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例 6 解方程：$3^{2x + 2} - 3^{2x + 1} = 486$.
答案
原方程可化为$3^{2x}· 3^{2} - 3^{2x}· 3^{1} = 486$，
即$3^{2x}· 9 - 3^{2x}· 3 = 486$，
提取公因式$3^{2x}$得$3^{2x}(9 - 3) = 486$，
即$6· 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6得$3^{2x} = 81$，
因为$81 = 3^{4}$，所以$3^{2x} = 3^{4}$，
则$2x = 4$，
解得$x = 2$。
即$3^{2x}· 9 - 3^{2x}· 3 = 486$，
提取公因式$3^{2x}$得$3^{2x}(9 - 3) = 486$，
即$6· 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6得$3^{2x} = 81$，
因为$81 = 3^{4}$，所以$3^{2x} = 3^{4}$，
则$2x = 4$，
解得$x = 2$。
例 7 已知$a^{m} = 4$,$b^{m} = 9$,求$(ab)^{2m}$的值.
答案
$(ab)^{2m} = a^{2m} · b^{2m} = (a^{m})^{2} · (b^{m})^{2} = 4^{2} × 9^{2} = 16 × 81 = 1296$。
已知 a,b 互质,且$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5} = a^{15}b^{20}$,则$(3m)^{n} = $
36
.答案
36
解析
首先，根据幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，对等式左边进行化简。
$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5}=(a^{m+1}b^{n + 2})^{5}$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，进一步得到：
$(a^{m + 1}b^{n+2})^{5}=a^{5(m + 1)}b^{5(n + 2)}$
因为$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5}=a^{15}b^{20}$，所以$a^{5(m + 1)}b^{5(n + 2)}=a^{15}b^{20}$。
根据等式两边相同底数的幂指数相等，则有：
$\begin{cases}5(m + 1)=15\\5(n + 2)=20\end{cases}$
解第一个方程$5(m + 1)=15$，两边同时除以$5$得$m + 1 = 3$，解得$m = 2$。
解第二个方程$5(n + 2)=20$，两边同时除以$5$得$n + 2 = 4$，解得$n = 2$。
将$m = 2$，$n = 2$代入$(3m)^{n}$得：
$(3×2)^{2}=6^{2}=36$
$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5}=(a^{m+1}b^{n + 2})^{5}$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，进一步得到：
$(a^{m + 1}b^{n+2})^{5}=a^{5(m + 1)}b^{5(n + 2)}$
因为$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5}=a^{15}b^{20}$，所以$a^{5(m + 1)}b^{5(n + 2)}=a^{15}b^{20}$。
根据等式两边相同底数的幂指数相等，则有：
$\begin{cases}5(m + 1)=15\\5(n + 2)=20\end{cases}$
解第一个方程$5(m + 1)=15$，两边同时除以$5$得$m + 1 = 3$，解得$m = 2$。
解第二个方程$5(n + 2)=20$，两边同时除以$5$得$n + 2 = 4$，解得$n = 2$。
将$m = 2$，$n = 2$代入$(3m)^{n}$得：
$(3×2)^{2}=6^{2}=36$
1. (1)$(x^{4})^{2} = $
(2)$-(y^{4})^{3} = $
(3)$(a^{m})^{4} = $
(4)$(-y^{4})^{2} = $
$x^{8}$
；(2)$-(y^{4})^{3} = $
$-y^{12}$
；(3)$(a^{m})^{4} = $
$a^{4m}$
；(4)$(-y^{4})^{2} = $
$y^{8}$
.答案
(1)$x^{8}$；
(2)$-y^{12}$；
(3)$a^{4m}$；
(4)$y^{8}$。
(2)$-y^{12}$；
(3)$a^{4m}$；
(4)$y^{8}$。
解析
(1) 根据幂的乘方运算法则 $(a^{m})^{n} = a^{m × n}$，可得 $(x^{4})^{2} = x^{4 × 2} = x^{8}$。
(2) 根据幂的乘方运算法则，可得 $(y^{4})^{3} = y^{4 × 3} = y^{12}$，再带上负号，即 $-(y^{4})^{3} = -y^{12}$。
(3) 根据幂的乘方运算法则，可得 $(a^{m})^{4} = a^{m × 4} = a^{4m}$。
