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10. 现有下列命题：①若$5^{x} = 25$,则$5^{2x} = 50$；②若$a ＞ b$,则$\dfrac{a}{c^{2} + 1} ＞ \dfrac{b}{c^{2} + 1}$；③若$x^{2} = y^{2}$,则$x = y$.其中真命题有(
A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个
C
)A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个
答案
C
解析
① 若 $5^x = 25$，则 $x = 2$，因为 $25 = 5^2$。
接下来 $5^{2x} = 5^{2 × 2} = 5^4 = 625$，但题目中给出 $5^{2x} = 50$，显然不成立。
因此命题①是假命题。
② 若 $a ＞ b$，则由于 $c^2 + 1 ＞ 0$（因为平方数总是非负的，且 $c^2 + 1$ 至少为 1），
不等式两边同时除以 $c^2 + 1$ 后，不等号方向不变。
即 $\frac{a}{c^2 + 1} ＞ \frac{b}{c^2 + 1}$。
因此命题②是真命题。
③ 若 $x^2 = y^2$，则 $x = \pm y$ 或 $x = \pm （与 y 相反的数）$，即 $x = y$ 或 $x = -y$。
题目中只给出了 $x = y$ 这一种情况，忽略了 $x = -y$ 的情况。
因此命题③是假命题。
综上所述，只有命题②是真命题。
接下来 $5^{2x} = 5^{2 × 2} = 5^4 = 625$，但题目中给出 $5^{2x} = 50$，显然不成立。
因此命题①是假命题。
② 若 $a ＞ b$，则由于 $c^2 + 1 ＞ 0$（因为平方数总是非负的，且 $c^2 + 1$ 至少为 1），
不等式两边同时除以 $c^2 + 1$ 后，不等号方向不变。
即 $\frac{a}{c^2 + 1} ＞ \frac{b}{c^2 + 1}$。
因此命题②是真命题。
③ 若 $x^2 = y^2$，则 $x = \pm y$ 或 $x = \pm （与 y 相反的数）$，即 $x = y$ 或 $x = -y$。
题目中只给出了 $x = y$ 这一种情况，忽略了 $x = -y$ 的情况。
因此命题③是假命题。
综上所述，只有命题②是真命题。
11. 计算：
(1)$(-2a^{2}b)^{2}\cdot (-2a^{2}b^{2})^{3}$；
(2)$(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$；
(3)$(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$.
(1)$(-2a^{2}b)^{2}\cdot (-2a^{2}b^{2})^{3}$；
(2)$(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$；
(3)$(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$.
答案
(1) $(-2a^{2}b)^{2}\cdot (-2a^{2}b^{2})^{3}$
$=(-2)^2(a^2)^2b^2\cdot(-2)^3(a^2)^3(b^2)^3$
$=4a^4b^2\cdot(-8a^6b^6)$
$=4×(-8)a^{4+6}b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) $(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$
$=(-2)^3(x^2)^3y^3+8x^4\cdot x^2\cdot(-y^3)$
$=-8x^6y^3+8x^6(-y^3)$
$=-8x^6y^3-8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) $(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$
$=9a^6\cdot a^3+16a^2\cdot a^7-125a^9$
$=9a^9+16a^9-125a^9$
$=-100a^9$
$=(-2)^2(a^2)^2b^2\cdot(-2)^3(a^2)^3(b^2)^3$
$=4a^4b^2\cdot(-8a^6b^6)$
$=4×(-8)a^{4+6}b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) $(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$
$=(-2)^3(x^2)^3y^3+8x^4\cdot x^2\cdot(-y^3)$
$=-8x^6y^3+8x^6(-y^3)$
$=-8x^6y^3-8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) $(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$
$=9a^6\cdot a^3+16a^2\cdot a^7-125a^9$
$=9a^9+16a^9-125a^9$
$=-100a^9$
12. 计算：
$0.125^{9}×(-8)^{10} + (\dfrac{3}{4})^{11}×(1\dfrac{1}{3})^{12}$.
$0.125^{9}×(-8)^{10} + (\dfrac{3}{4})^{11}×(1\dfrac{1}{3})^{12}$.
答案
解题步骤：
1. 计算第一部分：$0.125^{9}×(-8)^{10}$
$0.125 = \frac{1}{8}$，$(-8)^{10} = 8^{10}$，则：
原式$= \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^{10} = \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^9 × 8 = \left(\frac{1}{8}×8\right)^9 × 8 = 1^9 × 8 = 8$。
2. 计算第二部分：$\left(\frac{3}{4}\right)^{11}×\left(1\frac{1}{3}\right)^{12}$
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，则：
原式$= \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}×\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = 1^{11} × \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$。
3. 两部分相加
$8 + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}$。
最终结论：$\boxed{\frac{28}{3}}$
1. 计算第一部分：$0.125^{9}×(-8)^{10}$
$0.125 = \frac{1}{8}$，$(-8)^{10} = 8^{10}$，则：
原式$= \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^{10} = \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^9 × 8 = \left(\frac{1}{8}×8\right)^9 × 8 = 1^9 × 8 = 8$。
2. 计算第二部分：$\left(\frac{3}{4}\right)^{11}×\left(1\frac{1}{3}\right)^{12}$
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，则：
原式$= \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}×\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = 1^{11} × \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$。
3. 两部分相加
$8 + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}$。
最终结论：$\boxed{\frac{28}{3}}$
13. 已知$[(\dfrac{1}{2})^{x + 2y}]^{2} = \dfrac{1}{1024}$,$(\dfrac{1}{2})^{2x} = \dfrac{1}{16}$,求$(\dfrac{1}{2})^{4y}$的值.
