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3. 为了测量高速公路某桥桥墩AB的高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图10. 在C处测得桥墩顶部A处的仰角为$60^\circ$和桥墩底部B处的俯角为$40^\circ$,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为$30^\circ$,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度(结果保留整数,参考数据:$\sin40^\circ\approx0.64$,$\cos40^\circ\approx0.77$,$\tan40^\circ\approx0.84$,$\sqrt{3}\approx1.73$).
答案
解：设$CE = x$米，
在$Rt\triangle ACE$中，$\angle ACE = 60^{\circ}$，$\tan\angle ACE=\dfrac{AE}{CE}$，则$AE = CE\cdot\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE = 30^{\circ}$，$\tan\angle ADE=\dfrac{AE}{DE}$，$DE = CE + CD=x + 80$，所以$\dfrac{\sqrt{3}x}{x + 80}=\tan30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$3\sqrt{3}x=\sqrt{3}(x + 80)$，
$3x=x + 80$，
$2x = 80$，
解得$x = 40$。
所以$AE=\sqrt{3}x = 40\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle BCE = 40^{\circ}$，$\tan\angle BCE=\dfrac{BE}{CE}$，$BE = CE\cdot\tan40^{\circ}\approx40×0.84 = 33.6$。
所以$AB=AE + BE=40\sqrt{3}+ 33.6\approx40×1.73+33.6=69.2 + 33.6=103$（米）。
综上，桥墩$AB$的高度约为$103$米。
在$Rt\triangle ACE$中，$\angle ACE = 60^{\circ}$，$\tan\angle ACE=\dfrac{AE}{CE}$，则$AE = CE\cdot\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE = 30^{\circ}$，$\tan\angle ADE=\dfrac{AE}{DE}$，$DE = CE + CD=x + 80$，所以$\dfrac{\sqrt{3}x}{x + 80}=\tan30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$3\sqrt{3}x=\sqrt{3}(x + 80)$，
$3x=x + 80$，
$2x = 80$，
解得$x = 40$。
所以$AE=\sqrt{3}x = 40\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle BCE = 40^{\circ}$，$\tan\angle BCE=\dfrac{BE}{CE}$，$BE = CE\cdot\tan40^{\circ}\approx40×0.84 = 33.6$。
所以$AB=AE + BE=40\sqrt{3}+ 33.6\approx40×1.73+33.6=69.2 + 33.6=103$（米）。
综上，桥墩$AB$的高度约为$103$米。
4. 如图11,海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东$60^\circ$方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东$45^\circ$方向上. 如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$).
答案
【解析】：本题考查了解直角三角形的应用，通过构建直角三角形，利用三角函数求解相关线段长度，进而判断渔船是否有触礁危险。
过点$P$作$PD\perp AC$于点$D$，设$PD = x$海里。
在$Rt\triangle PBD$中，$\angle PBD = 45^{\circ}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，且$\tan\angle PBD=\frac{PD}{BD}$，所以$BD = PD = x$海里。
在$Rt\triangle PAD$中，$\angle PAD = 30^{\circ}$，$AD = AB + BD=(12 + x)$海里，又因为$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$\tan\angle PAD=\frac{PD}{AD}$，所以$\frac{x}{12 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}\frac{x}{12 + x}&=\frac{\sqrt{3}}{3}\\3x&=\sqrt{3}(12 + x)\\3x&=12\sqrt{3}+\sqrt{3}x\\3x-\sqrt{3}x&=12\sqrt{3}\\x(3 - \sqrt{3})&=12\sqrt{3}\\x&=\frac{12\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\\x&=\frac{12\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}\\x&=\frac{36\sqrt{3}+36}{9 - 3}\\x&=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}\\x&= 6\sqrt{3}+6\end{aligned}$
已知$\sqrt{3}\approx1.73$，则$x\approx6×1.73 + 6 = 10.38 + 6 = 16.38$（海里）。
因为$16.38\lt18$，即点$P$到航线$AC$的距离小于暗礁区的半径，所以渔船不改变航线继续向东航行有触礁危险。
【答案】：有触礁危险。理由：过点$P$作$PD\perp AC$于点$D$，设$PD = x$海里。在$Rt\triangle PBD$中，$BD = x$海里；在$Rt\triangle PAD$中，$AD =(12 + x)$海里，由$\frac{x}{12 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$x = 6\sqrt{3}+6\approx16.38$海里，$16.38\lt18$，所以有触礁危险。
过点$P$作$PD\perp AC$于点$D$，设$PD = x$海里。
在$Rt\triangle PBD$中，$\angle PBD = 45^{\circ}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，且$\tan\angle PBD=\frac{PD}{BD}$，所以$BD = PD = x$海里。
在$Rt\triangle PAD$中，$\angle PAD = 30^{\circ}$，$AD = AB + BD=(12 + x)$海里，又因为$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$\tan\angle PAD=\frac{PD}{AD}$，所以$\frac{x}{12 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}\frac{x}{12 + x}&=\frac{\sqrt{3}}{3}\\3x&=\sqrt{3}(12 + x)\\3x&=12\sqrt{3}+\sqrt{3}x\\3x-\sqrt{3}x&=12\sqrt{3}\\x(3 - \sqrt{3})&=12\sqrt{3}\\x&=\frac{12\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\\x&=\frac{12\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}\\x&=\frac{36\sqrt{3}+36}{9 - 3}\\x&=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}\\x&= 6\sqrt{3}+6\end{aligned}$
已知$\sqrt{3}\approx1.73$，则$x\approx6×1.73 + 6 = 10.38 + 6 = 16.38$（海里）。
因为$16.38\lt18$，即点$P$到航线$AC$的距离小于暗礁区的半径，所以渔船不改变航线继续向东航行有触礁危险。
【答案】：有触礁危险。理由：过点$P$作$PD\perp AC$于点$D$，设$PD = x$海里。在$Rt\triangle PBD$中，$BD = x$海里；在$Rt\triangle PAD$中，$AD =(12 + x)$海里，由$\frac{x}{12 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$x = 6\sqrt{3}+6\approx16.38$海里，$16.38\lt18$，所以有触礁危险。
