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【例1】甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3 h清点完这批图书的$\frac{1}{3}$，乙加入清点剩余的图书，两人合作2.4 h清点完剩余的图书。如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要x h，则根据题意可列方程为________。
【点拨】此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间。根据条件“两人合作2.4 h清点完剩余的图书”列等量关系式。时间为2.4 h，因此需要确定甲、乙两名同学的工作效率。根据条件“甲3 h清点完这批图书的$\frac{1}{3}$”可知甲的工作效率为$\frac{1}{3}÷3$，进而可以列出方程。
【点拨】此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间。根据条件“两人合作2.4 h清点完剩余的图书”列等量关系式。时间为2.4 h，因此需要确定甲、乙两名同学的工作效率。根据条件“甲3 h清点完这批图书的$\frac{1}{3}$”可知甲的工作效率为$\frac{1}{3}÷3$，进而可以列出方程。
答案
例1 $2.4(\frac{\frac{1}{3}}{3}+\frac{1}{x})=\frac{2}{3}$
解析：设乙单独清点这批图书需要 x h，根据题意，得$2.4(\frac{\frac{1}{3}}{3}+\frac{1}{x})=\frac{2}{3}$，故答案为$2.4(\frac{\frac{1}{3}}{3}+\frac{1}{x})=\frac{2}{3}$。
解析：设乙单独清点这批图书需要 x h，根据题意，得$2.4(\frac{\frac{1}{3}}{3}+\frac{1}{x})=\frac{2}{3}$，故答案为$2.4(\frac{\frac{1}{3}}{3}+\frac{1}{x})=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
这是工程类实际问题，我们通常将总工作量看作单位“1”，按照以下思路推导：第一步先求甲的工作效率，已知甲3小时完成总工作量的$\frac{1}{3}$，根据“工作效率=工作量÷工作时间”即可算出甲的效率；第二步确定乙的工作效率，设乙单独完成需要x小时，那么乙的效率为$\frac{1}{x}$；第三步计算两人需要合作完成的剩余工作量，总工作量1减去甲已经完成的$\frac{1}{3}$，可得剩余工作量为$\frac{2}{3}$；最后根据“甲乙合作的效率和×合作工作时间=剩余工作量”的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
将这批图书的总清点工作量看作单位“1”：
1. 计算甲的工作效率：已知甲3h清点完总工作量的$\frac{1}{3}$，根据工作效率公式可得甲的工作效率为$\frac{1}{3}÷3=\frac{\frac{1}{3}}{3}$；
2. 乙的工作效率：设乙单独清点这批图书需要x h，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$；
3. 剩余工作量：甲完成$\frac{1}{3}$后，剩余未清点的工作量为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；
4. 列方程：两人合作2.4h完成剩余工作量，根据“合作效率×合作时间=合作完成的工作量”，可列方程：
$2.4( \frac{\frac{1}{3}}{3} + \frac{1}{x} ) = \frac{2}{3}$
【答案】
$2.4( \frac{\frac{1}{3}}{3} + \frac{1}{x} ) = \frac{2}{3}$
【知识点】
工程问题等量关系，分式方程实际应用，工作效率计算
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，核心是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，解题时要注意区分已完成工作量和待完成的剩余工作量，避免因错代入总工作量导致列式错误。
【难度系数】
0.7
这是工程类实际问题，我们通常将总工作量看作单位“1”，按照以下思路推导：第一步先求甲的工作效率，已知甲3小时完成总工作量的$\frac{1}{3}$，根据“工作效率=工作量÷工作时间”即可算出甲的效率；第二步确定乙的工作效率，设乙单独完成需要x小时，那么乙的效率为$\frac{1}{x}$；第三步计算两人需要合作完成的剩余工作量，总工作量1减去甲已经完成的$\frac{1}{3}$，可得剩余工作量为$\frac{2}{3}$；最后根据“甲乙合作的效率和×合作工作时间=剩余工作量”的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
将这批图书的总清点工作量看作单位“1”：
1. 计算甲的工作效率：已知甲3h清点完总工作量的$\frac{1}{3}$，根据工作效率公式可得甲的工作效率为$\frac{1}{3}÷3=\frac{\frac{1}{3}}{3}$；
2. 乙的工作效率：设乙单独清点这批图书需要x h，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$；
3. 剩余工作量：甲完成$\frac{1}{3}$后，剩余未清点的工作量为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；
