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下列是按照一定规律排列的一列数：
1，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{5}$，…，其中从左至右第n个数是
解析 第1个数 $1=\frac{1+1}{2×1}$；第2个数 $\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2×2}$；第3个数 $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2×3}$；……所以第n个数可表示为$\frac{n+1}{2n}$。
答案 $\frac{n+1}{2n}$
1，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{5}$，…，其中从左至右第n个数是
$\frac{n+1}{2n}$
。解析 第1个数 $1=\frac{1+1}{2×1}$；第2个数 $\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2×2}$；第3个数 $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2×3}$；……所以第n个数可表示为$\frac{n+1}{2n}$。
答案 $\frac{n+1}{2n}$
答案
解析 第1个数 $1=\frac{1+1}{2×1}$；第2个数 $\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2×2}$；第3个数 $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2×3}$；……所以第n个数可表示为$\frac{n+1}{2n}$。
答案 $\frac{n+1}{2n}$
答案 $\frac{n+1}{2n}$
解析
【分析】
这是一道分数数列规律探究题，解题时首先观察到给出的数列中部分分数是约分后的结果，因此第一步利用分数的基本性质将所有数改写为未约分的统一形式，再分别对照项数n，寻找分子、分母和n的数量关系，最后归纳出第n个数的表达式即可。
【解析】
先将已知数列的各项进行变形，统一为未约分的形式：
第1个数：$1=\frac{2}{2}=\frac{1+1}{2×1}$
第2个数：$\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2×2}$
第3个数：$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2×3}$
第4个数：$\frac{5}{8}=\frac{4+1}{2×4}$
第5个数：$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{5+1}{2×5}$
……
观察规律可得：第n个数的分子为$n+1$，分母为$2n$，因此第n个数为$\frac{n+1}{2n}$。
【答案】
$\frac{n+1}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，分数的基本性质，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先将约分后的分数还原为统一形式，再分别对应项数寻找分子、分母的变化规律，熟练掌握分数的基本性质可以帮助快速破题。
【难度系数】
0.7
这是一道分数数列规律探究题，解题时首先观察到给出的数列中部分分数是约分后的结果，因此第一步利用分数的基本性质将所有数改写为未约分的统一形式，再分别对照项数n，寻找分子、分母和n的数量关系，最后归纳出第n个数的表达式即可。
【解析】
先将已知数列的各项进行变形，统一为未约分的形式：
第1个数：$1=\frac{2}{2}=\frac{1+1}{2×1}$
第2个数：$\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2×2}$
第3个数：$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2×3}$
第4个数：$\frac{5}{8}=\frac{4+1}{2×4}$
第5个数：$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{5+1}{2×5}$
……
观察规律可得：第n个数的分子为$n+1$，分母为$2n$，因此第n个数为$\frac{n+1}{2n}$。
【答案】
$\frac{n+1}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，分数的基本性质，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先将约分后的分数还原为统一形式，再分别对应项数寻找分子、分母的变化规律，熟练掌握分数的基本性质可以帮助快速破题。
【难度系数】
0.7
2. 一个三角形数阵如图所示，a，b，c，d是相邻两行的第1个和第2个数. 当a=8时，c=，d=.
