20. 如图所示的是由边长为1的小正方形组成的网格,A,B,C,D都在格点上(小正方形的顶点).
(1)求四边形 ABCD 的周长;
(2)求证:$∠BCD= 90^{\circ }$.

(1) 解: ∵ $AB=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}$, $CD=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}$, $AD=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}$, ∴ 四边形 $ABCD$ 的周长为 $AB+BC+CD+AD=3\sqrt{2}+\sqrt{34}+\sqrt{34}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{34}$. (2) 证明: 如答图, 连接 $BD$. ∵ $BD=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=\sqrt{68}$, $BC=\sqrt{34}$, $CD=\sqrt{34}$, ∴ $BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$. ∴ $∠BCD=90^{\circ}$.

21. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,某校举行有关垃圾分类的知识测试活动,现从七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩(满分 10 分,6 分及以上为合格)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
七年级 20 名学生的测试成绩为:
7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6.
八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图所示:

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示:
|年级|平均数|众数|中位数|
|七年级|7.5|b|7|
|八年级|a|8|c|
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)$a= $ ,$b= $ ,$c= $ .
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中,哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好? 请说明理由(写出一条理由即可).
(3)该校七、八年级共 1 000 名学生参加了此次测试活动,估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数.

解: (1) 7.5 7 7.5 (2) 八年级学生掌握垃圾分类知识较好. 理由: 八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高(理由不唯一). (3) $1000×\frac{18+18}{20+20}=900$(名). 答: 该校七、八年级 1000 名学生中测试成绩合格的大约有 900 名.

22. 如图,已知两条直线$l_{1}:y_{1}= x与l_{2}:y_{2}= -2x-2$相交于点 P.
(1)求点 P 的坐标;
(2)观察图象,直接写出当$y_{1}＞y_{2}$时自变量x的取值范围;
(3)点$A(t,0)$为x轴上的一个动点,过点A作x轴的垂线与直线$l_{1}和l_{2}$分别交于点 M,N,当$MN= 4$时,求t的值.

解: (1) 联立, 得 $\left\{\begin{array}{l} y=x, \\ y=-2x-2. \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x=-\frac{2}{3}, \\ y=-\frac{2}{3}. \end{array}\right.$ ∴ 点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$. (2) 当 $y_{1}＞y_{2}$ 时, $x$ 的取值范围为 $x＞-\frac{2}{3}$. (3) 由题意可知, $M(t,t)$, $N(t,-2t-2)$, 则 $MN=|t-(-2t-2)|=4$. 解得 $t=\frac{2}{3}$ 或 $t=-2$.