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4. 甲、乙两人承包一项工程合作10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天.设甲单独做需要x天完成，则所列的方程是
$10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
.答案
4. $10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时先明确工程问题的基本等量关系：工作量=工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”，单人工作效率=1÷单人单独完成工作的总时间。首先根据题设的甲单独完成的时间x天，推导乙单独完成的时间：甲比乙少用8天，因此乙单独完成需要(x+8)天，再分别表示出甲、乙的工作效率，接着求出两人合作的总效率，最后结合“合作10天完成总工作量1”的条件即可列出方程。
【解析】
解：将这项工程的总工作量记为单位“1”。
∵甲单独做需要x天完成，
∴甲的工作效率为$\frac{1}{x}$。
∵甲单独做比乙少用8天，
∴乙单独做需要$(x+8)$天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{x+8}$。
甲、乙合作的总工作效率为$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8}$，已知两人合作10天完成工程，根据“总工作量=合作效率×合作时间”，可列方程：
$10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
【答案】
$10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
【知识点】
工程问题应用、列分式方程、工作效率计算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心是掌握工程问题中三个核心量的关系，易错点是容易混淆甲、乙单独完成工作的时间，只要准确梳理两者的时间关系，正确表示工作效率就能顺利列写方程。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时先明确工程问题的基本等量关系：工作量=工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”，单人工作效率=1÷单人单独完成工作的总时间。首先根据题设的甲单独完成的时间x天，推导乙单独完成的时间：甲比乙少用8天，因此乙单独完成需要(x+8)天，再分别表示出甲、乙的工作效率，接着求出两人合作的总效率，最后结合“合作10天完成总工作量1”的条件即可列出方程。
【解析】
解：将这项工程的总工作量记为单位“1”。
∵甲单独做需要x天完成，
∴甲的工作效率为$\frac{1}{x}$。
∵甲单独做比乙少用8天，
∴乙单独做需要$(x+8)$天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{x+8}$。
甲、乙合作的总工作效率为$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8}$，已知两人合作10天完成工程，根据“总工作量=合作效率×合作时间”，可列方程：
$10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
【答案】
$10(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+8})=1$
【知识点】
工程问题应用、列分式方程、工作效率计算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心是掌握工程问题中三个核心量的关系，易错点是容易混淆甲、乙单独完成工作的时间，只要准确梳理两者的时间关系，正确表示工作效率就能顺利列写方程。
【难度系数】
0.7
5. 小吉和小林从同一地点出发跑 800 m，小吉的平均速度是小林的 1.25 倍，结果小吉比小林少用 40 s 到达终点. 求小林跑步的平均速度.
答案
5. 解：设小林跑步的平均速度为 x m/s，则小吉的平均速度为 1.25x m/s，由题意，得$\frac{800}{x}-\frac{800}{1.25x}=40$，解得 x=4，经检验，x=4 是原方程的解，且符合题意. 答：小林跑步的平均速度为 4 m/s.