答案
$\frac{1}{64}$
解析
因为$(\frac{1}{2})^{2x} = \frac{1}{16}$，且$\frac{1}{16}=(\frac{1}{2})^4$，所以$2x = 4$，解得$x = 2$。
因为$[(\frac{1}{2})^{x + 2y}]^2 = \frac{1}{1024}$，由幂的乘方得$(\frac{1}{2})^{2(x + 2y)} = (\frac{1}{2})^{2x + 4y}$，又$\frac{1}{1024}=(\frac{1}{2})^{10}$，所以$2x + 4y = 10$。
将$x = 2$代入$2x + 4y = 10$，得$2×2 + 4y = 10$，即$4 + 4y = 10$，解得$4y = 6$。
所以$(\frac{1}{2})^{4y}=(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}$。
因为$[(\frac{1}{2})^{x + 2y}]^2 = \frac{1}{1024}$，由幂的乘方得$(\frac{1}{2})^{2(x + 2y)} = (\frac{1}{2})^{2x + 4y}$，又$\frac{1}{1024}=(\frac{1}{2})^{10}$，所以$2x + 4y = 10$。
将$x = 2$代入$2x + 4y = 10$，得$2×2 + 4y = 10$，即$4 + 4y = 10$，解得$4y = 6$。
所以$(\frac{1}{2})^{4y}=(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}$。
14. 化简,再求值：$a^{3}(-b^{3})^{2} + (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3}$,其中$a = \dfrac{1}{4}$,$b = 4$.
答案
首先，我们根据幂的乘方与积的乘方运算法则来化简原式：
$a^{3}(-b^{3})^{2} + (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3}$
$= a^{3}b^{6} - \dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$ （根据幂的乘方运算法则，$(-b^{3})^{2} = b^{6}$，根据积的乘方运算法则，$(-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$）
$= \dfrac{7}{8}a^{3}b^{6}$ （合并同类项）
然后，我们将$a = \dfrac{1}{4}$，$b = 4$代入化简后的式子：
$\dfrac{7}{8}a^{3}b^{6} = \dfrac{7}{8} × (\dfrac{1}{4})^{3} × 4^{6}$
$= \dfrac{7}{8} × \dfrac{1}{64} × 4096$
$= 56$
故答案为：56。
$a^{3}(-b^{3})^{2} + (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3}$
$= a^{3}b^{6} - \dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$ （根据幂的乘方运算法则，$(-b^{3})^{2} = b^{6}$，根据积的乘方运算法则，$(-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$）
$= \dfrac{7}{8}a^{3}b^{6}$ （合并同类项）
然后，我们将$a = \dfrac{1}{4}$，$b = 4$代入化简后的式子：
$\dfrac{7}{8}a^{3}b^{6} = \dfrac{7}{8} × (\dfrac{1}{4})^{3} × 4^{6}$
$= \dfrac{7}{8} × \dfrac{1}{64} × 4096$
$= 56$
故答案为：56。
15. 若$(x + y)^{m}\cdot (y + x)^{n} = (x + y)^{5}$,且$(x - y)^{m + 5}\cdot (x - y)^{5 - n} = (x - y)^{9}$,求$m^{n}\cdot n^{n}$的值.
答案
216
解析
因为$(x + y)^{m} \cdot (y + x)^{n}=(x + y)^{m} \cdot (x + y)^{n}=(x + y)^{m + n}=(x + y)^{5}$，所以$m + n = 5$。
因为$(x - y)^{m + 5} \cdot (x - y)^{5 - n}=(x - y)^{(m + 5)+(5 - n)}=(x - y)^{m - n + 10}=(x - y)^{9}$，所以$m - n + 10 = 9$，即$m - n=-1$。
联立方程组$\begin{cases}m + n = 5\\m - n=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2\\n = 3\end{cases}$。
则$m^{n} \cdot n^{n}=2^{3} × 3^{3}=8 × 27=216$。
因为$(x - y)^{m + 5} \cdot (x - y)^{5 - n}=(x - y)^{(m + 5)+(5 - n)}=(x - y)^{m - n + 10}=(x - y)^{9}$，所以$m - n + 10 = 9$，即$m - n=-1$。
联立方程组$\begin{cases}m + n = 5\\m - n=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2\\n = 3\end{cases}$。
则$m^{n} \cdot n^{n}=2^{3} × 3^{3}=8 × 27=216$。
16. 若$3^{2n - 1} + 9^{n} = 108$,求$(2n - 2)^{n}$的值.
