7. 如图,二次函数 $ y = 2x^2 + m $ 的图象过点 $ (0,-4) $,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ C $,$ D $ 在 $ x $ 轴上,$ A $,$ B $ 恰好在二次函数的图象上,则图中阴影部分的面积之和为()

A.2
B.4
C.8
D.18

C

∵二次函数$y=2x^2+m$过点$(0,-4)$，代入得$-4=2×0^2+m$，∴$m=-4$，函数解析式为$y=2x^2-4$。
设正方形边长为$k$，顶点$C(a,0)$，$D(-a,0)$，则$A(-a,k)$，$B(a,k)$。
∵$A$、$B$在抛物线上，∴$k=2a^2-4$。
∵正方形边长$k=2a$（$CD=2a$），∴$2a=2a^2-4$，解得$a=2$（$a=-1$舍），则$k=4$。
阴影部分为抛物线与正方形围成的对称区域，面积之和等于正方形边长的平方的一半，即$4×2=8$。

8. 如图,将二次函数 $ y = x^2 - 4 $ 位于 $ x $ 轴下方的图象沿 $ x $ 轴翻折,再得到一个新函数的图象(图中的实线)。
(1)当 $ x = -3 $ 时,新函数 $ y = $,当 $ x = 1 $ 时,新函数 $ y = $；
(2)当 $ x = $时,新函数有最小值；
(3)新函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时,$ x $ 的取值范围是；
(4)直线 $ y = a $ 与新函数的图象有 4 个公共点,则 $ a $ 的取值范围是。

(1) 当$x = -3$时，$x \leq -2$，代入$y = x^2 - 4$，得$y = (-3)^2 - 4 = 5$；当$x = 1$时，$-2 ＜ x ＜ 2$，代入$y = -x^2 + 4$，得$y = -1^2 + 4 = 3$。故答案为$5$，$3$。
(2) 新函数在$x \leq -2$或$x \geq 2$时，$y = x^2 - 4 \geq 0$；在$-2 ＜ x ＜ 2$时，$y = -x^2 + 4$，$0 ＜ y \leq 4$。最小值为$0$，此时$x = -2$或$x = 2$。故答案为$-2$或$2$。
(3) 当$-2 ＜ x ＜ 0$时，$y = -x^2 + 4$（开口向下，对称轴$x=0$）随$x$增大而增大；当$x \geq 2$时，$y = x^2 - 4$（开口向上，对称轴$x=0$）随$x$增大而增大。故答案为$-2 ＜ x ＜ 0$或$x \geq 2$。
(4) 直线$y = a$与新函数有4个公共点时，需$0 ＜ a ＜ 4$（$a=0$有2个交点，$a=4$有3个交点，$a ＞ 4$有2个交点，$a ＜ 0$无交点）。故答案为$0 ＜ a ＜ 4$。
(1) 5；3
(2) $-2$或$2$
(3) $-2 ＜ x ＜ 0$或$x \geq 2$
(4) $0 ＜ a ＜ 4$

二次函数 $ y = a(x - h)^2(a \neq 0) $ 图象的对称轴是直线,顶点坐标是,二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的图象完全相同,只是发生了移动。当 $ h ＞ 0 $ 时,二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象可以看作是由 $ y = ax^2 $ 的图象向平移个单位长度而得；当 $ h ＜ 0 $ 时,二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象可以看作是由 $ y = ax^2 $ 的图象向平移个单位长度而得。
思考
二次函数 $ y = a(x - h)^2(a \neq 0) $ 的图象为什么与 $ x $ 轴有且只有一个交点？

练习

1. 答案：
对称轴是直线$x = h$，顶点坐标是$(h,0)$，二次函数$y = a(x - h)^2$与$y = ax^2$的图象形状完全相同，只是位置发生了移动。当$h\gt0$时，二次函数$y = a(x - h)^2$的图象可以看作是由$y = ax^2$的图象向右平移$\vert h\vert$个单位长度而得；当$h\lt0$时，二次函数$y = a(x - h)^2$的图象可以看作是由$y = ax^2$的图象向左平移$\vert h\vert$个单位长度而得。
2. 思考：
解：对于二次函数$y = a(x - h)^2(a\neq0)$，令$y = 0$，则$a(x - h)^2=0$（$a\neq0$），根据等式性质，$(x - h)^2 = 0$，由平方根的性质$x - h=0$，解得$x = h$。所以二次函数$y = a(x - h)^2(a\neq0)$的图象与$x$轴有且只有一个交点$(h,0)$。

二次函数 $ y = (x - 2)^2 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是,对称轴是直线,它的图象可以看作是由 $ y = x^2 $ 的图象向平移个单位长度而得。

与$x$轴的交点坐标是$(2,0)$；对称轴是直线$x = 2$；右；$2$。

1. 求与$x$轴的交点坐标：
令$y = 0$，则$(x - 2)^2 = 0$，解得$x = 2$，所以与$x$轴的交点坐标是$(2,0)$。
2. 求对称轴：
对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$，在二次函数$y = (x - 2)^2$中，$h = 2$，所以对称轴是直线$x = 2$。
3. 分析图象的平移：
二次函数$y = (x - 2)^2$的图象可以看作是由$y = x^2$的图象向右平移$2$个单位长度得到的。

例 1 已知抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $。
(1) 直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2) 在下面的直角坐标系中作出该抛物线的图象；
(3) 该抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,求 $ \triangle ABO $ 的周长和面积。

名师导引 抛物线顶点的横、纵坐标就是 $ y $ 取最值时对应的 $ x $ 和 $ y $ 值,作函数图象时应注意选取关键点,同时要对称地取点。

(1) 顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x = 1$。
(3)对于抛物线$y = 2(x - 1)^2$，
令$y = 0$，则$2(x - 1)^2 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$。
令$x = 0$，则$y = 2(0 - 1)^2 = 2$，所以$B(0,2)$。
则$OA = 1$，$OB = 2$，根据勾股定理$AB=\sqrt{(1 - 0)^2+(0 - 2)^2}=\sqrt{5}$。
$\triangle ABO$的周长为$1 + 2+\sqrt{5}=3 + \sqrt{5}$。
$\triangle ABO$的面积为$\frac{1}{2}×1×2 = 1$。
故$\triangle ABO$的周长为$3 + \sqrt{5}$，面积为$1$。
(2)列表：
| $x$ | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
描点、连线，作出函数图象（图象略）。