10. 已知$x - y = 7$,$xy = 5$,则$(x + 1)(y - 1)$的值为()
A.$1$
B.$3$
C.$-1$
D.$-3$

D

首先，根据分配律展开$(x + 1)(y - 1)$：
$(x + 1)(y - 1) = xy - x + y - 1$
接着，将$x - y = 7$和$xy = 5$代入上式，为了求$- x + y$，可以将其改写为$-(x - y)$，这样可以直接利用已知的$x - y = 7$：
$(x + 1)(y - 1) = 5 - (x - y) - 1= 5 - 7 - 1 = -3$。

11. 已知关于$x的多项式ax + b与3x^{2}+x + 2的乘积展开式中不含x$的二次项,且一次项系数为$5$,则$a^{b}$的值为()
A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$

B

$(ax + b)(3x^2 + x + 2)$
$=ax \cdot 3x^2 + ax \cdot x + ax \cdot 2 + b \cdot 3x^2 + b \cdot x + b \cdot 2$
$=3ax^3 + ax^2 + 2ax + 3bx^2 + bx + 2b$
$=3ax^3 + (a + 3b)x^2 + (2a + b)x + 2b$
因为展开式中不含$x$的二次项，所以$a + 3b = 0$；一次项系数为$5$，所以$2a + b = 5$。
联立方程组$\begin{cases}a + 3b = 0 \\ 2a + b = 5\end{cases}$，由$a + 3b = 0$得$a = -3b$，代入$2a + b = 5$：
$2(-3b) + b = 5$
$-6b + b = 5$
$-5b = 5$
$b = -1$
则$a = -3b = -3×(-1) = 3$
所以$a^b = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

12. 计算：
(1)$(x^{3}-2)(x^{3}+3)-(x^{2})^{3}+x^{2}\cdot x$； (2)$5x(x^{2}+2x + 1)-(2x + 3)(x - 5)$。

(1)
首先展开$(x^{3}-2)(x^{3}+3)$：
$(x^{3}-2)(x^{3}+3) = x^{6} + 3x^{3} - 2x^{3} - 6 = x^{6} + x^{3} - 6$
接着计算$(x^{2})^{3}$和$x^{2} \cdot x$：
$(x^{2})^{3} = x^{6}, \quad x^{2} \cdot x = x^{3}$
将上述结果代入原式：
$x^{6} + x^{3} - 6 - x^{6} + x^{3} = 2x^{3} - 6$
(2)
首先展开$5x(x^{2}+2x+1)$：
$5x(x^{2}+2x+1) = 5x^{3} + 10x^{2} + 5x$
接着展开$(2x+3)(x-5)$：
$(2x+3)(x-5) = 2x^{2} - 10x + 3x - 15 = 2x^{2} - 7x - 15$
将上述结果代入原式：
$5x^{3} + 10x^{2} + 5x - (2x^{2} - 7x - 15) = 5x^{3} + 8x^{2} + 12x + 15$

13. 已知长方形的周长为$12$cm,面积为$7$cm^2,若长方形的长与宽都增加$2$cm,求增加以后的长方形的面积。

设长方形的长为$x$cm，宽为$y$cm。
由题意得：
$\begin{cases}2(x + y) = 12 \\xy = 7\end{cases}$
由$2(x + y) = 12$，得$x + y = 6$。
长与宽都增加$2$cm后，新长方形的长为$(x + 2)$cm，宽为$(y + 2)$cm，面积为$(x + 2)(y + 2)$。
$\begin{aligned}(x + 2)(y + 2)&=xy + 2x + 2y + 4\\&=xy + 2(x + y) + 4\end{aligned}$
将$x + y = 6$，$xy = 7$代入上式：
$7 + 2×6 + 4 = 7 + 12 + 4 = 23$
答：增加以后的长方形的面积为$23$cm²。

14. 对于任意实数$a$,$b$,$c$,$d$,我们将式子$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $称为二阶行列式,并且规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。若$x^{2}-3x - 2 = 0$,求$\begin{vmatrix}x + 1&3x\\x - 2&x - 1\end{vmatrix} $的值。

$-5$

解：
1. 根据二阶行列式定义计算：
$\begin{vmatrix}x + 1&3x\\x - 2&x - 1\end{vmatrix} = (x+1)(x-1) - 3x(x-2)$
2. 展开并化简：
$(x^2 - 1) - (3x^2 - 6x) = x^2 - 1 - 3x^2 + 6x = -2x^2 + 6x - 1$
3. 由已知$x^2 - 3x - 2 = 0$，得$x^2 - 3x = 2$，两边同乘$-2$：
$-2x^2 + 6x = -4$
4. 代入化简后的行列式：
$-2x^2 + 6x - 1 = -4 - 1 = -5$