4. 列方程：两人合作2.4h完成剩余工作量，根据“合作效率×合作时间=合作完成的工作量”，可列方程：
$2.4( \frac{\frac{1}{3}}{3} + \frac{1}{x} ) = \frac{2}{3}$
【答案】
$2.4( \frac{\frac{1}{3}}{3} + \frac{1}{x} ) = \frac{2}{3}$
【知识点】
工程问题等量关系，分式方程实际应用，工作效率计算
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，核心是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，解题时要注意区分已完成工作量和待完成的剩余工作量，避免因错代入总工作量导致列式错误。
【难度系数】
0.7
【例2】2020年7月6日，芜湖开通首列至北京的高铁列车，2023年芜湖至北京的G44次列车平均提速v km/h. 用相同的时间，G44次列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前G44次列车的平均速度为多少？设提速前G44次列车的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（
A.$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$
B.$\frac{s}{x}=\frac{s-50}{x+v}$
C.$\frac{s+50}{x}=\frac{s}{x+v}$
D.$\frac{s+50}{x}=\frac{s}{x-v}$
【点拨】此题涉及的公式：路程=速度×时间. 根据条件“用相同的时间”，找到提速前和提速后的时间列出分式方程即可.
A
）A.$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$
B.$\frac{s}{x}=\frac{s-50}{x+v}$
C.$\frac{s+50}{x}=\frac{s}{x+v}$
D.$\frac{s+50}{x}=\frac{s}{x-v}$
【点拨】此题涉及的公式：路程=速度×时间. 根据条件“用相同的时间”，找到提速前和提速后的时间列出分式方程即可.
答案
例2 A 解析：
∵2023 年芜湖至北京的G44次列车平均提速 v km/h，且设提速前 G44 次列车的平均速度为 x km/h，
∴提速后 G44 次列车的平均速度为 (x+v) km/h. 根据题意，得$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$. 故选 A.
∵2023 年芜湖至北京的G44次列车平均提速 v km/h，且设提速前 G44 次列车的平均速度为 x km/h，
∴提速后 G44 次列车的平均速度为 (x+v) km/h. 根据题意，得$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$. 故选 A.
解析
【分析】
本题的核心等量关系是“提速前行驶s km的时间 = 提速后行驶(s+50)km的时间”。解题时先梳理已知量：设提速前平均速度为x km/h，已知列车平均提速v km/h，因此提速后的速度为(x+v)km/h；再根据“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出提速前和提速后的行驶时间，令两个时间相等即可列出对应的方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
已知提速前G44次列车的平均速度为x km/h，平均提速v km/h，因此提速后的平均速度为(x+v)km/h。
提速前行驶s km的时间为$\frac{s}{x}$小时；
提速后行驶的总路程为(s+50)km，对应的行驶时间为$\frac{s+50}{x+v}$小时。
由于两次行驶的时间相同，因此可列方程：$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题是分式方程应用中的基础行程类题型，解题关键是抓住题干中“相同时间”的核心等量关系，结合路程、速度、时间三者的基本关系即可快速列方程求解，属于该部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题的核心等量关系是“提速前行驶s km的时间 = 提速后行驶(s+50)km的时间”。解题时先梳理已知量：设提速前平均速度为x km/h，已知列车平均提速v km/h，因此提速后的速度为(x+v)km/h；再根据“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出提速前和提速后的行驶时间，令两个时间相等即可列出对应的方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
已知提速前G44次列车的平均速度为x km/h，平均提速v km/h，因此提速后的平均速度为(x+v)km/h。
提速前行驶s km的时间为$\frac{s}{x}$小时；
提速后行驶的总路程为(s+50)km，对应的行驶时间为$\frac{s+50}{x+v}$小时。
由于两次行驶的时间相同，因此可列方程：$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题是分式方程应用中的基础行程类题型，解题关键是抓住题干中“相同时间”的核心等量关系，结合路程、速度、时间三者的基本关系即可快速列方程求解，属于该部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用5天，若甲、乙合作2天后，甲需再用4天才能全部完成. 若设乙单独完成此项工程需x天，则下列所列方程正确的是（