解析
【分析】这是一道行程类分式方程应用题，首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度。题目中两人跑的路程都是800m，已知两人速度的倍数关系和时间差，我们可以采取“问什么设什么”的思路，设小林的平均速度为x m/s，即可表示出小吉的平均速度，再根据“小林跑完全程的时间 - 小吉跑完全程的时间=40s”的等量关系列方程，求解后注意检验分式方程的解是否符合要求即可。
【解析】解：设小林跑步的平均速度为x m/s，则小吉的平均速度为1.25x m/s。
由题意得：
$\frac{800}{x}-\frac{800}{1.25x}=40$
方程两边同乘1.25x去分母得：$800×1.25 - 800 = 40×1.25x$
计算得：$1000 - 800 = 50x$
化简得：$50x=200$，解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$1.25x=5≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且速度为正数符合实际意义。
答：小林跑步的平均速度为4 m/s。
【答案】4 m/s
【知识点】1.分式方程的应用 2.行程问题公式 3.分式方程的检验
【点评】本题是分式方程应用的常规基础题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，列方程时注意各量单位统一，求解分式方程后要进行双重检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证解是否符合实际场景要求。
【难度系数】0.8
【解析】解：设小林跑步的平均速度为x m/s，则小吉的平均速度为1.25x m/s。
由题意得：
$\frac{800}{x}-\frac{800}{1.25x}=40$
方程两边同乘1.25x去分母得：$800×1.25 - 800 = 40×1.25x$
计算得：$1000 - 800 = 50x$
化简得：$50x=200$，解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$1.25x=5≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且速度为正数符合实际意义。
答：小林跑步的平均速度为4 m/s。
【答案】4 m/s
【知识点】1.分式方程的应用 2.行程问题公式 3.分式方程的检验
【点评】本题是分式方程应用的常规基础题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，列方程时注意各量单位统一，求解分式方程后要进行双重检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证解是否符合实际场景要求。
【难度系数】0.8
6. 某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等. 求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
答案
6. 解：设机器人 A 每小时搬运 x kg 化工原料，则机器人 B 每小时搬运 (x+20) kg 化工原料，根据题意，得$\frac{800}{x}=\frac{1000}{x+20}$，解得 x=80，经检验，x=80 是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100（kg）. 答：机器人 A 每小时搬运 80 kg 化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 kg 化工原料.
∴x+20=80+20=100（kg）. 答：机器人 A 每小时搬运 80 kg 化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 kg 化工原料.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题首先提取题目中的两个核心等量关系：①机器人A每小时搬运量=机器人B每小时搬运量-20kg；②机器人A搬运800kg的时间=机器人B搬运1000kg的时间。我们可以设较小的未知量（机器人A每小时搬运量）为x，用含x的式子表示机器人B的每小时搬运量，再根据时间相等的关系列分式方程；求解后必须检验解是否符合原方程和实际意义，最后推导得出两个机器人的搬运量即可。
【解析】
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运$\boldsymbol{(x+20)}$kg化工原料。
根据题意列方程得：
$\frac{800}{x}=\frac{1000}{x+20}$
交叉相乘去分母得：$800(x+20)=1000x$
展开计算：$800x+16000=1000x$
移项合并同类项得：$200x=16000$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20)=80×100=8000≠0$，因此$x=80$是原分式方程的解，且符合实际搬运的取值要求。
则机器人B每小时搬运量为：$x+20=80+20=100(\mathrm{kg})$
答：机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器人B每小时搬运100kg化工原料。
【答案】
机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器人B每小时搬运100kg化工原料。
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的检验、应用题等量分析
【点评】
本题是分式方程应用的基础常规题，核心是抓住时间相等的等量关系列方程，解题时需注意分式方程必须双检验：既要检验是否为原方程的增根，也要检验是否符合实际意义，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是分式方程的实际应用题，解题首先提取题目中的两个核心等量关系：①机器人A每小时搬运量=机器人B每小时搬运量-20kg；②机器人A搬运800kg的时间=机器人B搬运1000kg的时间。我们可以设较小的未知量（机器人A每小时搬运量）为x，用含x的式子表示机器人B的每小时搬运量，再根据时间相等的关系列分式方程；求解后必须检验解是否符合原方程和实际意义，最后推导得出两个机器人的搬运量即可。
【解析】
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运$\boldsymbol{(x+20)}$kg化工原料。
根据题意列方程得：
$\frac{800}{x}=\frac{1000}{x+20}$
交叉相乘去分母得：$800(x+20)=1000x$
展开计算：$800x+16000=1000x$
移项合并同类项得：$200x=16000$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20)=80×100=8000≠0$，因此$x=80$是原分式方程的解，且符合实际搬运的取值要求。
则机器人B每小时搬运量为：$x+20=80+20=100(\mathrm{kg})$
答：机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器人B每小时搬运100kg化工原料。
【答案】
