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1. 分式方程$\frac{1}{x - 4} = \frac{3}{x + 2}$的解是(
A.$x = 0$
B.$x = -5$
C.$x = 7$
D.$x = 1$
C
)A.$x = 0$
B.$x = -5$
C.$x = 7$
D.$x = 1$
答案
C 解析:方程去分母,得x+2=3(x-4),解得x=7.检验:当x=7时,(x+2)(x-4)≠0.所以,原分式方程的解为x=7.
2. 若关于$x的分式方程\frac{x}{x - 3} = \frac{m}{x - 3}$有解,则$m$的取值范围为(
A.$m ＜ 3$
B.$m \geq 3$
C.$m \neq 3$
D.$m ＞ 3$
C
)A.$m ＜ 3$
B.$m \geq 3$
C.$m \neq 3$
D.$m ＞ 3$
答案
C 解析:方程两边乘(x-3),得x=m.因为原分式方程有解,所以x-3≠0,即x≠3,所以m≠3.
3. 若关于$x的一元一次不等式组\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3, \\ 4x - 2 ＜ 3x + a\end{cases} 的解集为x \leq 4$,且关于$y的分式方程\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$的解均为负整数,则所有满足条件的整数$a$的值之和是
12
。答案
12 解析:$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{3}\leqslant 3,\quad ①\\ 4x-2＜3x+a.\quad ②\end{array}\right.$解不等式①,得x≤4.解不等式②,得x＜a+2.由题意,得a+2＞4,解得a＞2.解关于y的分式方程$\frac{a-8}{y+2}-\frac{y}{y+2}=1$,得$y=\frac{a-10}{2}$,且y≠-2.由题意,得y＜0,且y是整数,即$\frac{a-10}{2}＜0$,且$\frac{a-10}{2}$是整数.当a=8时,$y=\frac{8-10}{2}=-1$;当a=6时,$y=\frac{6-10}{2}=-2$(不合题意,舍去);当a=4时,$y=\frac{4-10}{2}=-3$,所以符合条件的a的值为8,4.因为8+4=12,所以所有满足条件的整数a的值之和是12.
解析
解不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3, \\ 4x - 2 ＜ 3x + a\end{cases}$：
解不等式①：$\frac{2x + 1}{3} \leq 3$，两边同乘3得$2x + 1 \leq 9$，移项得$2x \leq 8$，解得$x \leq 4$。
解不等式②：$4x - 2 ＜ 3x + a$，移项得$4x - 3x ＜ a + 2$，解得$x ＜ a + 2$。
因为不等式组解集为$x \leq 4$，所以$a + 2 ＞ 4$，解得$a ＞ 2$。
解分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$：
方程两边同乘$y + 2$得$a - 8 - y = y + 2$，移项得$-y - y = 2 + 8 - a$，合并同类项得$-2y = 10 - a$，解得$y = \frac{a - 10}{2}$。
因为分式方程解为负整数且$y \neq -2$：
$y = \frac{a - 10}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ 10$。
当$\frac{a - 10}{2} = -1$时，$a - 10 = -2$，$a = 8$；
当$\frac{a - 10}{2} = -2$时，$a - 10 = -4$，$a = 6$（此时$y = -2$，舍去）；
当$\frac{a - 10}{2} = -3$时，$a - 10 = -6$，$a = 4$；
当$\frac{a - 10}{2} = -4$时，$a - 10 = -8$，$a = 2$（不满足$a ＞ 2$，舍去）。
综上，$a = 4$或$8$，满足条件的整数$a$的值之和为$4 + 8 = 12$。
12
解不等式①：$\frac{2x + 1}{3} \leq 3$，两边同乘3得$2x + 1 \leq 9$，移项得$2x \leq 8$，解得$x \leq 4$。
解不等式②：$4x - 2 ＜ 3x + a$，移项得$4x - 3x ＜ a + 2$，解得$x ＜ a + 2$。
因为不等式组解集为$x \leq 4$，所以$a + 2 ＞ 4$，解得$a ＞ 2$。
解分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$：
方程两边同乘$y + 2$得$a - 8 - y = y + 2$，移项得$-y - y = 2 + 8 - a$，合并同类项得$-2y = 10 - a$，解得$y = \frac{a - 10}{2}$。
因为分式方程解为负整数且$y \neq -2$：
$y = \frac{a - 10}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ 10$。
当$\frac{a - 10}{2} = -1$时，$a - 10 = -2$，$a = 8$；
当$\frac{a - 10}{2} = -2$时，$a - 10 = -4$，$a = 6$（此时$y = -2$，舍去）；
当$\frac{a - 10}{2} = -3$时，$a - 10 = -6$，$a = 4$；
当$\frac{a - 10}{2} = -4$时，$a - 10 = -8$，$a = 2$（不满足$a ＞ 2$，舍去）。
综上，$a = 4$或$8$，满足条件的整数$a$的值之和为$4 + 8 = 12$。
12
4. 已知关于$x的分式方程\frac{x + a}{x - 2} - \frac{5}{x} = 1$无解,求$a$的值。
答案
解:方程去分母并整理,得(3-a)x=10.①当3-a=0,即a=3时,整式方程(3-a)x=10无解,则原分式方程也无解;②当3-a≠0时,要使原分式方程无解,则x=2或x=0.当x=2时,(3-a)×2=10,解得a=-2;当x=0时,0≠10.综上所述,a的值为3或-2.