A.$\frac{2+4}{x+5}+\frac{2}{x}=1$
B.$\frac{2+4}{x}+\frac{2}{x+5}=1$
C.$\frac{2}{x-5}+\frac{2+4}{x}=1$
D.$\frac{2+4}{x-5}+\frac{2}{x}=1$
A
）A.$\frac{2+4}{x+5}+\frac{2}{x}=1$
B.$\frac{2+4}{x}+\frac{2}{x+5}=1$
C.$\frac{2}{x-5}+\frac{2+4}{x}=1$
D.$\frac{2+4}{x-5}+\frac{2}{x}=1$
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道工程类方程题，首先明确工程问题的基本模型：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时长，总工作量等于各主体完成的工作量之和。首先根据题干设的未知数，表示出甲单独完成的时长，再分别确定甲、乙的工作效率和实际工作时长，最后根据总工作量为1列方程，对应选项即可。
【解析】
设乙单独完成此项工程需x天，由甲单独完成比乙多用5天，可得甲单独完成此项工程需(x+5)天。
则甲的工作效率为$\frac{1}{x+5}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
由题意得：甲的总工作时长为合作的2天加后续单独做的4天，即(2+4)天；乙仅参与了合作的2天，工作时长为2天。
根据“总工作量=甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”，可列方程：
$\frac{2+4}{x+5}+\frac{2}{x}=1$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题；分式方程的实际应用；工作量计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程问题的基本等量关系，解题时要准确梳理每个工作主体的工作效率和实际工作时长，避免混淆两者的工作时间即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道工程类方程题，首先明确工程问题的基本模型：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时长，总工作量等于各主体完成的工作量之和。首先根据题干设的未知数，表示出甲单独完成的时长，再分别确定甲、乙的工作效率和实际工作时长，最后根据总工作量为1列方程，对应选项即可。
【解析】
设乙单独完成此项工程需x天，由甲单独完成比乙多用5天，可得甲单独完成此项工程需(x+5)天。
则甲的工作效率为$\frac{1}{x+5}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
由题意得：甲的总工作时长为合作的2天加后续单独做的4天，即(2+4)天；乙仅参与了合作的2天，工作时长为2天。
根据“总工作量=甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”，可列方程：
$\frac{2+4}{x+5}+\frac{2}{x}=1$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题；分式方程的实际应用；工作量计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程问题的基本等量关系，解题时要准确梳理每个工作主体的工作效率和实际工作时长，避免混淆两者的工作时间即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 一艘轮船在静水中的最大航速为 35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120 km，所用时间与以最大航速逆流航行 90 km 所用时间相等. 设江水的流速为 $ v $ km/h，则可列方程为（
A.$\frac{120}{v+35}=\frac{90}{v-35}$
B.$\frac{120}{35-v}=\frac{90}{35+v}$
C.$\frac{120}{v-35}=\frac{90}{v+35}$
D.$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
D
）A.$\frac{120}{v+35}=\frac{90}{v-35}$
B.$\frac{120}{35-v}=\frac{90}{35+v}$
C.$\frac{120}{v-35}=\frac{90}{v+35}$
D.$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道分式方程在行程问题中的应用题，解题思路如下：第一步先找等量关系，题干明确给出“顺流航行120km的时间=逆流航行90km的时间”；第二步回忆流水行船的速度规律：顺流实际航速=静水航速+水流速度，逆流实际航速=静水航速-水流速度，且水流速度v一定小于静水航速35km/h，否则逆流无法航行，因此逆流速度不可能为v-35，可先排除分母含v-35的A、C选项；第三步根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示顺流、逆流的航行时间，联立成等式后对应选项即可。
【解析】
解：首先推导顺流、逆流的实际航速：
顺流航速 = 静水最大航速 + 江水流速 = $(35+v)$ km/h