答案
$c=\boldsymbol{9}$，$d=\boldsymbol{37}$。
解析
【分析】
首先观察数阵找规律：
1. 每行的第一个数等于该行的行数，且下一行的第一个数比上一行第一个数大1，可得c=a+1；
2. 每行的第二个数满足递推规律：第n行的第二个数 = 第(n-1)行第一个数 + 第(n-1)行第二个数，因此下一行第二个数d = a + b。
已知a=8，先根据各行第二个数的变化规律求出b的值，再代入即可求出c和d。
【解析】
步骤1：求c的值
观察数阵每行第一个数：第1行第一个数为1，第2行第一个数为2，第3行第一个数为3，……，可得规律：下一行第一个数比上一行第一个数大1，因此c=a+1，当a=8时，c=8+1=9。
步骤2：求b的值
观察各行第二个数：
第2行第二个数：2
第3行第二个数：4=2+2
第4行第二个数：7=3+4
第5行第二个数：11=4+7
可发现规律：第n行第二个数 = 第(n-1)行第一个数 + 第(n-1)行第二个数，依次推导：
第6行第二个数：5+11=16
第7行第二个数：6+16=22
第8行第二个数b：7+22=29
步骤3：求d的值
根据规律，第9行第二个数d = 第8行第一个数a + 第8行第二个数b = 8+29=37。
【答案】
$c=\boldsymbol{9}$，$d=\boldsymbol{37}$
【知识点】
数阵规律探究、有理数加法运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，解题核心是先从数阵的首尾数、相邻行相同位置的数入手找到变化规律，再根据递推关系计算未知量，只要细心观察就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先观察数阵找规律：
1. 每行的第一个数等于该行的行数，且下一行的第一个数比上一行第一个数大1，可得c=a+1；
2. 每行的第二个数满足递推规律：第n行的第二个数 = 第(n-1)行第一个数 + 第(n-1)行第二个数，因此下一行第二个数d = a + b。
已知a=8，先根据各行第二个数的变化规律求出b的值，再代入即可求出c和d。
【解析】
步骤1：求c的值
观察数阵每行第一个数：第1行第一个数为1，第2行第一个数为2，第3行第一个数为3，……，可得规律：下一行第一个数比上一行第一个数大1，因此c=a+1，当a=8时，c=8+1=9。
步骤2：求b的值
观察各行第二个数：
第2行第二个数：2
第3行第二个数：4=2+2
第4行第二个数：7=3+4
第5行第二个数：11=4+7
可发现规律：第n行第二个数 = 第(n-1)行第一个数 + 第(n-1)行第二个数，依次推导：
第6行第二个数：5+11=16
第7行第二个数：6+16=22
第8行第二个数b：7+22=29
步骤3：求d的值
根据规律，第9行第二个数d = 第8行第一个数a + 第8行第二个数b = 8+29=37。
【答案】
$c=\boldsymbol{9}$，$d=\boldsymbol{37}$
【知识点】
数阵规律探究、有理数加法运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，解题核心是先从数阵的首尾数、相邻行相同位置的数入手找到变化规律，再根据递推关系计算未知量，只要细心观察就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算$1+8+16+24+\dots+8n$（$n$是正整数）的结果为（）
A.$(2n+1)^2$
B.$1+8n$
C.$1+8(n-1)$
D.$4n^2+4n$
A.$(2n+1)^2$
B.$1+8n$
C.$1+8(n-1)$
D.$4n^2+4n$
答案
A
解析
【分析】
我们可以通过计算前几个给定的特殊算式的结果，结合n的取值，寻找结果和n之间的对应规律，也可以用代入特殊值排除错误选项的方法来解题。先分别代入n=1、n=2等小的正整数计算原式结果，再和各选项对比，排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们通过代入特殊值结合排除法解题：
1. 当n=1时，原式=1+8=9
代入各选项验证：
A：$(2×1+1)^2=9$，符合；
B：$1+8×1=9$，暂时符合；
C：$1+8×(1-1)=1$，不符合，排除C；
D：$4×1^2+4×1=8$，不符合，排除D。
2. 当n=2时，原式=1+8+16=25
代入剩余选项验证：
A：$(2×2+1)^2=25$，符合；
B：$1+8×2=17$，不符合，排除B。
再用n=3验证：当n=3时，原式=1+8+16+24=49，A选项$(2×3+1)^2=49$，完全符合规律。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究、归纳推理
【点评】
这类规律探究题的常用解法是先从特殊的前几个实例入手，计算结果并总结规律，再代入验证规律的正确性，也可以使用特殊值排除法快速选出答案，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
我们可以通过计算前几个给定的特殊算式的结果，结合n的取值，寻找结果和n之间的对应规律，也可以用代入特殊值排除错误选项的方法来解题。先分别代入n=1、n=2等小的正整数计算原式结果，再和各选项对比，排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们通过代入特殊值结合排除法解题：
1. 当n=1时，原式=1+8=9
代入各选项验证：
A：$(2×1+1)^2=9$，符合；
B：$1+8×1=9$，暂时符合；
C：$1+8×(1-1)=1$，不符合，排除C；
D：$4×1^2+4×1=8$，不符合，排除D。
2. 当n=2时，原式=1+8+16=25
代入剩余选项验证：
A：$(2×2+1)^2=25$，符合；
B：$1+8×2=17$，不符合，排除B。
再用n=3验证：当n=3时，原式=1+8+16+24=49，A选项$(2×3+1)^2=49$，完全符合规律。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究、归纳推理
【点评】
这类规律探究题的常用解法是先从特殊的前几个实例入手，计算结果并总结规律，再代入验证规律的正确性，也可以使用特殊值排除法快速选出答案，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，求代数式$x(2x-y+3z)$的值.
