1 +1=4$（个）
第2个图案中正六边形的个数：$3×2 +1=7$（个）
第3个图案中正六边形的个数：$3×3 +1=10$（个）
观察可得规律：第n个图案中正六边形的个数为$(3n+1)$个。
当$n=678$时，正六边形的个数为$3×678 +1=2034 +1=2035$（个）
【答案】C
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察前几个简单图形的数量变化，归纳出通用的规律表达式，再代入指定数值求解，能有效考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 将相同的长方形卡片摆放在一个直角上，摆放方式如图所示，每个长方形卡片长为4、宽为2，依此类推，摆放123个长方形时，实线部分长为。
摆放3个长方形时，实线部分长为16
摆放3个长方形时，实线部分长为16
答案
$\boldsymbol{616}$
解析
【分析】
我们先从已知的摆放情况入手找规律：摆放1个时长6，摆放2个时长10，摆放3个时长16，计算相邻增量可得：增加第2个时增量为4，增加第3个时增量为6，增加第4个时增量为4，增加第5个时增量为6……可知增量交替为4和6，即每新增2个长方形，总增量为4+6=10。所求的123是奇数，我们可以以摆放1个的长度为初始值，计算后续新增的122个对应的总增量，相加即可得到结果。
【解析】
解：根据已知条件：
摆放1个长方形时，实线长为6；
摆放2个长方形时，比1个时长：$10-6=4$；
摆放3个长方形时，比2个时长：$16-10=6$；
观察可得规律：每新增2个长方形，实线长度总增量为$4+6=10$。
摆放123个长方形时，比摆放1个的情况多了$123-1=122$个长方形，
122个可分组数：$122÷2=61$（组），
总长度为初始长度加上61组的总增量：
$6 + 61×10 = 6 + 610 = 616$。
【答案】
$\boldsymbol{616}$
【知识点】
图形规律探究，整数四则运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要结合图形和对应数据总结变化规律，解题关键是发现增量交替为4和6、每两个增量和为10的特点，只要找准规律就能快速计算得到结果。
【难度系数】
0.6
我们先从已知的摆放情况入手找规律：摆放1个时长6，摆放2个时长10，摆放3个时长16，计算相邻增量可得：增加第2个时增量为4，增加第3个时增量为6，增加第4个时增量为4，增加第5个时增量为6……可知增量交替为4和6，即每新增2个长方形，总增量为4+6=10。所求的123是奇数，我们可以以摆放1个的长度为初始值，计算后续新增的122个对应的总增量，相加即可得到结果。
【解析】
解：根据已知条件：
摆放1个长方形时，实线长为6；
摆放2个长方形时，比1个时长：$10-6=4$；
摆放3个长方形时，比2个时长：$16-10=6$；
观察可得规律：每新增2个长方形，实线长度总增量为$4+6=10$。
摆放123个长方形时，比摆放1个的情况多了$123-1=122$个长方形，
122个可分组数：$122÷2=61$（组），
总长度为初始长度加上61组的总增量：
$6 + 61×10 = 6 + 610 = 616$。
【答案】
$\boldsymbol{616}$
【知识点】
图形规律探究，整数四则运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要结合图形和对应数据总结变化规律，解题关键是发现增量交替为4和6、每两个增量和为10的特点，只要找准规律就能快速计算得到结果。
【难度系数】
0.6
规定一种运算，运算法则是 $a * b = 2a - b$，求 $4 * 3$ 的值.
解 由定义知，$4 * 3 = 2×4 - 3 = 5$.
技巧点拨
所谓定义运算，就是规定新的运算符号和运算法则，需要根据定义先将其转化为我们学过的运算，再求代数式的值.
解 由定义知，$4 * 3 = 2×4 - 3 = 5$.
技巧点拨
所谓定义运算，就是规定新的运算符号和运算法则，需要根据定义先将其转化为我们学过的运算，再求代数式的值.
答案
解 由定义知，$4 * 3 = 2×4 - 3 = 5$.
技巧点拨
所谓定义运算，就是规定新的运算符号和运算法则，需要根据定义先将其转化为我们学过的运算，再求代数式的值.
技巧点拨
所谓定义运算，就是规定新的运算符号和运算法则，需要根据定义先将其转化为我们学过的运算，再求代数式的值.
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题时首先要明确给定的运算法则：$a*b$的运算结果是第一个数a的2倍减去第二个数b。计算$4*3$时，只需将法则中的a对应替换为4，b对应替换为3，再转化为常规的有理数减法和乘法运算求解即可，注意不要混淆两个数的对应位置。
【解析】
根据题中规定的运算法则$a*b=2a-b$，将$a=4$，$b=3$代入运算式：
$\begin{aligned}4*3&=2×4 - 3\\&=8 - 3\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
解决新定义运算类题目的关键是准确理解自定义的运算规则，找准参数的对应关系，将新运算转化为已学的常规运算后按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.9
本题属于新定义运算题型，解题时首先要明确给定的运算法则：$a*b$的运算结果是第一个数a的2倍减去第二个数b。计算$4*3$时，只需将法则中的a对应替换为4，b对应替换为3，再转化为常规的有理数减法和乘法运算求解即可，注意不要混淆两个数的对应位置。
【解析】
根据题中规定的运算法则$a*b=2a-b$，将$a=4$，$b=3$代入运算式：
$\begin{aligned}4*3&=2×4 - 3\\&=8 - 3\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
解决新定义运算类题目的关键是准确理解自定义的运算规则，找准参数的对应关系，将新运算转化为已学的常规运算后按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.9
7. 规定一种运算，运算法则是 $ x|y = |(x - 8) · y| $。当 $ x = 5 $，$ y = 3 $ 时，求 $ x|y $ 的值。
答案
解 当x=5，y=3时，x|y=5|3=|(5-8)×3|=|-3×3|=9。
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题第一步要准确理解给定的运算法则：$x|y$的运算顺序是先计算$x$减8的差，再将差与$y$相乘，最后取乘积的绝对值。解题时只需将$x=5$、$y=3$对应代入法则中，按照有理数运算顺序逐步计算即可，注意不要漏算绝对值，运算时遵循先括号、再乘法、最后算绝对值的顺序。
【解析】
当$x=5$，$y=3$时：
$\begin{aligned}x|y&=5|3\\&=|(5-8)×3|\\&=|-3×3|\\&=|-9|\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、绝对值计算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解能力和有理数基础运算的掌握程度，只要读懂运算规则，按顺序计算即可得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
本题属于新定义运算题型，解题第一步要准确理解给定的运算法则：$x|y$的运算顺序是先计算$x$减8的差，再将差与$y$相乘，最后取乘积的绝对值。解题时只需将$x=5$、$y=3$对应代入法则中，按照有理数运算顺序逐步计算即可，注意不要漏算绝对值，运算时遵循先括号、再乘法、最后算绝对值的顺序。
【解析】
当$x=5$，$y=3$时：
$\begin{aligned}x|y&=5|3\\&=|(5-8)×3|\\&=|-3×3|\\&=|-9|\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、绝对值计算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解能力和有理数基础运算的掌握程度，只要读懂运算规则，按顺序计算即可得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
