1. 处理分段计费问题的方式：一般是确定自变量在不同的取值范围时对应的函数表达式。
2. 若对于自变量在不同的取值范围时有不同的函数表达式,通常我们称这样的函数为。

分段函数

1. 按如图所示的程序进行计算,若输入$x的值是3$,则输出$y的值是1$。若输出$y的值是3$,则输入$x$的值是()。

A.$7$
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$7或-\dfrac{1}{3}$
D.$-7或\dfrac{1}{3}$

A

解：当输入$x = 3$时，$x\geq - 1$，则$y=\dfrac{3 - b}{2}=1$，解得$b = 1$。
当输出$y = 3$时：
情况1：$x\geq - 1$，$\dfrac{x - 1}{2}=3$，解得$x = 7$；
情况2：$x ＜ - 1$，$- 3x+2×1=3$，解得$x=-\dfrac{1}{3}$，但$-\dfrac{1}{3}\geq - 1$，不符合$x ＜ - 1$，舍去。
综上，输入$x$的值是$7$。
A

2. 在某托运公司托运物品时,不超过$1\mathrm{kg}的物品需付款2$元,以后每增加$1\mathrm{kg}$(不足$1\mathrm{kg}按1\mathrm{kg}$计)需增加托运费$0.5$元,则托运$x\mathrm{kg}$($x\geqslant1$且为整数)物品的费用为元。

0.5x+1.5

当$x\geq1$且为整数时，费用由两部分组成：不超过$1\mathrm{kg}$的基础费用$2$元，以及超过$1\mathrm{kg}$部分的费用。超过$1\mathrm{kg}$的重量为$(x - 1)\mathrm{kg}$，每千克需$0.5$元，所以超过部分费用为$0.5(x - 1)$元。总费用为$2+0.5(x - 1)=0.5x + 1.5$元。
$0.5x + 1.5$

3. 已知函数$y= \begin{cases}x^{2},0\leqslant x＜1,\\2x - 2,x\geqslant1,\end{cases} 若y = 2$,则$x= $。

2

当$0\leqslant x ＜ 1$时，$y=x^{2}$，令$x^{2}=2$，解得$x=\pm\sqrt{2}$，均不满足$0\leqslant x ＜ 1$，舍去；
当$x\geqslant1$时，$y=2x - 2$，令$2x - 2=2$，解得$x=2$，满足$x\geqslant1$。
$x=2$

4. 某学校八年级$4名老师带领m$名学生参加实践活动。已知该活动基地每张门票的票价为$30$元。现有$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$两种购票方案可供选择。
方案$\mathrm{A}$：教师全价,学生半价；
方案$\mathrm{B}$：不分教师与学生,全部按原票价的六折收费。
(1)请分别计算两种方案的总费用(用含$m$的代数式表示)。
(2)当学生数是多少时,两种方案的价格一样？
(3)当$m = 20$时,请通过计算来说明$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$两种购票方案哪种更优惠。

解:
(1)方案A:30×4+15m=(15m+120)(元);
方案B:0.6×30(m+4)=(18m+72)(元)。
(2)由题意得15m+120=18m+72，
解得m=16，
所以当学生数是16时,两种方案的价格一样。
(3)当m=20时,方案A需要付款:15×20+120=420(元);
方案B需要付款:18×20+72=432(元)。
因为432＞420，
所以方案A更优惠。

5. 某市为鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户的水费,月用水量不超过$40\mathrm{m}^{3}$时,按$2元/\mathrm{m}^{3}$计费；月用水量超过$40\mathrm{m}^{3}$时,其中的$40\mathrm{m}^{3}仍按2元/\mathrm{m}^{3}$收费,超过$40\mathrm{m}^{3}的部分按3.5元/\mathrm{m}^{3}$计费。设每户月用水量为$x\mathrm{m}^{3}$。
(1)当$x\leqslant40$时,应收水费为(用含$x$的代数式表示)；当$x＞40$时,应收水费为(用含$x$的代数式表示)。
(2)小明家$4月用水26\mathrm{m}^{3}$,$5月用水52\mathrm{m}^{3}$,请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费。

(3)小明家$6月交水费150$元,请帮小明计算一下他家这个月用水量为多少立方米。

解:
(1)2x元 (3.5x-60)元
(2)由题意可得,小明家4月的水费为26×2=52(元),5月的水费为3.5×52-60=122(元)。
因为52+122=174(元)，
所以小明家这两个月一共应交174元水费。
(3)设小明家这个月用水量为a m³。
因为40×2=80＜150，
所以3.5a-60=150，
解得a=60，
所以小明家这个月用水量为60 m³。