逆流航速 = 静水最大航速 - 江水流速 = $(35-v)$ km/h
根据“时间=路程÷速度”，可得：
顺流航行120km的时间为 $\frac{120}{35+v}$ h
逆流航行90km的时间为 $\frac{90}{35-v}$ h
由题意可知两个时间相等，因此列方程得：
$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系；行程问题公式；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题型，核心是准确抓住“时间相等”的等量关系，同时牢记流水行船的速度规律，避免混淆顺流、逆流的速度表达式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程在行程问题中的应用题，解题思路如下：第一步先找等量关系，题干明确给出“顺流航行120km的时间=逆流航行90km的时间”；第二步回忆流水行船的速度规律：顺流实际航速=静水航速+水流速度，逆流实际航速=静水航速-水流速度，且水流速度v一定小于静水航速35km/h，否则逆流无法航行，因此逆流速度不可能为v-35，可先排除分母含v-35的A、C选项；第三步根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示顺流、逆流的航行时间，联立成等式后对应选项即可。
【解析】
解：首先推导顺流、逆流的实际航速：
顺流航速 = 静水最大航速 + 江水流速 = $(35+v)$ km/h
逆流航速 = 静水最大航速 - 江水流速 = $(35-v)$ km/h
根据“时间=路程÷速度”，可得：
顺流航行120km的时间为 $\frac{120}{35+v}$ h
逆流航行90km的时间为 $\frac{90}{35-v}$ h
由题意可知两个时间相等，因此列方程得：
$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系；行程问题公式；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题型，核心是准确抓住“时间相等”的等量关系，同时牢记流水行船的速度规律，避免混淆顺流、逆流的速度表达式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40 km的时间与乙匀速骑行35 km的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2 km. 设甲每小时骑行x km，根据题意列出的方程是
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
。答案
3. $\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程列写题，解题时先梳理核心等量关系：甲骑行40km的时间=乙骑行35km的时间。首先根据设出的甲的速度x km/h，结合甲比乙每小时多骑2km，可推出乙的速度为(x-2)km/h；再根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示出甲、乙的骑行时间，令两者相等即可列出方程。
【解析】
1. 表示乙的速度：已知甲每小时骑行x km，甲每小时比乙多骑行2 km，因此乙每小时骑行$(x-2)$ km。
2. 计算两人骑行时间：根据公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，甲骑行40km的时间为$\frac{40}{x}$小时，乙骑行35km的时间为$\frac{35}{x-2}$小时。
3. 列方程：由于两人骑行时间相同，因此可得$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$。
【答案】
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是找准题干中的等量关系，准确表示出不同主体的对应物理量，避免混淆两者的速度大小关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的分式方程列写题，解题时先梳理核心等量关系：甲骑行40km的时间=乙骑行35km的时间。首先根据设出的甲的速度x km/h，结合甲比乙每小时多骑2km，可推出乙的速度为(x-2)km/h；再根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示出甲、乙的骑行时间，令两者相等即可列出方程。
【解析】
1. 表示乙的速度：已知甲每小时骑行x km，甲每小时比乙多骑行2 km，因此乙每小时骑行$(x-2)$ km。
2. 计算两人骑行时间：根据公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，甲骑行40km的时间为$\frac{40}{x}$小时，乙骑行35km的时间为$\frac{35}{x-2}$小时。
3. 列方程：由于两人骑行时间相同，因此可得$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$。
【答案】
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【知识点】
行程问题数量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是找准题干中的等量关系，准确表示出不同主体的对应物理量，避免混淆两者的速度大小关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
