1. 负整数指数幂
一般地，当 $ n $ 是正整数时，$ a^{-n} =\_\_\_\_\_$ $(a \neq 0)$，即 $ a^{-n}(a \neq 0) $ 是 $ a^{n} $ 的。

$\frac{1}{a^{n}}$；倒数

根据负整数指数幂的定义，当n是正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$（$a\neq0$），所以$a^{-n}$（$a\neq0$）是$a^{n}$的倒数。

3. 整数指数幂的运算
(1) 同底数幂的乘法：
$ a^{m} · a^{n} =\_\_\_\_\_$ $(m, n$ 是整数$)$；
(2) 幂的乘方：
$ (a^{m})^{n} =\_\_\_\_\_$ $(m, n$ 是整数$)$；
(3) 积的乘方：
$ (ab)^{n}\_\_\_\_\_= $ $(n$ 是整数$)$；
(4) 同底数幂的除法：
$ a^{m} ÷ a^{n} =\_\_\_\_\_$ $(a \neq 0, m, n$ 是整数$)$；
(5) 商的乘方：
$ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} =\_\_\_\_\_$ $(b \neq 0, n$ 是整数$)$。

(1) $a^{m+n}$；(2) $a^{mn}$；(3) $a^{n}b^{n}$；(4) $a^{m-n}$；(5) $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

(1) 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以 $a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$；
(2) 根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$；
(3) 根据积的乘方法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以 $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$；
(4) 根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以 $a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$（$a \neq 0$）；
(5) 根据商的乘方法则，商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，所以 $\left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}$（$b \neq 0$）。

【例1】下列运算中，正确的是()。

A.$ -4^{0} = 1 $
B.$ (-2)^{-1} = \dfrac{1}{2} $
C.$ 2^{-1} + \dfrac{1}{2} = 1 $
D.$ \left( -\dfrac{1}{a} \right)^{-2} = \dfrac{1}{a^{2}} $

C

A. 对于 $ -4^{0}$，任何非零数的0次幂都是1，但注意这里的负号并不在幂运算内，所以 $ -4^{0} = -1$，与选项A中的 $ -4^{0} = 1$ 不符，故A错误。
B. 对于 $(-2)^{-1}$，负指数表示取倒数，即 $(-2)^{-1} = -\frac{1}{2}$，与选项B中的 $(-2)^{-1} = \frac{1}{2}$ 不符，故B错误。
C. 对于 $2^{-1} + \frac{1}{2}$，首先计算 $2^{-1} = \frac{1}{2}$，然后 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，与选项C中的 $2^{-1} + \frac{1}{2} = 1$ 相符，故C正确。
D. 对于 $\left( -\frac{1}{a} \right)^{-2}$，负指数表示取倒数后再平方，即 $\left( -\frac{1}{a} \right)^{-2} = \left( -a \right)^{2} = a^{2}$，与选项D中的 $\left( -\frac{1}{a} \right)^{-2} = \frac{1}{a^{2}}$ 不符，故D错误。

【例2】计算 $ \left( \dfrac{1}{5} \right)^{-1} - (\pi - 3)^{0} + (-2^{3}) - 4 × | -1 | $。

解题步骤：
1. 计算负整数指数幂：$\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-1} = 5$（依据：$a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}$，则$\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-1} = 5^1 = 5$）；
2. 计算零指数幂：$(\pi - 3)^0 = 1$（依据：$a^0 = 1$，其中$a \neq 0$，$\pi - 3 \neq 0$）；
3. 计算乘方：$-2^3 = -8$（注意：先算指数，再取相反数）；
4. 计算绝对值与乘法：$4 × | -1 | = 4 × 1 = 4$；
5. 代入原式计算：$5 - 1 + (-8) - 4 = 5 - 1 - 8 - 4 = -8$。
最终结论：$-8$

【变式1】已知 $ a = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{0} $，$ b = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} $，$ c = (-3)^{-2} $，那么 $ a, b, c $ 的大小关系为()。

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ a ＞ b $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ c ＞ b ＞ a $

C

首先计算 $a$，$b$，$c$ 的具体值。
$a = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{0} = 1$（任何非零数的0次幂等于1）。
$b = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} = 2$（分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂）。
$c = (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^{2}} = \dfrac{1}{9}$（负指数幂等于其倒数的正指数幂）。
比较 $a$，$b$，$c$ 的大小：$b = 2 ＞ a = 1 ＞ c = \dfrac{1}{9}$。

【变式2】计算：
(1) $ | 2023 | - \sqrt[3]{8} + (\pi - 3.14)^{0} - \left( -\dfrac{1}{6} \right)^{-1} $；
(2) $ 3a^{-2}b · 2ab^{-3} ÷ (-3ab^{-1})^{3} $。

(1)
首先，根据绝对值的定义，$|2023| = 2023$；
接着，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{8} = 2$；
然后，根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都是1，所以$(\pi - 3.14)^{0} = 1$；
最后，根据负整数指数幂的性质，$\left( -\dfrac{1}{6} \right)^{-1} = -6$；
将以上结果代入原式，得：
$2023 - 2 + 1 - (-6) = 2023 - 2 + 1 + 6 = 2028$；
(2)
首先，根据同底数幂的乘法法则，$3a^{-2}b · 2ab^{-3} = 6a^{-1}b^{-2}$；
接着，根据积的乘方法则，$(-3ab^{-1})^{3} = -27a^{3}b^{-3}$；
然后，根据同底数幂的除法法则，$6a^{-1}b^{-2} ÷ (-27a^{3}b^{-3}) = -\dfrac{2}{9}a^{-4}b^{1}$；
最后，将负指数幂转化为分式形式，$-\dfrac{2}{9}a^{-4}b = -\dfrac{2b}{9a^{4}}$；
所以，原式的结果为$-\dfrac{2b}{9a^{4}}$；

1. 与 $ (-2)^{-2} $ 互为倒数的是()。

A.$ (-2)^{2} $
B.$ 2^{-2} $
C.$ -2^{-2} $
D.$ -2^{2} $

A

根据题意，需要找到与 $(-2)^{-2}$ 互为倒数的表达式，首先计算 $(-2)^{-2}$ 的值。
根据负整数指数幂的定义，$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^{2}} = \frac{1}{4}$。
接下来，需要找到一个表达式，其值等于 $\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$，即与 $\frac{1}{4}$ 互为倒数也就是求$(-2)^{-2}$ 的倒数。
A. $(-2)^{2} = 4$，
B. $2^{-2} = \frac{1}{4}$，
C. $-2^{-2} = -\frac{1}{4}$，
D. $-2^{2} = -4$，
只有A选项$4$与$\frac{1}{4}$互为倒数，即与 $(-2)^{-2}$ 互为倒数。

2. 下列各组数中，运算结果为负数的是()。

A.$ 2^{-3} $
B.$ (-2)^{-3} $
C.$ 3^{-2} $
D.$ (-3)^{2} $

B

根据负整数指数幂的性质：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$）。
选项A：$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，结果为正数。
选项B：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$，结果为负数。
选项C：$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，结果为正数。
选项D：$(-3)^2=9$，结果为正数。