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《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,也就是人们常说的“天圆地方”,我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想,现将铜钱抽象成如图 15.1 - 4 所示的图形,$ AC $,$ BD $ 为圆 $ O $ 的直径,$ AC \perp BD $,若圆 $ O $ 的面积为 $ 16\pi cm^2 $,则图中阴影部分的面积为 $
4π - 8
cm^2$.答案
4π - 8
解析
圆O面积为16π cm²，由πr²=16π得r=4 cm，直径AC=BD=8 cm。AC⊥BD，内接正方形对角线为8 cm，其面积=8²÷2=32 cm²。阴影部分为圆面积的四分之一减去等腰直角三角形OAB面积，即(1/4)×16π - (4×4)/2=4π - 8。
1. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 cm $,则图中阴影部分的面积为 $
8
cm^2$.答案
8
解析
由图可知，阴影部分通过轴对称可拼凑成正方形面积的一半。正方形边长为4cm，面积为4×4=16cm²，故阴影部分面积为16÷2=8cm²。
2. 如图,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 关于直线 $ MN $ 对称,并且 $ AB = 5 $,$ BC = 3 $,则 $ A'C' $ 长度的取值范围是 $
$2\lt A'C'\lt 8$
$.答案
$2\lt A'C'\lt 8$
解析
$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$关于直线$MN$对称，
根据对称的性质，对称的两个三角形全等，
所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，
则对应边$A'C' = AC$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，
已知$AB = 5$，$BC = 3$，
所以$AB - BC\lt AC\lt AB + BC$，
即$5 - 3\lt AC\lt 5 + 3$，
$2\lt AC\lt 8$，
因为$A'C' = AC$，
所以$2\lt A'C'\lt 8$。
根据对称的性质，对称的两个三角形全等，
所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，
则对应边$A'C' = AC$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，
已知$AB = 5$，$BC = 3$，
所以$AB - BC\lt AC\lt AB + BC$，
即$5 - 3\lt AC\lt 5 + 3$，
$2\lt AC\lt 8$，
因为$A'C' = AC$，
所以$2\lt A'C'\lt 8$。
3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ BC $ 上的点,$ \angle BAD = \angle ABC = 40^\circ $,将 $ \triangle ABD $ 沿着 $ AD $ 翻折得到 $ \triangle AED $,则 $ \angle CDE = $
20°
.答案
20°
解析
在△ABD中，∠BAD=∠ABD=40°，则∠ADB=180°-40°-40°=100°。
由翻折性质得△ABD≌△AED，故∠ADE=∠ADB=100°。
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-100°=80°。
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°。
由翻折性质得△ABD≌△AED，故∠ADE=∠ADB=100°。
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-100°=80°。
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°。
4. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
根据轴对称图形定义，沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形是轴对称图形。A选项图形折叠后左右部分不能重合；B选项烧杯左右不对称，折叠后不能重合；C选项集气瓶左右不对称，折叠后不能重合；D选项量筒沿中间竖线折叠，左右完全重合，是轴对称图形。
5. 如图,是轴对称图形且只有两条对称轴的是(
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
A
)A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
答案
A
解析
①是轴对称图形，有2条对称轴；②是轴对称图形，有2条对称轴；③是轴对称图形，有4条对称轴；④不是轴对称图形。符合条件的是①②。
6. 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 关于直线 $ MN $ 对称,$ BB' $ 交 $ MN $ 于点 $ O $,则下列说法不正确的是(
A.$ AC = A'C' $
B.$ BO = B'O $
C.$ AA' \perp MN $
D.$ AB // B'C' $
D
)A.$ AC = A'C' $
B.$ BO = B'O $
C.$ AA' \perp MN $
D.$ AB // B'C' $
答案
D
解析
根据轴对称的性质，两个图形关于某条直线对称时：
对应线段相等，所以$AC=A'C'$，选项A正确。
对称点的连线被对称轴垂直平分，所以$BO=B'O$，选项B正确。
对称点的连线必定垂直于对称轴，且对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以$AA'\perp MN$，选项C正确。
轴对称图形中，对应线段不一定平行，所以$AB$与$B'C'$不一定平行，选项D不正确。
对应线段相等，所以$AC=A'C'$，选项A正确。
对称点的连线被对称轴垂直平分，所以$BO=B'O$，选项B正确。
对称点的连线必定垂直于对称轴，且对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以$AA'\perp MN$，选项C正确。
轴对称图形中，对应线段不一定平行，所以$AB$与$B'C'$不一定平行，选项D不正确。
7. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^\circ $,$ \angle B = 50^\circ $,$ AD \perp BC $,垂足为 $ D $,$ \triangle ADB $ 与 $ \triangle ADB' $ 关于直线 $ AD $ 对称,点 $ B $ 的对称点是点 $ B' $,则 $ \angle CAB' $ 的度数为(
A.$ 10^\circ $
B.$ 20^\circ $
C.$ 30^\circ $
D.$ 40^\circ $
A
)A.$ 10^\circ $
B.$ 20^\circ $
C.$ 30^\circ $
D.$ 40^\circ $
答案
A
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$\angle B=50^\circ$，则$\angle C=180^\circ - 90^\circ - 50^\circ=40^\circ$。
$AD\perp BC$，$\triangle ADB$与$\triangle ADB'$关于$AD$对称，所以$\angle AB'D=\angle B=50^\circ$。
在$\triangle AB'C$中，$\angle AB'D$是$\triangle AB'C$的外角，$\angle AB'D=\angle C+\angle CAB'$，即$50^\circ=40^\circ+\angle CAB'$，故$\angle CAB'=10^\circ$。
$AD\perp BC$，$\triangle ADB$与$\triangle ADB'$关于$AD$对称，所以$\angle AB'D=\angle B=50^\circ$。
在$\triangle AB'C$中，$\angle AB'D$是$\triangle AB'C$的外角，$\angle AB'D=\angle C+\angle CAB'$，即$50^\circ=40^\circ+\angle CAB'$，故$\angle CAB'=10^\circ$。