解 当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，$x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)=7×10=70.$
解 当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，$x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)=7×10=70.$
答案
解 当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，$x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)=7×10=70.$
解析
【分析】
这是代数式求值类基础题，解题思路清晰：首先要准确将x、y、z对应的数值代入代数式，切记不要混淆各字母对应的数值；其次按照有理数混合运算的规则计算，先算括号内的运算（遵循先乘除后加减的顺序），再计算括号外的乘法，最终得到结果即可。
【解析】
当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，
$x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)$
$=7×(14-4+0)$
$=7×10$
$=70$
【答案】
$70$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查代数式的代入规范和有理数混合运算顺序的掌握程度，计算时只要细心核对代入数值、严格遵循运算顺序就不容易出错。
【难度系数】
0.9
这是代数式求值类基础题，解题思路清晰：首先要准确将x、y、z对应的数值代入代数式，切记不要混淆各字母对应的数值；其次按照有理数混合运算的规则计算，先算括号内的运算（遵循先乘除后加减的顺序），再计算括号外的乘法，最终得到结果即可。
【解析】
当$x=7$，$y=4$，$z=0$时，
$x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)$
$=7×(14-4+0)$
$=7×10$
$=70$
【答案】
$70$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查代数式的代入规范和有理数混合运算顺序的掌握程度，计算时只要细心核对代入数值、严格遵循运算顺序就不容易出错。
【难度系数】
0.9
4. 若 $ x = -1 $，则代数式 $ x^3 - x^2 + 4 $ 的值为 。
答案
解：当$x = -1$时，
原式$= (-1)^3 - (-1)^2 + 4$
$= -1 - 1 + 4$
$= 2$
原式$= (-1)^3 - (-1)^2 + 4$
$= -1 - 1 + 4$
$= 2$
解析
【分析】
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路清晰明确：首先把题目给出的$x=-1$直接代入待求的代数式中，再遵循有理数的运算顺序，先计算乘方运算，再计算加减运算即可，计算过程中要重点注意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$ x = -1 $时，
原式$ = (-1)^3 - (-1)^2 + 4 $
先计算乘方：$ (-1)^3=-1 $，$ (-1)^2=1 $，代入得：
$ = -1 - 1 + 4 $
再计算加减运算：
$ = 2 $
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的常规基础题，主要考查代入计算的基本能力，只要掌握有理数运算规则，注意负数乘方的符号处理，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路清晰明确：首先把题目给出的$x=-1$直接代入待求的代数式中，再遵循有理数的运算顺序，先计算乘方运算，再计算加减运算即可，计算过程中要重点注意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$ x = -1 $时，
原式$ = (-1)^3 - (-1)^2 + 4 $
先计算乘方：$ (-1)^3=-1 $，$ (-1)^2=1 $，代入得：
$ = -1 - 1 + 4 $
再计算加减运算：
$ = 2 $
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的常规基础题，主要考查代入计算的基本能力，只要掌握有理数运算规则，注意负数乘方的符号处理，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
题型2 求值代入
典型例题
若$|a - 2| + (b + 3)^2 = 0$，求代数式$a^2 - ab + b^2$的值。
解 由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
典型例题
若$|a - 2| + (b + 3)^2 = 0$，求代数式$a^2 - ab + b^2$的值。
解 由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
答案
解 由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边为绝对值与平方数的和。根据已学知识，绝对值和有理数的平方都具有非负性，即二者的取值均大于等于0。两个非负数的和为0时，仅当这两个非负数同时为0才能成立，因此可以分别列方程求出a、b的取值；再将a、b的值代入所求代数式，按照有理数运算规则计算即可，计算时要格外注意负号的处理，避免符号错误。
【解析】
由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
【答案】
19
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查对绝对值、平方非负性的理解与应用，计算时需注意负数参与乘方、乘法运算的符号规则，减少不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边为绝对值与平方数的和。根据已学知识，绝对值和有理数的平方都具有非负性，即二者的取值均大于等于0。两个非负数的和为0时，仅当这两个非负数同时为0才能成立，因此可以分别列方程求出a、b的取值；再将a、b的值代入所求代数式，按照有理数运算规则计算即可，计算时要格外注意负号的处理，避免符号错误。
【解析】
由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。
所以 $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 × (-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
【答案】
19
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查对绝对值、平方非负性的理解与应用，计算时需注意负数参与乘方、乘法运算的符号规则，减少不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