(4) 根据幂的乘方运算法则，负数的偶数次幂为正，可得 $(-y^{4})^{2} = y^{4 × 2} = y^{8}$。
(2) 根据幂的乘方运算法则，可得 $(y^{4})^{3} = y^{4 × 3} = y^{12}$，再带上负号，即 $-(y^{4})^{3} = -y^{12}$。
(3) 根据幂的乘方运算法则，可得 $(a^{m})^{4} = a^{m × 4} = a^{4m}$。
(4) 根据幂的乘方运算法则，负数的偶数次幂为正，可得 $(-y^{4})^{2} = y^{4 × 2} = y^{8}$。
2. (1)$(mn)^{2} = $
(2)$(-2x^{2}y)^{3} = $
(3)$(\dfrac{1}{2}mn^{3})^{3} = $
(4)$(-2×10^{3})^{2} = $
$m^{2}n^{2}$
；(2)$(-2x^{2}y)^{3} = $
$-8x^{6}y^{3}$
；(3)$(\dfrac{1}{2}mn^{3})^{3} = $
$\dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
；(4)$(-2×10^{3})^{2} = $
$4 × 10^{6}$
.答案
(1) $m^{2}n^{2}$
(2) $-8x^{6}y^{3}$
(3) $\dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
(4) $4 × 10^{6}$
(2) $-8x^{6}y^{3}$
(3) $\dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
(4) $4 × 10^{6}$
解析
(1) 根据积的乘方运算法则 $(ab)^n = a^n b^n$，可得：
$(mn)^{2} = m^{2}n^{2}$
(2) 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则 $(a^m)^n = a^{mn}$，可得：
$(-2x^{2}y)^{3} = (-2)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot y^{3} = -8x^{6}y^{3}$
(3) 根据积的乘方运算法则，可得：
$(\dfrac{1}{2}mn^{3})^{3} = (\dfrac{1}{2})^{3} \cdot m^{3} \cdot (n^{3})^{3} = \dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
(4) 根据积的乘方运算法则，可得：
$(-2×10^{3})^{2} = (-2)^{2} \cdot (10^{3})^{2} = 4 × 10^{6}$
$(mn)^{2} = m^{2}n^{2}$
(2) 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则 $(a^m)^n = a^{mn}$，可得：
$(-2x^{2}y)^{3} = (-2)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot y^{3} = -8x^{6}y^{3}$
(3) 根据积的乘方运算法则，可得：
$(\dfrac{1}{2}mn^{3})^{3} = (\dfrac{1}{2})^{3} \cdot m^{3} \cdot (n^{3})^{3} = \dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
(4) 根据积的乘方运算法则，可得：
$(-2×10^{3})^{2} = (-2)^{2} \cdot (10^{3})^{2} = 4 × 10^{6}$
3. (1)$[(2a - b)^{3}]^{3} = $
(2)$(-a^{3})^{5}\cdot (-a^{2})^{6} = $
$(2a - b)^{9}$
；(2)$(-a^{3})^{5}\cdot (-a^{2})^{6} = $
$-a^{27}$
.答案
(1) $(2a - b)^{9}$；
(2) $-a^{27}$。
(2) $-a^{27}$。
解析
(1) 根据幂的乘方运算法则 $(x^m)^n = x^{m × n}$，将指数相乘：
$[(2a - b)^{3}]^{3} = (2a - b)^{3 × 3} = (2a - b)^9$。
(2) 首先根据幂的乘方运算法则，分别计算两项的幂：
$(-a^{3})^{5} = (-1)^5 × (a^{3 × 5}) = -a^{15}$，
$(-a^{2})^{6} = (-1)^6 × (a^{2 × 6}) = a^{12}$，
接着根据同底数幂的乘法运算法则 $x^m × x^n = x^{m+n}$，将两项相乘：
$-a^{15} \cdot a^{12} = -a^{15+12} = -a^{27}$。
$[(2a - b)^{3}]^{3} = (2a - b)^{3 × 3} = (2a - b)^9$。
(2) 首先根据幂的乘方运算法则，分别计算两项的幂：
$(-a^{3})^{5} = (-1)^5 × (a^{3 × 5}) = -a^{15}$，
$(-a^{2})^{6} = (-1)^6 × (a^{2 × 6}) = a^{12}$，
接着根据同底数幂的乘法运算法则 $x^m × x^n = x^{m+n}$，将两项相乘：
$-a^{15} \cdot a^{12} = -a^{15+12} = -a^{27}$。