解析
解:方程两边同乘$x(x - 2)$，得$x(x + a)-5(x - 2)=x(x - 2)$，整理得$(3 - a)x=10$。
①当$3 - a=0$，即$a=3$时，整式方程无解，原分式方程无解；
②当$3 - a≠0$时，$x=\frac{10}{3 - a}$。要使原分式方程无解，则$x=2$或$x=0$。
当$x=2$时，$\frac{10}{3 - a}=2$，解得$a=-2$；
当$x=0$时，$\frac{10}{3 - a}=0$，方程无解。
综上所述，$a$的值为$3$或$-2$。
①当$3 - a=0$，即$a=3$时，整式方程无解，原分式方程无解；
②当$3 - a≠0$时，$x=\frac{10}{3 - a}$。要使原分式方程无解，则$x=2$或$x=0$。
当$x=2$时，$\frac{10}{3 - a}=2$，解得$a=-2$；
当$x=0$时，$\frac{10}{3 - a}=0$，方程无解。
综上所述，$a$的值为$3$或$-2$。
5. 解方程：
(1) $\frac{5 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\frac{1}{x - 2} + 1 = \frac{2x}{2x + 1}$。
(1) $\frac{5 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\frac{1}{x - 2} + 1 = \frac{2x}{2x + 1}$。
答案
(1)方程两边乘(x-4),得5-x-1=x-4,解得x=4.检验:当x=4时,x-4=0,因此x=4不是原分式方程的解.所以,原分式方程无解;
(2)方程两边乘(x-2)(2x+1),得2x+1+(x-2)(2x+1)=2x(x-2),解得$x=\frac{1}{3}$.检验:当$x=\frac{1}{3}$时,(x-2)(2x+1)≠0.所以,原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$.
6. 阅读材料,解答下列问题：
当$a \neq b$时,一般来说会有$a^{2} + b \neq a + b^{2}$,然而当$a和b$是特殊的分数时,这个等式却是成立的。例如：$(\frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + (\frac{2}{3})^{2}$,$(\frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + (\frac{3}{4})^{2}$,$(\frac{1}{5})^{2} + \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + (\frac{4}{5})^{2}$,……,$(\frac{1}{100})^{2} + \frac{99}{100} = \frac{1}{100} + (\frac{99}{100})^{2}$……
【特例验证】
(1) 请再写出一个具有上述特征的等式：
【猜想结论】
(2) 用$n$($n$为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为
【证明推广】
(3) ① (2)中得到的等式一定成立吗？请说明理由。
② 等式$(\frac{m}{n})^{2} + \frac{n - m}{n} = \frac{m}{n} + (\frac{n - m}{n})^{2}$($m$,$n$为任意实数,且$n \neq 0$)成立吗？若成立,请写出一个这种形式的等式(要求$m$,$n$中至少有一个为无理数)；若不成立,请说明理由。
当$a \neq b$时,一般来说会有$a^{2} + b \neq a + b^{2}$,然而当$a和b$是特殊的分数时,这个等式却是成立的。例如：$(\frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + (\frac{2}{3})^{2}$,$(\frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + (\frac{3}{4})^{2}$,$(\frac{1}{5})^{2} + \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + (\frac{4}{5})^{2}$,……,$(\frac{1}{100})^{2} + \frac{99}{100} = \frac{1}{100} + (\frac{99}{100})^{2}$……
【特例验证】
(1) 请再写出一个具有上述特征的等式：
$(\frac{1}{6})^{2}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^{2}$
。【猜想结论】
(2) 用$n$($n$为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为
$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}$
。【证明推广】
(3) ① (2)中得到的等式一定成立吗？请说明理由。
② 等式$(\frac{m}{n})^{2} + \frac{n - m}{n} = \frac{m}{n} + (\frac{n - m}{n})^{2}$($m$,$n$为任意实数,且$n \neq 0$)成立吗？若成立,请写出一个这种形式的等式(要求$m$,$n$中至少有一个为无理数)；若不成立,请说明理由。
(3)①成立.理由如下:因为$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{n(n-1)}{n^{2}}=\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}$,$\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}=\frac{n}{n^{2}}+\frac{n^{2}-2n+1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}$,所以$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}$;②成立.例如:$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{2})^{2}$.(答案不唯一)
答案
(1)$(\frac{1}{6})^{2}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^{2}$(答案不唯一);
(2)$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}$;
(3)①成立.理由如下:因为$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{n(n-1)}{n^{2}}=\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}$,$\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}=\frac{n}{n^{2}}+\frac{n^{2}-2n+1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}$,所以$(\frac{1}{n})^{2}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^{2}$;②成立.例如:$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{2})^{2}$.(答案不唯一)
