23. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,D是斜边 AB 的中点,把$△BCD$沿 BC 翻折得到$△BCE$,作$EF⊥AB$于点 F.
(1)求证:四边形 BDCE 是菱形;
(2)若$AC= 12,AB= 20$,求 EF 的长.

(1) 证明: ∵ 在 $Rt△ABC$ 中, $∠ACB=90^{\circ}$, $D$ 是斜边 $AB$ 的中点, ∴ $AD=DB=CD$. ∵ $△BCD$ 沿 $BC$ 翻折得到 $△BCE$, ∴ $CD=CE$, $BD=BE$. ∴ $DB=CD=CE=BE$. ∴ 四边形 $BDCE$ 是菱形. (2) 解: 在 $Rt△ABC$ 中, ∵ $AC=12$, $AB=20$, ∴ $BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$. 如答图, 连接 $DE$. 由 (1) 可知, $AD// CE$, $AD=CE$. ∴ 四边形 $ADEC$ 是平行四边形. ∴ $DE=AC=12$. ∴ 菱形 $DCEB$ 的面积为 $\frac{1}{2}×BC·DE=BD·EF=\frac{1}{2}×16×12=96$. ∵ $BD=\frac{1}{2}AB=10$, ∴ $EF=9.6$.

24. 如图,在菱形 ABCD 中,$AB= 2,∠DAB= 60^{\circ }$,E 是边 AD 的中点. M 是 AB 边上一动点(不与点 A 重合),连接 ME 并延长交CD 的延长线于点 N,连接 MD,AN.
(1)求证:四边形 AMDN 是平行四边形;
(2)当$AM= 1$时,求证:四边形 AMDN 是矩形;
(3)当$AM= $ 时,四边形 AMDN 是菱形.

(1) 证明: ∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形, ∴ $ND// AM$. ∴ $∠NDE=∠MAE$, $∠DNE=∠AME$. 又 ∵ $E$ 是边 $AD$ 的中点, ∴ $DE=AE$. 在 $△NDE$ 和 $△MAE$ 中, $\left\{\begin{array}{l} ∠NDE=∠MAE, \\ ∠DNE=∠AME, \\ DE=AE, \end{array}\right.$ ∴ $△NDE≌△MAE(AAS)$. ∴ $ND=AM$. ∴ 四边形 $AMDN$ 是平行四边形. (2) 证明: ∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形, ∴ $AD=AB=2$. ∴ $AE=\frac{1}{2}AD=1$. 又 ∵ $∠DAB=60^{\circ}$, $AM=1$. ∴ $△EAM$ 是等边三角形. ∴ $EM=1$. ∴ $NM=2$. ∴ $NM=AD=2$. ∴ 平行四边形 $AMDN$ 是矩形. (3) 解: 2

25. 某书店计划同时购进 A,B 两类图书,已知购进 3 本 A 类图书和 4 本 B 类图书共需 288 元;购进 6 本 A 类图书和 2 本 B 类图书共需 306 元.
(1)A,B 两类图书每本的进价各是多少元?
(2)该书店计划用 4 500 元全部购进两类图书,设购进 A 类图书 x 本,B 类图书 y 本.
①求 y 关于 x 的关系式.
②进货时,要求 A 类图书的购进数量不少于 60 本,已知 A 类图书每本的售价为 38 元,B 类图书每本的售价为 50 元.若书店全部售完可获利 W 元,求 W 关于 x 的关系式,并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大,最大利润为多少元?

解: (1) 设 $A$ 类图书每本的进价是 $a$ 元, $B$ 类图书每本的进价是 $b$ 元. 根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l} 3a+4b=288, \\ 6a+2b=306. \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} a=36, \\ b=45. \end{array}\right.$ ∴ $A$ 类图书每本的进价是 36 元, $B$ 类图书每本的进价是 45 元. (2) ① 根据题意, 得 $36x+45y=4500$. ∴ $y=-\frac{4}{5}x+100$. ② 根据题意, 得 $W=(38-36)x+(50-45)y=2x+5y=2x+5×(-\frac{4}{5}x+100)=-2x+500$. ∵ $-2＜0$, ∴ $W$ 随 $x$ 的增大而减小. ∵ $x≥60$, 且 $x$ 为整数, ∴ 当 $x=60$ 时, $W$ 有最大值, 最大值为 $-2×60+500=380$, 此时 $y=-\frac{4}{5}x+100=52$. ∴ 当购进 $A$ 类图书 60 本, $B$ 类图书 52 本时, 该书店所获利润最大, 最大利润为 380 元.