4. 若$a^{x} = 2$,$b^{x} = 3$,则$(a^{2}b)^{2x} = $
144
.答案
144
解析
根据题意，已知 $a^{x}=2$，$b^{x}=3$，需要求 $(a^{2}b)^{2x}$ 的值。
首先，利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将 $(a^{2}b)^{2x}$ 展开：
$(a^{2}b)^{2x} = (a^{2})^{2x} \cdot b^{2x} = a^{4x} \cdot b^{2x}$
然后，利用已知条件 $a^{x}=2$ 和 $b^{x}=3$，将 $a^{4x}$ 和 $b^{2x}$ 分别表示为：
$a^{4x} = (a^{x})^{4} = 2^{4} = 16$
$b^{2x} = (b^{x})^{2} = 3^{2} = 9$
最后，将 $a^{4x}$ 和 $b^{2x}$ 的值代入 $a^{4x} \cdot b^{2x}$，得到：
$a^{4x} \cdot b^{2x} = 16 × 9 = 144$
首先，利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将 $(a^{2}b)^{2x}$ 展开：
$(a^{2}b)^{2x} = (a^{2})^{2x} \cdot b^{2x} = a^{4x} \cdot b^{2x}$
然后，利用已知条件 $a^{x}=2$ 和 $b^{x}=3$，将 $a^{4x}$ 和 $b^{2x}$ 分别表示为：
$a^{4x} = (a^{x})^{4} = 2^{4} = 16$
$b^{2x} = (b^{x})^{2} = 3^{2} = 9$
最后，将 $a^{4x}$ 和 $b^{2x}$ 的值代入 $a^{4x} \cdot b^{2x}$，得到：
$a^{4x} \cdot b^{2x} = 16 × 9 = 144$
5. 若$10^{a} = 5$,$10^{b} = 6$,则$10^{2a + 3b} = $
5400
.答案
5400
解析
因为$10^{a}=5$，$10^{b}=6$，
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$以及同底数幂的乘法运算法则$a^m× a^n = a^{m + n}$，
对$10^{2a+3b}$进行变形可得$10^{2a+3b}=10^{2a}×10^{3b}$，
再根据幂的乘方运算法则进一步变形为$(10^{a})^{2}×(10^{b})^{3}$，
将$10^{a}=5$，$10^{b}=6$代入$(10^{a})^{2}×(10^{b})^{3}$可得：
$5^{2}×6^{3}=25×216 = 5400$。
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$以及同底数幂的乘法运算法则$a^m× a^n = a^{m + n}$，
对$10^{2a+3b}$进行变形可得$10^{2a+3b}=10^{2a}×10^{3b}$，
再根据幂的乘方运算法则进一步变形为$(10^{a})^{2}×(10^{b})^{3}$，
将$10^{a}=5$，$10^{b}=6$代入$(10^{a})^{2}×(10^{b})^{3}$可得：
$5^{2}×6^{3}=25×216 = 5400$。
6. 给出下列四个计算过程：①$(a^{4})^{4} = a^{4 + 4} = a^{8}$；②$[(b^{2})^{2}]^{2} = b^{2×2×2} = b^{8}$；③$[(-x)^{3}]^{2} = x^{6}$；④$(-y^{2})^{3} = y^{6}$.其中正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
①$(a^{4})^{4}$ 应按照幂的乘方规则计算，即 $a^{4 × 4} = a^{16}$，原计算错误；
②$[(b^{2})^{2}]^{2}$ 按照幂的乘方规则，$b^{2 × 2 × 2} = b^{8}$，计算正确；
③$[(-x)^{3}]^{2}$ 根据幂的乘方及负数偶次幂为正，结果为 $x^{6}$，计算正确；
④$(-y^{2})^{3}$ 应按照积的乘方规则计算，结果为 $-y^{6}$，原计算错误。
正确的有②和③，共2个。
②$[(b^{2})^{2}]^{2}$ 按照幂的乘方规则，$b^{2 × 2 × 2} = b^{8}$，计算正确；
③$[(-x)^{3}]^{2}$ 根据幂的乘方及负数偶次幂为正，结果为 $x^{6}$，计算正确；
④$(-y^{2})^{3}$ 应按照积的乘方规则计算，结果为 $-y^{6}$，原计算错误。
正确的有②和③，共2个。
7. 给出下列计算：①$(4x^{3})^{2} = 8x^{6}$；②$(-5a^{5}b^{5})^{2} = -25a^{10}b^{10}$；③$(-\dfrac{2}{3}x)^{3} = -\dfrac{8}{3}x^{3}$；④$(3x^{2}y^{3})^{4} = 81x^{6}y^{7}$.其中错误的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
① 对于 $(4x^{3})^{2}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(4x^{3})^{2} = 4^{2} × (x^{3})^{2} = 16x^{6}$
与给定的 $8x^{6}$ 不符，所以①错误。
