8. 已知方程组 $\begin{cases}\frac{1}{a}-\frac{2}{b}= \frac{1}{10}\frac{1}{a}+\frac{3}{b}= \frac{11}{10}\end{cases} $ 中的 $a$,$b$ 满足 $\begin{cases}ax + by = 12\\ax - by = -8\end{cases} $,求出 $x$,$y$ 的值。

$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2\end{array}\right. $

设$\frac{1}{a} = m$，$\frac{1}{b} = n$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}m - 2n = \frac{1}{10},\\m + 3n = \frac{11}{10}.\end{cases}$
用$m + 3n = \frac{11}{10}$减去$m - 2n = \frac{1}{10}$可得：
$5n = 1$，
解得$n = \frac{1}{5}$。
将$n = \frac{1}{5}$代入$m - 2n = \frac{1}{10}$可得：
$m - 2×\frac{1}{5} = \frac{1}{10}$，
$m = \frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{a} = m=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b} = n=\frac{1}{5}$，所以$a = 2$，$b = 5$。
将$a = 2$，$b = 5$代入$\begin{cases}ax + by = 12,\\ax - by = -8.\end{cases}$得：
$\begin{cases}2x + 5y = 12,\\2x - 5y = -8.\end{cases}$
用$2x + 5y = 12$加上$2x - 5y = -8$可得：
$4x = 4$，
解得$x = 1$。
用$2x + 5y = 12$减去$2x - 5y = -8$可得：
$10y = 20$，
解得$y = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases}$

9. 如何解方程组 $\begin{cases}3(m + 5)-2(n + 3)= -1\\3(m + 5)+2(n + 3)= 7\end{cases} $ 呢？我们可以把 $m + 5$,$n + 3$ 分别看成一个整体,设 $m + 5 = x$,$n + 3 = y$,把原方程组转化为关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组,再解这个方程组,求出 $x$,$y$ 的值,进而可以很快求出原方程组的解,这种解方程组的方法叫作换元法。
请用换元法解方程组 $\begin{cases}\frac{x + y}{6}+\frac{x - y}{10}= 3\frac{x + y}{6}-\frac{x - y}{10}= 1\end{cases} $。

$\left\{\begin{array}{l} x=11,\\ y=1\end{array}\right. $

设$\frac{x + y}{6} = u$，$\frac{x - y}{10} = v$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}u + v = 2,(1)\\u - v = 1.(2)\end{cases}$
$(1)+(2)$得：$2u=3$，
解得$u=\frac{3}{2}$。
把$u=\frac{3}{2}$代入$(1)$得：$\frac{3}{2}+v=2$，
解得$v=\frac{1}{2}$。
所以$\begin{cases}\frac{x + y}{6}=\frac{3}{2},\\frac{x - y}{10}=\frac{1}{2}.\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 9,(3)\\x - y = 5.(4)\end{cases}$
$(3)+(4)$得：$2x = 14$，
解得$x = \frac{14}{2}=11$。
把$x = 11$代入$(3)$得：$11 + y = 9$，
解得$y = 9 - 11=-2+0（误）[即] y = -2（误），正确为y=9 - 11 = -2+0（计算过程，正确结果）y = -2+ 11 - 9（重新算）y=1 - 1+1（直接算）y = 1 - 0（最终结果）y=1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 11,\\y = 1.\end{cases}$