7. 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,P 是 AD 上的一点,PE//AB,交 BC 于点 E,PF//AC,交 BC 于点 F.求证点 D 到 PE,PF 的距离相等.

证明：
∵ PE//AB（已知），
∴ ∠EPD=∠BAD（两直线平行，内错角相等）．
∵ PF//AC（已知），
∴ ∠FPD=∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵ AD是△ABC的角平分线（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线定义）．
∴ ∠EPD=∠FPD（等量代换），即PD平分∠EPF．
∵ 点D在∠EPF的平分线上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

8. 如图,BE = CF,DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC,垂足为 F,且 DB = DC,求证 AD 是∠BAC 的平分线.

因为 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以 $\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中
$\begin{cases} \angle BED = \angle CFD = 90^\circ, \\ BE = CF, \\ BD = CD. \end{cases}$
所以$\triangle BDE \cong \triangle CDF (HL)$。
所以$DE = DF$。
由角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上，
即$AD$是$\angle BAC$的平分线。

9. 如图,已知△ABC 的面积为$ 8 cm^2,BP $为∠ABC 的平分线,AP⊥BP,则△PBC 的面积为()
$A. 3.5 cm^2$
$B. 3.9 cm^2$
$C. 4 cm^2$
$D. 4.2 cm^2$

C

延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中，∠ABP=∠DBP，BP=BP，∠APB=∠DPB，
∴△ABP≌△DBP（ASA），∴AP=DP，即P为AD中点。
∵P为AD中点，∴S△APC=S△DPC（等底同高）。
∵△ABP≌△DBP，∴S△ABP=S△DBP。
设S△DBP=x，S△DPC=y，则S△ABP=x，S△APC=y。
△ABC面积=S△ABP+S△BPC=x+(x+y)=2x+y。
又△ABC面积=S△ABD+S△ACD=2x+2y（∵S△ABD=2x，S△ACD=2y）。
∴2x+y=2x+2y→y=0？不对，重新理：
△ABC面积=S△ABP+S△BPC=x+(x+y)=2x+y。
而△ABD面积=2x，△ACD面积=2y，△ABC=△ABD+△ACD=2x+2y=8。
又2x+y=8？不，S△BPC=x+y，△ABC=S△ABP+S△BPC=x+(x+y)=2x+y=8。
同时2x+2y=8（△ABD+△ACD），联立得y=0，矛盾。正确应为：
∵P为AD中点，∴S△BPC=S△DBP+S△DPC=x+y。
△ABC=S△ABP+S△APC+S△BPC？不，点D在BC上，∴BC=BD+DC，
S△ABD=2x，S△ACD=2y，∴△ABC=2x+2y=8→x+y=4，即S△BPC=x+y=4。

10. 如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC,∠ACB = 70°,∠ABC = 48°,且∠BAD + ∠CAD = 180°,则∠BDC 的度数为.

31

∵BD平分∠ABC，∠ABC=48°，∴∠ABD=∠CBD=24°．
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-48°-70°=62°．
∵∠BAD+∠CAD=180°，延长BA至E，得∠BAD+∠EAD=180°，∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠EAC．
过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为M、N、P，由角平分线性质得DM=DN（BD平分∠ABC），DM=DP（AD平分∠EAC），∴DM=DN=DP，故D到AC、BC距离相等，即CD平分∠ACB的外角．
∠ACB=70°，其外角为110°，CD平分外角得∠DCA=55°，∴∠BCD=∠ACB+∠DCA=70°+55°=125°．
在△BDC中，∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-24°-125°=31°．