5. 如图，已知在△ABC中，∠BAC = 120°，AB = AC，AD⊥AC交BC于点D，AD = 2，求BC的长度.

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°。
在△ABD中，∠B=30°，∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2。
在Rt△ADC中，∠C=30°，∠DAC=90°，
∴AD=1/2 DC（30°角所对直角边等于斜边一半），
∴DC=2AD=2×2=4。
∵BC=BD+DC，
∴BC=2+4=6。
答案：6

1. 如图是屋架设计的一部分，它的顶角为120°，腰长为10 m，则底边上的高是().

A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.10 m

B

过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，由于$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合，
所以$AD$也是底边$BC$的中线，即$BD = DC$，
因为顶角$\angle BAC=120°$，且$AB = AC = 10\mathrm{m}$，
所以$\angle B=\angle C=\frac{180° - 120°}{2}=30°$，
在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 10\mathrm{m}$，
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，
所以$AD=\frac{1}{2}AB = 5\mathrm{m}$。

2. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为().

A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m

B

设树折断处为点A，根部为点B，顶端为点C。则AB=3m，∠ACB=30°，∠ABC=90°。在Rt△ABC中，∠ACB=30°，所以AC=2AB=6m。树折断前高度为AB+AC=3+6=9m。

3. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，CD⊥AB，AB = 6，求AD的长.

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=30°.
∵AB=6，∠A=30°，
∴BC=1/2AB=3（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=1/2BC=1.5（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）.
∵AB=6，BD=1.5，
∴AD=AB-BD=6-1.5=4.5.
答：AD的长为4.5.

4. 如图，已知∠AOB = 60°，点P在边OA上，OP = 12，点M，N在边OB上，PM = PN，若MN = 2，则OM的长为().

A.3
B.4
C.5
D.6

C

过点$P$作$PD\perp OB$于点$D$，
因为$\angle AOB = 60°$，且$OP = 12$，
在直角三角形$OPD$中，$\angle ODP = 90°$，$\angle POD = 60°$，
所以$\angle OPD= 30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OD = \frac{1}{2}OP = 6$，
因为$PM = PN$，$PD\perp OB$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可知$MD = ND$，
已知$MN = 2$，所以$MD = ND = 1$，
则$OM = OD - MD = 6 - 1 = 5$。

5. 某小区安装了智能人脸识别门禁系统，当门禁关闭时，隔板边缘的端点C与F之间的距离为8 cm(如图)，两隔板的边缘AC，DF均为60 cm，且与机箱的夹角∠BAC，∠EDF均为30°.当门禁开放时可以通过物体的最大宽度为cm.

128

设两机箱顶部边缘点A、D之间的水平距离为d。当门禁关闭时，隔板AC、DF与竖直方向夹角均为30°，AC=DF=60cm。由含30°角的直角三角形性质，AC、DF的水平投影均为60×sin30°=30cm。此时C、F间距8cm，可得d - 30 - 30=8，解得d=68cm。当门禁开放时，隔板向外旋转，水平投影方向相反，最大宽度为d + 30 + 30=68 + 60=128cm。