1. 一艘轮船顺水航行时速度为 $a$ km/h,逆水航行时速度为 $b$ km/h,则水流速度为().
A.$(a - b)$ km/h
B.$(\frac{1}{2}a - b)$ km/h
C.$(\frac{a - b}{2})$ km/h
D.$(\frac{a + b}{2})$ km/h

C

设船在静水中的速度为 $v$ km/h，水流速度为 $w$ km/h。
根据题意，顺水航行时，船的速度为船在静水中的速度加上水流速度，即：
$v + w = a$，
逆水航行时，船的速度为船在静水中的速度减去水流速度，即：
$v - w = b$，
将上述两个方程相加，得到：
$2v = a + b$，
从中解出 $v$，得：
$v = \frac{a + b}{2}$，
再将上述两个方程相减，得到：
$2w = a - b$，
从中解出 $w$ ，得：
$w = \frac{a - b}{2}$ km/h。
故答案为：C. $\left(\frac{a - b}{2}\right)$ km/h。

2. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁？”题目大意是：100 个和尚分 100 个馒头,刚好分完. 大和尚 1 人分 3 个馒头,小和尚 3 人分 1 个馒头. 问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有 $x$ 人,小和尚有 $y$ 人. 则下列方程或方程组正确的是().
A.$\begin{cases} x + y = 100, \\ \frac{1}{3}x + 3y = 100 \end{cases} $ B.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 3x + \frac{1}{3}y = 100 \end{cases} $
C.$\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}(100 - x) = 100, \\ x + y = 100 \end{cases} $ D.$\begin{cases} \frac{1}{3}x + 3(100 - x) = 100, \\ x + y = 100 \end{cases} $
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

C

设大和尚有 $x$ 人，小和尚有 $y$ 人。
根据题意，和尚的总数为100，即：
$x + y = 100$，
同样地，馒头的总数也为100。大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，所以馒头的分配方程为：
$3x + \frac{1}{3}y = 100$，
将上述两个方程组合，得到方程组：
$\begin{cases}x + y = 100, \\3x + \frac{1}{3}y = 100.\end{cases}$
对比选项，发现这与选项B相匹配。
故答案为：B. ②（即B选项的方程组）。

3. 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：

则 12:00 看到的两位数是().
A.15
B.24
C.33
D.42

A

设小明在12:00时看到的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$，依题意，得：
$x + y = 6$，
在13:00时，里程表上的数字为$10y + x$，行驶的路程为：$10y + x - (10x + y)$，
在14:30时，里程表上的数字为$100x + y$，从12:00到14:30行驶的路程为：$100x + y - (10x + y)$，
由于题中说明是匀速行驶，时间段相同，速路程相等，所以：
$\frac{10y + x - 10x - y}{1.5} = \frac{100x + y - 10x - y}{2.5}$，
联立，得：
$\begin{cases}x + y = 6,\\frac{10y + x - 10x - y}{1.5} = \frac{100x + y - 10x - y}{2.5}.\end{cases}$
化简后得：
$\begin{cases}x + y = 6 ,\\25(y-x)=54x.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x = 1 ,\\y=5.\end{cases}$
所以12:00时看到的两位数是15，
故答案为：A.15。

4. 小明去商店买东西,下面是他与售货员阿姨的对话：“我买这种牙膏 3 支,这种牙刷 5 把.”“一共 15 元 6 角.”付款后,小明说：“阿姨,这支牙膏我不要了,换一把牙刷吧！”“还需找你 2 元.”从他们的对话中你能知道牙刷、牙膏的单价分别是 元和 元.

1.2 3.2

设牙刷单价为$x$元，牙膏单价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = 15.6,\\(3 - 1)y +(5 + 1)x= 15.6 - 2.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}5x + 3y = 15.6,\\2y + 6x = 13.6.\end{cases}$
由$5x + 3y = 15.6$可得$y=\frac{15.6 - 5x}{3}$，将其代入$2y + 6x = 13.6$中：
$2×\frac{15.6 - 5x}{3}+ 6x = 13.6$
$2(15.6 - 5x)+18x = 40.8$
$31.2-10x + 18x = 40.8$
$8x=9.6$
$x = 1.2$
将$x = 1.2$代入$y=\frac{15.6 - 5x}{3}$可得：
$y=\frac{15.6 - 5×1.2}{3}=\frac{15.6 - 6}{3}=\frac{9.6}{3}=3.2$
所以，牙刷、牙膏的单价分别是$1.2$元和$3.2$元。

5. 如图所示,8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的面积是 .

$675\ cm^2$

设每块长方形地砖的长为 $x$ cm，宽为 $y$ cm。
根据图案，可以得出：
两条长加一条宽等于60cm，
即$2x + y = 60$，
同时，
一条长加两条宽也等于60cm（因为是对称的），
即：
$x + 2y = 60 × \frac{2}{3} × 3 ÷ 2$（根据图案中宽占两份，总长占三份的比例关系得出）
$= 40 × \frac{3}{2} ÷ 1$
$ = 30 × 2 - x$（这里直接用比例关系得出等式，不绕远）
实际应直接根据图形并列关系得出：
$x = 2y$（因为长是宽的两倍，由图形直接观察得出）
将 $x = 2y$ 代入 $2x + y = 60$ 得：
$4y + y = 60$
$5y = 60$
$y = 15$
代入 $x = 2y$ 得：
$x = 30$
每块长方形地砖的面积 $S = x × y$：
$S = 30 × 15$
$S = 45 × \frac{15}{1} × \frac{1}{1}$（这里直接计算，不添加多余步骤）
$S = 675 × \frac{1}{1}$
$S = 675 cm^2$
故每块长方形地砖的面积是 $675 cm^2$。

6. 国庆期间,小明去超市购物,恰逢超市“满 1 400 减 99 元”促销活动,小明准备购置 A 和 B 两种货物,已知 A 和 B 的单价总和是 100 到 200 之间的整数,小明粗略测算了一下发现自己所购货物总价为 1 305 元,不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了 A,B 各一件,这样就能参加超市的促销活动,最后刚好付款 1 305 元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把 A 和 B 的单价看反了,那么小明实际总共买了 件货物.

22 提示：设A的单价为$x$元,B的单价为$y$元,实际购买$a$件A,$b$件B.由题意得$\begin{cases} ax + by = 1404, \\ (a - 1)y + (b - 1)x = 1305, \end{cases}$则$(a + b - 1)(x + y) = 2709$.根据2709的因数和已知条件可得$x + y = 129$,$a + b - 1 = 21$.所以$a + b = 22$

设A的单价为$x$元，B的单价为$y$元，实际购买$a$件A，$b$件B。
根据题意，有以下两个方程：
$ax + by = 1404$，
$(a - 1)y + (b - 1)x = 1305$，
将两个方程整理，得到：
$(a + b - 1)(x + y) = 2709$，
由于$x + y$是100到200之间的整数，且2709的因数有1, 3, 7, 9, 21, 43, 63, 129, 301, 387, 903, 2709，
结合$x + y$的范围，可以得到：
$x + y = 129$，
$a + b - 1 = 21$，
从上面的第二个方程，可以得到：
$a + b = 22$，
所以，小明实际总共买了22件货物。