② 对于 $(-5a^{5}b^{5})^{2}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(-5a^{5}b^{5})^{2} = (-5)^{2} × (a^{5})^{2} × (b^{5})^{2} = 25a^{10}b^{10}$
与给定的 $-25a^{10}b^{10}$ 不符，所以②错误。
③ 对于 $(-\dfrac{2}{3}x)^{3}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(-\dfrac{2}{3}x)^{3} = (-\dfrac{2}{3})^{3} × x^{3} = -\dfrac{8}{27}x^{3}$
与给定的 $-\dfrac{8}{3}x^{3}$ 不符，所以③错误。
④ 对于 $(3x^{2}y^{3})^{4}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(3x^{2}y^{3})^{4} = 3^{4} × (x^{2})^{4} × (y^{3})^{4} = 81x^{8}y^{12}$
与给定的 $81x^{6}y^{7}$ 不符，所以④错误。
综上，四个计算均为错误的。
$(4x^{3})^{2} = 4^{2} × (x^{3})^{2} = 16x^{6}$
与给定的 $8x^{6}$ 不符，所以①错误。
② 对于 $(-5a^{5}b^{5})^{2}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(-5a^{5}b^{5})^{2} = (-5)^{2} × (a^{5})^{2} × (b^{5})^{2} = 25a^{10}b^{10}$
与给定的 $-25a^{10}b^{10}$ 不符，所以②错误。
③ 对于 $(-\dfrac{2}{3}x)^{3}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(-\dfrac{2}{3}x)^{3} = (-\dfrac{2}{3})^{3} × x^{3} = -\dfrac{8}{27}x^{3}$
与给定的 $-\dfrac{8}{3}x^{3}$ 不符，所以③错误。
④ 对于 $(3x^{2}y^{3})^{4}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(3x^{2}y^{3})^{4} = 3^{4} × (x^{2})^{4} × (y^{3})^{4} = 81x^{8}y^{12}$
与给定的 $81x^{6}y^{7}$ 不符，所以④错误。
综上，四个计算均为错误的。
8. 已知$2^{a} = 4$,$2^{b} = 8$,$2^{c} = 16$,那么下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是(
A.$b + a ＜ c$
B.$2b ＜ a + c$
C.$2b = a + c$
D.$2a ＜ b + c$
CD
)A.$b + a ＜ c$
B.$2b ＜ a + c$
C.$2b = a + c$
D.$2a ＜ b + c$
答案
CD
解析
因为$2^a = 4 = 2^2$，所以$a = 2$；因为$2^b = 8 = 2^3$，所以$b = 3$；因为$2^c = 16 = 2^4$，所以$c = 4$。
计算各选项：
A. $b + a = 3 + 2 = 5$，$c = 4$，$5 ＞ 4$，所以$b + a ＞ c$，A错误。
B. $2b = 2×3 = 6$，$a + c = 2 + 4 = 6$，$6 = 6$，所以$2b = a + c$，B错误。
C. 由B可知$2b = a + c$，C正确。
D. $2a = 2×2 = 4$，$b + c = 3 + 4 = 7$，$4 ＜ 7$，所以$2a ＜ b + c$，D正确。
计算各选项：
A. $b + a = 3 + 2 = 5$，$c = 4$，$5 ＞ 4$，所以$b + a ＞ c$，A错误。
B. $2b = 2×3 = 6$，$a + c = 2 + 4 = 6$，$6 = 6$，所以$2b = a + c$，B错误。
C. 由B可知$2b = a + c$，C正确。
D. $2a = 2×2 = 4$，$b + c = 3 + 4 = 7$，$4 ＜ 7$，所以$2a ＜ b + c$，D正确。
9. 如果$(a^{m}b^{n})^{3} = a^{9}b^{12}$,那么 m,n 的值等于(
A.$m = 9$,$n = 4$
B.$m = 3$,$n = 4$
C.$m = 4$,$n = 3$
D.$m = 9$,$n = 6$
B
)A.$m = 9$,$n = 4$
B.$m = 3$,$n = 4$
C.$m = 4$,$n = 3$
D.$m = 9$,$n = 6$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，有$(a^{m}b^{n})^{3} = (a^{m})^{3} \cdot (b^{n})^{3} = a^{3m}b^{3n}$。
由题目条件$a^{3m}b^{3n} = a^{9}b^{12}$，可得方程组：
$3m = 9$，$3n = 12$。
解得$m = 3$，$n = 4$。
由题目条件$a^{3m}b^{3n} = a^{9}b^{12}$，可得方程组：
$3m = 9$，$3n = 12$。
解得$m = 3$，$n = 4$。
