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21. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠A$与$∠B$的度数比为$1:2$，周长是48cm。求：
（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积。
（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积。
答案
【解析】：
（1）
因为菱形$ABCD$的周长是$48cm$，由于菱形的四条边相等，所以边长$AB = 48\div4 = 12cm$。
又因为$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$（菱形邻角互补），且$\angle A:\angle B=1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle B = 2x$，可得$x + 2x=180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，即$\angle DAB = 60^{\circ}$。
所以$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$AB = AD$），则$BD = AB = 12cm$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，设$AC$与$BD$相交于点$O$，则$BO=\frac{1}{2}BD = 6cm$，$AB = 12cm$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}cm$，所以$AC = 2AO = 12\sqrt{3}cm$。
（2）
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$，已知$AC = 12\sqrt{3}cm$，$BD = 12cm$，则$S=\frac{1}{2}\times12\sqrt{3}\times12 = 72\sqrt{3}cm^{2}$。
【答案】：
（1）$AC = 12\sqrt{3}cm$，$BD = 12cm$ （2）$72\sqrt{3}cm^{2}$
（1）
因为菱形$ABCD$的周长是$48cm$，由于菱形的四条边相等，所以边长$AB = 48\div4 = 12cm$。
又因为$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$（菱形邻角互补），且$\angle A:\angle B=1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle B = 2x$，可得$x + 2x=180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，即$\angle DAB = 60^{\circ}$。
所以$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$AB = AD$），则$BD = AB = 12cm$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，设$AC$与$BD$相交于点$O$，则$BO=\frac{1}{2}BD = 6cm$，$AB = 12cm$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}cm$，所以$AC = 2AO = 12\sqrt{3}cm$。
（2）
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$，已知$AC = 12\sqrt{3}cm$，$BD = 12cm$，则$S=\frac{1}{2}\times12\sqrt{3}\times12 = 72\sqrt{3}cm^{2}$。
【答案】：
（1）$AC = 12\sqrt{3}cm$，$BD = 12cm$ （2）$72\sqrt{3}cm^{2}$
22. 如图，在正方形$ABCD$中，$AE\perp BF$，垂足为$P$，$AE$与$CD$交于点$E$，$BF$与$AD$交于点$F$。求证：$AE = BF$。
答案
【解析】：
本题可通过证明$\triangle ADE$和$\triangle BAF$全等，从而得出$AE = BF$。
- **步骤一：分析正方形的性质**
已知四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知：$\angle BAD=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD$。
所以$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$。
- **步骤二：分析$\angle ABF$与$\angle EAD$的关系**
因为$AE\perp BF$，所以$\angle APB = 90^{\circ}$，则$\angle ABF+\angle BAF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle ABF=\angle EAD$。
- **步骤三：证明$\triangle ADE\cong\triangle BAF$**
在$\triangle ADE$和$\triangle BAF$中：
$\begin{cases}\angle D=\angle BAF\\AD = AB\\\angle EAD=\angle ABF\end{cases}$
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle BAF$。
- **步骤四：根据全等三角形的性质得出结论**
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle ADE\cong\triangle BAF$，所以$AE = BF$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD$，所以$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$。
因为$AE\perp BF$，所以$\angle APB = 90^{\circ}$，则$\angle ABF+\angle BAF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle EAD$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BAF$中，$\begin{cases}\angle D=\angle BAF\\AD = AB\\\angle EAD=\angle ABF\end{cases}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle BAF(ASA)$。
因为全等三角形对应边相等，所以$AE = BF$。
本题可通过证明$\triangle ADE$和$\triangle BAF$全等，从而得出$AE = BF$。
- **步骤一：分析正方形的性质**
已知四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知：$\angle BAD=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD$。
所以$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$。
- **步骤二：分析$\angle ABF$与$\angle EAD$的关系**
因为$AE\perp BF$，所以$\angle APB = 90^{\circ}$，则$\angle ABF+\angle BAF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle ABF=\angle EAD$。
- **步骤三：证明$\triangle ADE\cong\triangle BAF$**
在$\triangle ADE$和$\triangle BAF$中：
$\begin{cases}\angle D=\angle BAF\\AD = AB\\\angle EAD=\angle ABF\end{cases}$
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle BAF$。
- **步骤四：根据全等三角形的性质得出结论**
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle ADE\cong\triangle BAF$，所以$AE = BF$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD$，所以$\angle BAF+\angle EAD = 90^{\circ}$。
因为$AE\perp BF$，所以$\angle APB = 90^{\circ}$，则$\angle ABF+\angle BAF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle EAD$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BAF$中，$\begin{cases}\angle D=\angle BAF\\AD = AB\\\angle EAD=\angle ABF\end{cases}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle BAF(ASA)$。
因为全等三角形对应边相等，所以$AE = BF$。
23. 如图，在$\square ABCD$中，$AQ$，$BN$，$CN$，$DQ$分别是$∠DAB$，$∠ABC$，$∠BCD$，$∠CDA$的平分线，$AQ$与$BN$交于$P$，$CN$与$DQ$交于$M$。在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。
答案
【解析】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle DAB + \angle ABC=180^{\circ}$。
又因为$AQ$，$BN$分别是$\angle DAB$，$\angle ABC$的平分线，所以$\angle PAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle PBA = \frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle PAB+\angle PBA=\frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。
【答案】：$\angle APB = 90^{\circ}$
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle DAB + \angle ABC=180^{\circ}$。
又因为$AQ$，$BN$分别是$\angle DAB$，$\angle ABC$的平分线，所以$\angle PAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle PBA = \frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle PAB+\angle PBA=\frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。
【答案】：$\angle APB = 90^{\circ}$