答案
由题意，将 $9^{n}$ 转化为 $3$ 的幂次形式，即 $9^{n} = (3^{2})^{n} = 3^{2n}$。
代入原方程 $3^{2n - 1} + 9^{n} = 108$，得：
$3^{2n - 1} + 3^{2n} = 108$
提取公因子 $3^{2n - 1}$，得：
$3^{2n - 1} × (1 + 3) = 108$
$3^{2n - 1} × 4 = 108$
$3^{2n - 1} = 27$
$3^{2n - 1} = 3^{3}$
由于底数相同，比较指数得：
$2n - 1 = 3$
$2n = 4$
$n = 2$
将 $n = 2$ 代入 $(2n - 2)^{n}$，得：
$(2 × 2 - 2)^{2} = 2^{2} = 4$
故 $(2n - 2)^{n} = 4$。
代入原方程 $3^{2n - 1} + 9^{n} = 108$，得：
$3^{2n - 1} + 3^{2n} = 108$
提取公因子 $3^{2n - 1}$，得：
$3^{2n - 1} × (1 + 3) = 108$
$3^{2n - 1} × 4 = 108$
$3^{2n - 1} = 27$
$3^{2n - 1} = 3^{3}$
由于底数相同，比较指数得：
$2n - 1 = 3$
$2n = 4$
$n = 2$
将 $n = 2$ 代入 $(2n - 2)^{n}$，得：
$(2 × 2 - 2)^{2} = 2^{2} = 4$
故 $(2n - 2)^{n} = 4$。
17. 已知,关于 x,y 的方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6,\\x + 2y = -5k\end{cases} $的解为 x,y.
(1)$x = $
(2)若 x,y 互为相反数,求 k 的值；
(3)若$2^{y}×3^{y}×6^{3x} = 36^{m}$,求 m 的值.
(1)$x = $
$k - 4$
,$y = $$-3k + 2$
；(用含 k 的式子表示)(2)若 x,y 互为相反数,求 k 的值；
$-1$
(3)若$2^{y}×3^{y}×6^{3x} = 36^{m}$,求 m 的值.
$-5$
答案
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x - y = 4k - 6 \\x + 2y = -5k\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$x$：
$(x + 2y) - (x - y) = -5k - (4k - 6)$
$3y = -9k + 6$
$y = -3k + 2$
将$y = -3k + 2$代入$x - y = 4k - 6$：
$x - (-3k + 2) = 4k - 6$
$x + 3k - 2 = 4k - 6$
$x = k - 4$
故$x = k - 4$，$y = -3k + 2$。
(2) 因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y = 0$。
由(1)知$x = k - 4$，$y = -3k + 2$，则：
$(k - 4) + (-3k + 2) = 0$
$-2k - 2 = 0$
$-2k = 2$
$k = -1$。
(3) 左边化简：
$2^y × 3^y × 6^{3x} = (2 × 3)^y × 6^{3x} = 6^y × 6^{3x} = 6^{y + 3x}$
右边化简：
$36^m = (6^2)^m = 6^{2m}$
因为$6^{y + 3x} = 6^{2m}$，所以$y + 3x = 2m$。
将$x = k - 4$，$y = -3k + 2$代入：
$y + 3x = (-3k + 2) + 3(k - 4) = -3k + 2 + 3k - 12 = -10$
则$2m = -10$，$m = -5$。
(1)$k - 4$，$-3k + 2$；(2)$-1$；(3)$-5$
$\begin{cases}x - y = 4k - 6 \\x + 2y = -5k\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$x$：
$(x + 2y) - (x - y) = -5k - (4k - 6)$
$3y = -9k + 6$
$y = -3k + 2$
将$y = -3k + 2$代入$x - y = 4k - 6$：
$x - (-3k + 2) = 4k - 6$
$x + 3k - 2 = 4k - 6$
$x = k - 4$
故$x = k - 4$，$y = -3k + 2$。
(2) 因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y = 0$。
由(1)知$x = k - 4$，$y = -3k + 2$，则：
$(k - 4) + (-3k + 2) = 0$
$-2k - 2 = 0$
$-2k = 2$
$k = -1$。
(3) 左边化简：
$2^y × 3^y × 6^{3x} = (2 × 3)^y × 6^{3x} = 6^y × 6^{3x} = 6^{y + 3x}$
右边化简：
$36^m = (6^2)^m = 6^{2m}$
因为$6^{y + 3x} = 6^{2m}$，所以$y + 3x = 2m$。
将$x = k - 4$，$y = -3k + 2$代入：
$y + 3x = (-3k + 2) + 3(k - 4) = -3k + 2 + 3k - 12 = -10$
则$2m = -10$，$m = -5$。
(1)$k - 4$，$-3k + 2$；(2)$-1$；(3)$-5$
