不改变分式的值,把下面分式中分子、分母的各项系数化为整数：
(1)$\frac{\frac{1}{2}a + \frac{4}{3}b}{\frac{1}{3}a - \frac{1}{4}b}$； (2)$\frac{0.3x + 0.2y}{0.05x - y}$.

(1)
为了将分子、分母的各项系数化为整数，需找到分子、分母中分数系数的最小公倍数的分母（2，3，3，4的最小公倍数为12），
然后将分子和分母同时乘以这个数：
$\frac{\frac{1}{2}a + \frac{4}{3}b}{\frac{1}{3}a - \frac{1}{4}b} = \frac{12 × (\frac{1}{2}a + \frac{4}{3}b)}{12 × (\frac{1}{3}a - \frac{1}{4}b)} = \frac{6a + 16b}{4a - 3b}$。
(2)
为了将分子、分母的各项系数化为整数，需找到分子、分母中系数的小数部分转化为整数后的公倍数（0.3，0.2，0.05，1的最小公倍数为20），
然后将分子和分母同时乘以这个数：
$\frac{0.3x + 0.2y}{0.05x - y} = \frac{20 × (0.3x + 0.2y)}{20 × (0.05x - y)} = \frac{6x + 4y}{x - 20y}$。

1. 使得等式$\frac{4}{7} = \frac{4\cdot m}{7\cdot m}成立的m$的取值范围为.

$m\neq0$

根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。等式左边为$\frac{4}{7}$，右边是分子分母同乘$m$，要使等式成立，则$m\neq0$。

2. 在括号内填入适当的整式,使等式成立.
(1)$\frac{3a}{5xy} = \frac{()}{10axy}$；
(2)$\frac{6a^{3}b^{2}}{8b^{3}} = \frac{3a^{3}}{()}$；
(3)$\frac{m + n}{mn} = \frac{()}{m^{2}n}$；
(4)$\frac{a^{2} + ab}{a^{2}} = \frac{a + b}{()}$.

(1)$6a^{2}$，(2)$4b$，(3)$m^{2} + mn$，(4)$a$。

(1) 根据分式的基本性质，分子分母同乘以同一个非零式，分式值不变；
为了使分母从$5xy$变为$10axy$，需要乘以$2a$，则分子也需要乘以$2a$，即：$3a × 2a = 6a^{2}$，
所以，$\frac{3a}{5xy} = \frac{6a^{2}}{10axy}$；
(2) 根据分式的基本性质，分子分母同除以同一个非零式，分式值不变；
为了使分子从$6a^{3}b^{2}$变为$3a^{3}$，需要除以$2b^{2}$，则分母也需要除以$2b^{2}$，即：$8b^{3} ÷ 2b^{2} = 4b$，
所以，$\frac{6a^{3}b^{2}}{8b^{3}} = \frac{3a^{3}}{4b}$；
(3) 根据分式的基本性质，分子分母同乘以同一个非零式，分式值不变；
为了使分母从$mn$变为$m^{2}n$，需要乘以$m$，则分子也需要乘以$m$，即：$(m + n) × m = m^{2} + mn$，
所以，$\frac{m + n}{mn} = \frac{m^{2} + mn}{m^{2}n}$；
(4) 根据分式的基本性质，分子分母同除以同一个非零式，分式值不变；
首先对分子进行因式分解：$a^{2} + ab = a(a + b)$，
为了使分子从$a(a + b)$变为$a + b$，需要除以$a$，则分母也需要除以$a$，即：$a^{2} ÷ a = a$，
所以，$\frac{a^{2} + ab}{a^{2}} = \frac{a + b}{a}$；

3. 若$\frac{1}{2a} = \frac{x + 1}{2a(x + 1)}$成立,则$x$的取值范围为.

$x \neq -1$

要使等式$\frac{1}{2a} = \frac{x + 1}{2a(x + 1)}$成立，根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。这里分母$2a$乘以$(x + 1)$，分子$1$也乘以$(x + 1)$，所以$x + 1 \neq 0$，即$x \neq -1$。同时，原分式$\frac{1}{2a}$中分母$2a \neq 0$，但题目未要求考虑$a$的取值范围，仅需考虑使等式成立的$x$的条件。

4. 有下列各式：①$\frac{-a - b}{c - d} = -\frac{a + b}{-c + d}$；②$\frac{-a - b}{c + d} = \frac{a + b}{c + d}$；③$\frac{-a - b}{c - d} = \frac{a + b}{d - c}$；④$\frac{-a - b}{c - d} = \frac{-a - b}{c + d}$.其中,错误的等式为(填序号).

