13. 小美是一个爱动脑筋的学生,她只用 3 块三角形纸板就得到了勾股定理,她的方法是这样的：她先制作了两个全等的直角三角形纸板,假定它们的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,再以这两个直角三角形的斜边长 $ c $ 为直角边制作一个等腰直角三角形纸板(如图),最后用这 3 块三角形拼成一个直角梯形,就可以得到勾股定理。你知道她是怎样得到勾股定理的吗？

提示：梯形的面积 $= \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = 2 × \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。

解：由题意知，拼成的直角梯形上底为 $a$，下底为 $b$，高为 $a + b$，其面积为 $\frac{1}{2}(a + b)(a + b)$。
该梯形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成，其中两个直角三角形的面积和为 $2 × \frac{1}{2}ab$，等腰直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}c^2$，故总面积也可表示为 $2 × \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$。
因此有 $\frac{1}{2}(a + b)(a + b) = 2 × \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$，
等式两边同乘 2 得 $(a + b)^2 = 2ab + c^2$，
展开左边得 $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，
化简得 $a^2 + b^2 = c^2$。

例 我们知道,以 $ 3 $,$ 4 $,$ 5 $ 为边长的三角形为直角三角形,称 $ 3 $,$ 4 $,$ 5 $ 为勾股数组,记为 $ (3,4,5) $。类似地,还可以得到下列勾股数组：$ (8,6,10) $,$ (15,8,17) $,$ (24,10,26) $ 等。
(1) 请根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数。
(2) 试用数学等式描述上述勾股数组的规律。
(3) 你所发现的规律正确吗？请说明理由。
[解答] (1) $ (48,14,50) $。
(2) 设 $ n\geqslant 2 $,且 $ n $ 为整数,勾股数组的规律为 $ (n^{2}-1,2n,n^{2}+1) $。
(3) $ (n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}= n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}= (n^{2}+1)^{2} $,以 $ n^{2}-1 $,$ 2n $,$ n^{2}+1 $ 为三边长的三角形为直角三角形,即规律正确。

(1) 第六组勾股数为 $ (48, 14, 50) $。
(2) 勾股数组的规律可表示为：设 $ n \geqslant 2 $ 且 $ n $ 为整数，勾股数组为 $ (n^{2} - 1, 2n, n^{2} + 1) $。
(3) 验证：
$ (n^{2} - 1)^{2} + (2n)^{2} = n^{4} - 2n^{2} + 1 + 4n^{2} = n^{4} + 2n^{2} + 1 = (n^{2} + 1)^{2} $，
以 $ n^{2} - 1 $, $ 2n $, $ n^{2} + 1 $ 为三边长的三角形为直角三角形，规律正确。