8. 图 a 和图 b 中所有的小正方形都全等,将图 a 的小正方形放在图 b 中的①②③④的某一位置,使它与原来 7 个小正方形组成的图形是轴对称图形并且有两条对称轴,这个位置是()

A.①
B.②
C.③
D.④

C

要使图形为轴对称图形且有两条对称轴，需分析各位置放置小正方形后的对称性。
位置①：放置后图形仅可能有一条对称轴（如垂直方向），不符合。
位置②：放置后图形对称性不足，无两条对称轴，不符合。
位置③：放置后图形关于水平和垂直方向均对称，即有两条对称轴（水平、垂直各一条），符合要求。
位置④：放置后图形仅可能有一条对称轴（如水平方向），不符合。

9. 图中所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形.

(1) 分别说出它们各有几条对称轴；
(2) 分别画出各图形的所有对称轴；
(3) 通过你自己的作图与思考,你发现了哪些规律？试写出几条.

(1)
正三角形有$3$条对称轴；
正方形有$4$条对称轴；
正五边形有$5$条对称轴；
正六边形有$6$条对称轴。
(2) 画图（由于无法实际画图，文字描述对称轴画法）：
正三角形：分别从三个顶点向对边中点连线，这三条线为对称轴；
正方形：两条对角线以及两组对边中点连线，共四条为对称轴；
正五边形：过每个顶点与对边中点连线，共五条为对称轴；
正六边形：过相对两个顶点连线$3$条，过相对两边中点连线$3$条，共六条为对称轴。
(3)
规律一：正$n$边形有$n$条对称轴；
规律二：正$n$边形的对称轴要么过顶点与对边中点，要么过相对顶点或相对两边中点；
规律三：正$n$边形对称轴数量与其边数相等。

10. 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 关于直线 $ MN $ 对称,$ BC $ 与 $ DE $ 的交点 $ F $ 在直线 $ MN $ 上. 若 $ ED = 8 $,$ FC = 2 $,$ \angle BAC = 75^\circ $,$ \angle EAC = 56^\circ $.
(1) 求 $ BF $ 的长度；
(2) 求 $ \angle CAD $ 的度数.

(1) 6；(2) 19°。

(1) ∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴BC=DE=8。
∵F在BC上，FC=2，∴BF=BC-FC=8-2=6。
(2) ∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴∠DAE=∠BAC=75°。
∵C与E关于MN对称，∴∠CAF=∠EAF=∠EAC/2=56°/2=28°。
∵∠BAF=∠BAC-∠CAF=75°-28°=47°，且B与D关于MN对称，∴∠DAF=∠BAF=47°。
∴∠CAD=∠DAF-∠CAF=47°-28°=19°。

11. 如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 $ O $,点 $ P $ 关于 $ l_1 $,$ l_2 $ 的对称点分别为 $ P_1 $,$ P_2 $.
(1) 若 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交所成的锐角 $ \angle AOB = 60^\circ $,则 $ \angle P_1OP_2 = $；
(2) 若 $ OP = 3 $,$ P_1P_2 = 5 $,求 $ \triangle P_1OP_2 $ 的周长.

(1)
连接$OP$，$OP_1$，$OP_2$。
因为点$P$关于$l_1$，$l_2$的对称点分别为$P_1$，$P_2$，所以$l_1$垂直平分$PP_1$，$l_2$垂直平分$PP_2$。
则$\angle P_1OA=\angle AOP$，$\angle P_2OB = \angle BOP$。
$\angle P_1OP_2=2(\angle AOP+\angle BOP)=2\angle AOB$。
已知$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$\angle P_1OP_2 = 120^{\circ}$。
(2)
由(1)可知$OP_1 = OP=OP_2 = 3$。
根据三角形周长的定义，$\triangle P_1OP_2$的周长为$P_1P_2+OP_1+OP_2$。
已知$P_1P_2 = 5$，$OP_1 = OP_2 = 3$，所以$\triangle P_1OP_2$的周长为$5 + 3+3=11$。
综上，答案依次为：(1)$120^{\circ}$；(2)$11$。

12. 如图,将长方形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,使点 $ A $ 与点 $ C $ 重合,点 $ D $ 落在点 $ G $ 处,$ EF $ 为折痕.
(1) 求证：$ \triangle FGC \cong \triangle EBC $；
(2) 若 $ AB = 8 $,$ AD = 4 $,求四边形 $ ECGF $(阴影部分)的面积.

(1) 见证明过程；(2) 16。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，∴ ∠B=∠D=90°，AD=BC，AB//CD。
由折叠性质得：∠G=∠D=90°，∠GCE=∠A=90°，AD=CG，∠AEF=∠CEF。
∴ ∠G=∠B=90°，CG=BC。
∵ AB//CD，∴ ∠AEF=∠CFE（内错角相等）。
又∠AEF=∠CEF，∴ ∠CEF=∠CFE，∴ CE=CF（等角对等边）。
在Rt△FGC和Rt△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l} CG=BC \\ CF=CE \end{array}\right.$
∴ Rt△FGC≌Rt△EBC（HL）。
(2) 解：
设BE=x，则AE=CE=AB-BE=8-x。
在Rt△EBC中，由勾股定理得：$BE^2+BC^2=CE^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，解得x=3。
∴ BE=3，CE=5。
∵ △FGC≌△EBC，∴ $S_{\triangle FGC}=S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
∵ CE=CF=5，CG=BC=4，∠GCE=90°，
∴ $S_{\triangle ECG}=\frac{1}{2}×CG×CE=\frac{1}{2}×4×5=10$。
∴ 四边形ECGF的面积=$S_{\triangle ECG}+S_{\triangle FGC}=10+6=16$。