②④

①$\frac{-a - b}{c - d} = -\frac{a + b}{c - d} = \frac{a + b}{-c + d}$，故①正确；②$\frac{-a - b}{c + d} = -\frac{a + b}{c + d}$，故②错误；③$\frac{-a - b}{c - d} = -\frac{a + b}{c - d} = \frac{a + b}{d - c}$，故③正确；④分母$c - d$与$c + d$不相等，故④错误。错误的等式为②④。

5. 分式$-\frac{1}{1 - x}$可变形为()
A.$-\frac{1}{x - 1}$
B.$\frac{1}{1 + x}$
C.$-\frac{1}{1 + x}$
D.$\frac{1}{x - 1}$

D

$-\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{-(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$

6. 下列各式从左到右的变形正确的是()
A.$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y} = \frac{2x - y}{x + 2y}$
B.$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b} = \frac{2a + b}{a + 2b}$
C.$-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$
D.$\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$

A

A. 分子分母同乘2，得$\frac{(x - \frac{1}{2}y)×2}{(\frac{1}{2}x + y)×2} = \frac{2x - y}{x + 2y}$，正确；
B. 分子分母同乘10，得$\frac{(0.2a + b)×10}{(a + 0.2b)×10} = \frac{2a + 10b}{10a + 2b} ≠ \frac{2a + b}{a + 2b}$，错误；
C. $-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{-(x + 1)}{x - y} = \frac{-x - 1}{x - y} ≠ \frac{x - 1}{x - y}$，错误；
D. $\frac{a + b}{a - b}$与$\frac{a - b}{a + b}$互为倒数，除非$a + b = a - b$即$b=0$，否则不相等，错误。

7. 当$x = -2$时,分式$\frac{3x^{2} - 27}{9 + 6x + x^{2}}$的值是()
A.$-15$
B.$-3$
C.$3$
D.$15$

A

首先，对分式进行因式化简。
原分式为：
$\frac{3x^{2} - 27}{9 + 6x + x^{2}}$
分子$3x^{2} - 27$可以提取公因数3，得到：
$3(x^{2} - 9)$
而$x^{2} - 9$是差平方，可以进一步分解为：
$(x + 3)(x - 3)$
分母$9 + 6x + x^{2}$可以看作是完全平方公式，即：
$(x + 3)^{2}$
因此，分式可以化简为：
$\frac{3(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}}$
由于$x = -2$，代入上式得：
因为$x+3\neq0$，可以约去一个$x + 3$，得到：
$\frac{3(x - 3)}{x + 3}$
代入$x = -2$，得：
$\frac{3× (-2 - 3)}{-2 + 3} = \frac{3× (-5)}{1} = -15$

8. (1)若将分式$\frac{3ab}{5a + 3b}中a$,$b$的值都变为原来的3倍,则分式的值如何变化？若将$a$,$b的值都变为原来的\frac{1}{3}$,则分式的值又如何变化？
(2)若将分式$\frac{a^{2} + b^{2}}{2a + 3b}中a$,$b$的值都变为原来的2倍,则分式的值如何变化？若将$a$,$b的值都变为原来的\frac{1}{2}$,则分式的值又如何变化？

(1) ① 将a,b的值都变为原来的3倍时：
新分子=3×(3a)×(3b)=27ab，新分母=5×(3a)+3×(3b)=3(5a+3b)，
新分式=27ab/[3(5a+3b)]=9ab/(5a+3b)=3×(3ab/(5a+3b))=3×原式，故分式的值变为原来的3倍。
② 将a,b的值都变为原来的1/3时：
新分子=3×(a/3)×(b/3)=ab/3，新分母=5×(a/3)+3×(b/3)=(5a+3b)/3，
新分式=(ab/3)/[(5a+3b)/3]=ab/(5a+3b)=1/3×(3ab/(5a+3b))=1/3×原式，故分式的值变为原来的1/3。
(2) ① 将a,b的值都变为原来的2倍时：
新分子=(2a)²+(2b)²=4(a²+b²)，新分母=2×(2a)+3×(2b)=2(2a+3b)，
新分式=4(a²+b²)/[2(2a+3b)]=2×(a²+b²)/(2a+3b)=2×原式，故分式的值变为原来的2倍。
② 将a,b的值都变为原来的1/2时：
新分子=(a/2)²+(b/2)²=(a²+b²)/4，新分母=2×(a/2)+3×(b/2)=(2a+3b)/2，
新分式=[(a²+b²)/4]/[(2a+3b)/2]=(a²+b²)/(2(2a+3b))=1/2×原式，故分式的值变为原来的1/2。