5. 如图,有一块半径为 $5 cm$ 的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角为 $90^\circ$ 的扇形 $ABC$,其中 $A$, $B$, $C$ 都在 $\odot O$ 上,则被剪掉的阴影部分的面积是______。

【解析】：本题考查圆的性质和扇形面积的计算。
连接$BC$，根据圆周角为$90^\circ$的弦是直径，可知$BC$为圆$O$的直径，即$BC=10$（$cm$）。
根据勾股定理，$AB^2+AC^2=BC^2$，
又因为$AB=AC$，
所以$AB^2+AB^2=10^2$，
解得$AB=5\sqrt{2}$。
扇形的面积公式为$S=\frac{n\pi r^2}{360}$，其中$n$是圆心角的度数，$r$是半径。
将$n=90^\circ$和$r=5\sqrt{2}$代入公式，得到：
$S_{扇形}=\frac{90\pi(5\sqrt{2})^2}{360}=\frac{25\pi}{2}$（$cm^2$）。
圆的面积公式为$S=\pi r^2$，其中$r$是半径。
将$r=5$代入公式，得到：
$S_{圆}=\pi×5^2=25\pi$（$cm^2$）。
阴影部分的面积等于圆的面积减去扇形的面积，即：
$S_{阴影}=S_{圆}-S_{扇形}=25\pi-\frac{25\pi}{2}=\frac{25\pi}{2}$（$cm^2$）。
【答案】：$\frac{25\pi}{2}cm^2$。

6. 如图,$AB$ 是半圆 $O$ 的直径,$C$ 是半圆上一动点。
(1) 若 $\angle CAB = 30^\circ$,$BC = 6$,求半圆中阴影部分的面积。
(2) 若 $AB = 2R$,则当动点 $C$ 运动到何处时,阴影部分的面积最小？最小面积是多少？

(1) 解：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠CAB=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，半径OA=6。
在Rt△ABC中，AC=√(AB²-BC²)=√(12²-6²)=6√3。
S半圆=1/2πr²=1/2π×6²=18π。
S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×6√3×6=18√3。
阴影部分面积=S半圆-S△ABC=18π-18√3。
(2) 解：当点C运动到使OC⊥AB时，阴影部分面积最小。
此时S△ABC=1/2×AB×OC=1/2×2R×R=R²。
S半圆=1/2πR²。
最小面积=S半圆-S△ABC=1/2πR²-R²。

7. 如图,下面的爱心图案由一个正方形和两个半圆组成,其中正方形的边长为 $20$,请计算图中阴影部分的面积。($\pi$ 取 $3.14$)

解：由题意知，正方形边长为20，两个半圆的直径均为正方形边长20，半径$r = 10$。
两个半圆面积之和为：$2×\frac{1}{2}\pi r^2=\pi r^2 = 3.14×10^2=314$。
设正方形为$ADCE$（$A$、$C$为正方形相邻顶点，$D$、$E$为另外两顶点），阴影部分中上方曲边三角形面积：以$AC$为直径的半圆面积（半径$10$）减去$\triangle ADC$面积。
$AC=\sqrt{20^2 + 20^2}=20\sqrt{2}$，以$AC$为直径的半圆半径$R = 10\sqrt{2}$，其面积为$\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}×3.14×(10\sqrt{2})^2=314$。
$\triangle ADC$面积为$\frac{1}{2}×20×20 = 200$，故上方曲边三角形面积为$314-200=114$。
阴影部分总面积 = 两个半圆面积之和 + 上方曲边三角形面积 = $314 + 114=428$。
答：阴影部分面积为$428$。

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 120^\circ$,$BC = 2\sqrt{3}$,$\odot A$ 与 $BC$ 相切于点 $D$,且交 $AB$, $AC$ 于 $M$, $N$ 两点。求图中阴影部分的面积 (结果保留 $\pi$)。

解：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于D，
∴AD⊥BC，BD=DC=√3，∠BAD=∠CAD=60°，
在Rt△ABD中，sin60°=BD/AB，即√3/2=√3/AB，解得AB=2，
∴AD=AB·cos60°=2×1/2=1，即⊙A半径r=1，
S_△ABC=1/2×BC×AD=1/2×2√3×1=√3，
S_扇形AMN=120πr²/360=120π×1²/360=π/3，
S_阴影=S_△ABC-S_扇形AMN=√3-π/3。
答：阴影部分面积为√3 - π/3。