机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器人B每小时搬运100kg化工原料。
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的检验、应用题等量分析
【点评】
本题是分式方程应用的基础常规题，核心是抓住时间相等的等量关系列方程，解题时需注意分式方程必须双检验：既要检验是否为原方程的增根，也要检验是否符合实际意义，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.（2025·雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件$x$个，可列方程为（
D
）答案
7. D
解析
【分析】
首先明确题目设乙每小时加工零件数为x，先推导甲的工作效率：甲比乙每小时多加工20个，所以甲每小时加工(x+20)个。再回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目给出的等量关系是“甲加工200个零件的时间=乙加工160个零件的时间”，分别把甲、乙的工作时间用含x的式子表示出来，再列等式即可匹配正确选项。
【解析】
解：设乙每小时加工这种零件x个，则甲每小时加工这种零件$(x+20)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
甲加工200个零件的时间为：$\frac{200}{x+20}$
乙加工160个零件的时间为：$\frac{160}{x}$
由题可知两个时间相等，因此列方程得：
$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用，工程问题，列等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常见题型，解题的关键是找准题目中的等量关系，结合工程问题的基本数量关系表示出对应量，即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
首先明确题目设乙每小时加工零件数为x，先推导甲的工作效率：甲比乙每小时多加工20个，所以甲每小时加工(x+20)个。再回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目给出的等量关系是“甲加工200个零件的时间=乙加工160个零件的时间”，分别把甲、乙的工作时间用含x的式子表示出来，再列等式即可匹配正确选项。
【解析】
解：设乙每小时加工这种零件x个，则甲每小时加工这种零件$(x+20)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
甲加工200个零件的时间为：$\frac{200}{x+20}$
乙加工160个零件的时间为：$\frac{160}{x}$
由题可知两个时间相等，因此列方程得：
$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用，工程问题，列等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常见题型，解题的关键是找准题目中的等量关系，结合工程问题的基本数量关系表示出对应量，即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
8. (2025·无锡) 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6 km，小亮骑行时间比小红少用了4 min. 设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为（
A.$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
B.$\frac{6}{1.2x}+4=\frac{6}{x}$
C.$\frac{6}{1.2x}-\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
D.$\frac{6}{1.2x}-4=\frac{6}{x}$
A
）A.$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
B.$\frac{6}{1.2x}+4=\frac{6}{x}$
C.$\frac{6}{1.2x}-\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$
D.$\frac{6}{1.2x}-4=\frac{6}{x}$
答案
8. A
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题时首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度。解题第一步要先统一单位，题目给出的速度单位是km/h，时间差是4分钟，需要将分钟换算为小时避免单位不匹配；第二步分别表示出小亮和小红骑行6km的时间；第三步根据“小亮骑行时间比小红少用4min”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 表示两人的速度：已知小红骑行速度为x km/h，小亮速度是小红的1.2倍，因此小亮速度为1.2x km/h。
2. 统一单位：时间差为4分钟，换算为小时是$\frac{4}{60}$h。
3. 计算两人的骑行时间：
小红骑行6km的时间为$\frac{路程}{速度}=\frac{6}{x}$ h；
小亮骑行6km的时间为$\frac{6}{1.2x}$ h。
4. 根据等量关系列方程：小亮的骑行时间 + 少用的时间 = 小红的骑行时间，代入得：
$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准时间的等量关系，尤其要注意不同单位的统一，避免因忽略单位换算选错答案，主要考察学生的审题能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程应用题，解题时首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度。解题第一步要先统一单位，题目给出的速度单位是km/h，时间差是4分钟，需要将分钟换算为小时避免单位不匹配；第二步分别表示出小亮和小红骑行6km的时间；第三步根据“小亮骑行时间比小红少用4min”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 表示两人的速度：已知小红骑行速度为x km/h，小亮速度是小红的1.2倍，因此小亮速度为1.2x km/h。
2. 统一单位：时间差为4分钟，换算为小时是$\frac{4}{60}$h。
3. 计算两人的骑行时间：
小红骑行6km的时间为$\frac{路程}{速度}=\frac{6}{x}$ h；
小亮骑行6km的时间为$\frac{6}{1.2x}$ h。
4. 根据等量关系列方程：小亮的骑行时间 + 少用的时间 = 小红的骑行时间，代入得：
$\frac{6}{1.2x}+\frac{4}{60}=\frac{6}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准时间的等量关系，尤其要注意不同单位的统一，避免因忽略单位换算选错答案，主要考察学生的审题能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
