1. 已知$(x + y):x = 3:1$,则$x:y$的值为()
A.$1:3$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$2:1$

B

因为$(x + y):x = 3:1$，所以$\frac{x + y}{x}=\frac{3}{1}$，即$1+\frac{y}{x}=3$，$\frac{y}{x}=2$，则$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，所以$x:y = 1:2$。
B

2. 如图,$AD是\triangle ABC$的高,下列能推得$\triangle ABC$是直角三角形的条件是()

A.$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{AC}$
B.$\frac{AD}{AC}= \frac{AB}{BD}$
C.$\frac{AC}{AD}= \frac{BC}{AB}$
D.$AB^{2}= BD\cdot BC$

D

3. 如图,在$\triangle ABC$中,若$BC = 15$,$DE// FG// BC$,$S_{\triangle ADE}= S_{四边形 EDFG}= S_{四边形 GFBC}$,则$FG$的长为()

A.$5\sqrt{6}$
B.$10$
C.$4\sqrt{3}$
D.$7.5$

A

设$S_{\triangle ADE}=S_{四边形 EDFG}=S_{四边形 GFBC}=k$，则$S_{\triangle AFG}=2k$，$S_{\triangle ABC}=3k$。
因为$DE// FG// BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle AFG\sim\triangle ABC$。
相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{FG}{BC}\right)^2$。
即$\frac{2k}{3k}=\left(\frac{FG}{15}\right)^2$，$\frac{2}{3}=\frac{FG^2}{225}$，$FG^2=150$，$FG=5\sqrt{6}$。
A

4. 如图,在正方形$ABCD$中,$E为AB$的中点,$BF\perp CE于点F$,那么$\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{正方形 ABCD}}$的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{4}$

C

解：设正方形$ABCD$的边长为$2a$，则$AB=BC=2a$。
$\because E$为$AB$中点，$\therefore AE=EB=a$。
在$Rt\triangle EBC$中，$EC=\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$。
$\because BF\perp CE$，$\therefore S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}× EB× BC=\frac{1}{2}× CE× BF$。
即$\frac{1}{2}× a× 2a=\frac{1}{2}× \sqrt{5}a× BF$，解得$BF=\frac{2a}{\sqrt{5}}$。
在$Rt\triangle BFC$中，$FC=\sqrt{BC^{2}-BF^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}-(\frac{2a}{\sqrt{5}})^{2}}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$。
$\therefore S_{\triangle BFC}=\frac{1}{2}× BF× FC=\frac{1}{2}× \frac{2a}{\sqrt{5}}× \frac{4a}{\sqrt{5}}=\frac{4a^{2}}{5}$。
$S_{正方形ABCD}=(2a)^{2}=4a^{2}$。
$\therefore \frac{S_{\triangle BFC}}{S_{正方形ABCD}}=\frac{\frac{4a^{2}}{5}}{4a^{2}}=\frac{1}{5}$。
答案：C

5. 如图,若$AB// CD// EF$,则图中相似三角形的组数为()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

C

证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $\triangle OCD \sim \triangle OAB$（两直线平行，对应角相等，三角形相似）。
∵ $CD // EF$，
∴ $\triangle OEF \sim \triangle OCD$（两直线平行，对应角相等，三角形相似）。
∵ $AB // EF$，
∴ $\triangle OEF \sim \triangle OAB$（两直线平行，对应角相等，三角形相似）。
综上，相似三角形的组数为3组。
答案：C

6. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E是边AD$的中点,$EC交对角线BD于点F$. 若$S_{\triangle DEC}= 3$,则$S_{\triangle BCF}$为()

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

C

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD // BC$，$AD = BC$，$\triangle DEC$与$\triangle BCD$同底$DC$且等高，
又$E$是$AD$中点，$S_{\triangle DEC}=3$，
∴$S_{\triangle BCD}=2S_{\triangle DEC}=6$。
∵$AD // BC$，
∴$\triangle DEF \sim \triangle BCF$，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{FC}{EC}=\frac{2}{3}$。
∵$\triangle BCF$与$\triangle BCD$同底$BC$，高之比为$\frac{FC}{EC}=\frac{2}{3}$，
∴$S_{\triangle BCF}=\frac{2}{3}S_{\triangle BCD}=\frac{2}{3} × 6=4$。
答案：$4$