【例题2】抛物线$y = -3(x - 1)^2$可由抛物线$y = -3x^2$向平移个单位长度得到。
思路导引 根据口诀“左加右减”进行判断。
答案：右；1。

思路导引 根据口诀“左加右减”进行判断。
答案：右；1。

【例题3】已知直线$y = \frac{x}{2} + 3与两坐标轴交于A$,$B$两点,将抛物线$y = -\frac{x^2}{4}$两次平移后,使它经过点$A$,$B$,求平移后的抛物线的顶点。

思路导引 先求出直线$y = \frac{x}{2} + 3与两坐标轴的交点A$,$B$的坐标,再根据抛物线的平移不改变$a$的值,从而设出$y = -\frac{(x + m)^2}{4} + n$,利用待定系数法即可求解。
解：设$A$,$B分别是直线y = \frac{x}{2} + 3与x$轴,$y$轴的交点,得$A(-6, 0)$,$B(0, 3)$。
设抛物线$y = -\frac{x^2}{4}平移后得到抛物线y = -\frac{(x + m)^2}{4} + n$,将$A$,$B$两点的坐标代入方程,解得$m = 2$,$n = 4$,即平移后的抛物线为$y = -\frac{x^2}{4} - x + 3$,顶点为$(-2, 4)$。

1. 与抛物线$y = 2(x - 1)^2 + 3$的形状相同的抛物线为()。
A.$y = 1 + \frac{1}{2}x^2$
B.$y = (2x + 1)^2$
C.$y = (x - 1)^2$
D.$y = 2x^2$

【解析】：
本题考察的是二次函数图像的形状判断。
二次函数的形状由二次项系数决定，形如$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$）的二次函数，当$a$的绝对值相同时，形状相同。
题目中给出的抛物线是$y = 2(x - 1)^2 + 3$，其中二次项系数为2。
我们需要找到一个选项，其中的二次函数二次项系数绝对值也为2。
A选项：$y = 1 + \frac{1}{2}x^2$，二次项系数为$\frac{1}{2}$，不符合。
B选项：$y = (2x + 1)^2$，展开后二次项系数为4，不符合。
C选项：$y = (x - 1)^2$，二次项系数为1，不符合。
D选项：$y = 2x^2$，二次项系数为2，符合。
所以，与抛物线$y = 2(x - 1)^2 + 3$形状相同的抛物线是D选项$y = 2x^2$。
【答案】：
D

2. 二次函数$y = 2(x + 1)^2$的顶点坐标是()。
A.$(-1, 2)$
B.$(1, 2)$
C.$(1, 0)$
D.$(-1, 0)$

【解析】：
对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其顶点坐标是$(h, k)$。
在本题中，函数形式为$y = 2(x + 1)^2$，可以看作$y = 2(x - (-1))^2 + 0$，其中$h = -1$，$k = 0$。
因此，根据二次函数的性质，该函数的顶点坐标为$(-1, 0)$。
【答案】：
D. $(-1, 0)$。

3. 探究二次函数$y = 2(x - 3)^2 - 1$及其图象的性质,请填空：
(1) 图象的开口方向是；
(2) 图象的对称轴为直线；
(3) 图象与$y$轴的交点坐标为；
(4) 当$x = $时,函数$y$有最小值,最小值为。

【解析】：
本题主要考察二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象和性质。
(1) 对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
对于给定的函数$y = 2(x - 3)^2 - 1$，因为$a = 2 ＞ 0$，所以图象的开口方向是向上。
(2) 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的对称轴是直线$x = h$。
对于给定的函数，$h = 3$，所以图象的对称轴为直线$x = 3$。
(3) 要找到图象与$y$轴的交点，我们需要令$x = 0$并求解$y$的值。
将$x = 0$代入$y = 2(x - 3)^2 - 1$，得到$y = 2(0 - 3)^2 - 1 = 2 × 9 - 1 = 18 - 1 = 17$。
所以，图象与$y$轴的交点坐标为$(0, 17)$。
(4) 对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，当$a ＞ 0$时，函数在$x = h$处取得最小值，且最小值为$k$。
对于给定的函数，$h = 3$且$k = -1$，所以当$x = 3$时，函数$y$有最小值，且最小值为$-1$。
【答案】：
(1) 向上
(2) $x = 3$
(3) $(0, 17)$
(4) $3$；$-1$

4. 已知二次函数$y = -(x - 2)^2 + 3$。
(1) 写出此函数图象的开口方向和顶点。
(2) 当$y随x$的增大而减小时,写出$x$的取值范围。
(3) 当$1 ＜ x ＜ 4$时,求出$y$的取值范围。

【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、单调性以及给定区间内的取值范围。
(1) 对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其开口方向由系数a决定。若$a ＞ 0$，则开口向上；若$a ＜ 0$，则开口向下。顶点坐标为$(h, k)$。
(2) 二次函数的单调性与其开口方向和对称轴有关。对于函数$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为$x = h$。当$a ＜ 0$时，函数在对称轴左侧是增函数，在对称轴右侧是减函数。
(3) 求给定区间内的取值范围，需要结合函数的单调性和顶点坐标。
【答案】：
(1) 对于函数$y = -(x - 2)^2 + 3$，系数$a = -1 ＜ 0$，所以开口方向是向下。顶点坐标为$(2, 3)$。
(2) 由于函数开口向下，且对称轴为$x = 2$，所以当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 当$x = 2$时，$y$取得最大值，即$y = 3$。
当$x = 4$时，$y = -(4 - 2)^2 + 3 = -1$。
当$x = 1$时，$y = -(1 - 2)^2 + 3 = 2$。
由于$-1＜2$，
因此在区间$1 ＜ x ＜ 4$内，$y$的取值范围是$-1 ＜ y \leq 3$。