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9. (2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $(其中 $ k_1k_2 \neq 0, k_1, k_2, b_1, b_2 $ 为常数)的图象分别为直线 $ l_1, l_2 $。下列结论正确的是 (
A.$ b_1 + b_2 ＞ 0 $
B.$ b_1b_2 ＞ 0 $
C.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $
A
)A.$ b_1 + b_2 ＞ 0 $
B.$ b_1b_2 ＞ 0 $
C.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $
答案
9. A
解析
解：由图可知，直线$l_1$与$y$轴交于正半轴，所以$b_1 ＞ 0$；直线$l_2$与$y$轴交于负半轴，所以$b_2 ＜ 0$。
直线$l_1$从左到右上升，所以$k_1 ＞ 0$；直线$l_2$从左到右上升，所以$k_2 ＞ 0$。
A选项：$b_1 ＞ 0$，$|b_1| ＞ |b_2|$，则$b_1 + b_2 ＞ 0$，正确。
B选项：$b_1 ＞ 0$，$b_2 ＜ 0$，所以$b_1b_2 ＜ 0$，错误。
C选项：$k_1 ＞ 0$，$k_2 ＞ 0$，所以$k_1 + k_2 ＞ 0$，错误。
D选项：$k_1 ＞ 0$，$k_2 ＞ 0$，所以$k_1k_2 ＞ 0$，错误。
结论：正确的是A。
A
直线$l_1$从左到右上升，所以$k_1 ＞ 0$；直线$l_2$从左到右上升，所以$k_2 ＞ 0$。
A选项：$b_1 ＞ 0$，$|b_1| ＞ |b_2|$，则$b_1 + b_2 ＞ 0$，正确。
B选项：$b_1 ＞ 0$，$b_2 ＜ 0$，所以$b_1b_2 ＜ 0$，错误。
C选项：$k_1 ＞ 0$，$k_2 ＞ 0$，所以$k_1 + k_2 ＞ 0$，错误。
D选项：$k_1 ＞ 0$，$k_2 ＞ 0$，所以$k_1k_2 ＞ 0$，错误。
结论：正确的是A。
A
10. 将直线 $ y = kx - 2 $ 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，正好经过点(2，-4)，则k的值为
-2
。答案
10. $-2$ 解析：直线$y = kx - 2$经过两次平移后为直线$y = k(x - 3) - 2 - 4$，将$(2, -4)$代入$y = k(x - 3) - 2 - 4$，得$-4 = (2 - 3)k - 2 - 4$，解得$k = -2$.
解析
解：直线$y = kx - 2$向右平移3个单位长度得$y = k(x - 3)-2$，再向下平移4个单位长度后得$y = k(x - 3)-2 - 4$。将点$(2, -4)$代入得$-4 = k(2 - 3)-2 - 4$，即$-4=-k - 6$，解得$k=-2$。
11. 已知一次函数 $ y = (2 - 2k)x + k - 3 $，根据下列条件确定k的值或取值范围。
(1)函数图象经过原点；
(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3)函数图象不经过第三象限。
(1)函数图象经过原点；
(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3)函数图象不经过第三象限。
答案
11.
(1) 把$(0, 0)$代入$y = (2 - 2k)x + k - 3$，得$k - 3 = 0$，解得$k = 3$
(2) 根据题意，得$k - 3 ＜ 0$，$2 - 2k \neq 0$，解得$k ＜ 3$且$k \neq 1$
(3) 根据题意，得$2 - 2k ＜ 0$，$k - 3 \geqslant 0$，解得$k \geqslant 3$
(1) 把$(0, 0)$代入$y = (2 - 2k)x + k - 3$，得$k - 3 = 0$，解得$k = 3$
(2) 根据题意，得$k - 3 ＜ 0$，$2 - 2k \neq 0$，解得$k ＜ 3$且$k \neq 1$
(3) 根据题意，得$2 - 2k ＜ 0$，$k - 3 \geqslant 0$，解得$k \geqslant 3$
12. 如图，一次函数 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $ 的图象交x轴于点A，交y轴于点B， $ \angle ABO $ 的平分线交x轴于点C，过点C作直线 $ CD \perp AB $，垂足为D，交y轴于点E。
(1)求直线CE对应的函数表达式；
(2)直线AB与直线 $ y = \frac{3}{4}x - 4 $ 之间的距离为
(1)求直线CE对应的函数表达式；
(2)直线AB与直线 $ y = \frac{3}{4}x - 4 $ 之间的距离为
8
。答案
12.
(1) 在$y = \frac{3}{4}x + 6$中，令$x = 0$，得$y = 6$，$\therefore$点B的坐标是$(0, 6)$，$\therefore OB = 6$. 令$y = 0$，得$x = -8$，$\therefore$点A的坐标是$(-8, 0)$，$\therefore OA = 8$，$\therefore$在$Rt\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10$. 设$OC = t (t ＞ 0)$，则$AC = 8 - t$. $\because BC$平分$\angle ABO$，$\therefore \angle DBC = \angle OBC$. 又$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDB = \angle COB = 90^{\circ}$. $\because BC = BC$，$\therefore \triangle BCD \cong \triangle BCO (AAS)$，$\therefore DC = OC = t$，$DB = OB = 6$，$\therefore AD = AB - DB = 4$，$\therefore$在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AD^{2} + DC^{2} = AC^{2}$，即$4^{2} + t^{2} = (8 - t)^{2}$，解得$t = 3$，$\therefore OC = 3$，即点C的坐标是$(-3, 0)$. 在$\triangle EBD$和$\triangle ABO$中，$\begin{cases} \angle EBD = \angle ABO, \\ BD = BO, \\ \angle EDB = \angle AOB = 90^{\circ}, \end{cases}$ $\therefore \triangle EBD \cong \triangle ABO (ASA)$，$\therefore EB = AB = 10$，$\therefore OE = EB - OB = 4$，$\therefore$点E的坐标是$(0, -4)$. 设直线CE对应的函数表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases} b = -4, \\ -3k + b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -\frac{4}{3}, \\ b = -4. \end{cases}$ $\therefore$直线CE对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x - 4$
(2) 8 解析：$\because$易得直线AB与直线$y = \frac{3}{4}x - 4$互相平行，且直线$y = \frac{3}{4}x - 4$经过点E$(0, -4)$，$\therefore$它们之间的距离即为线段DE的长. 由$\triangle EBD \cong \triangle ABO$，得$DE = OA = 8$.
(1) 在$y = \frac{3}{4}x + 6$中，令$x = 0$，得$y = 6$，$\therefore$点B的坐标是$(0, 6)$，$\therefore OB = 6$. 令$y = 0$，得$x = -8$，$\therefore$点A的坐标是$(-8, 0)$，$\therefore OA = 8$，$\therefore$在$Rt\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10$. 设$OC = t (t ＞ 0)$，则$AC = 8 - t$. $\because BC$平分$\angle ABO$，$\therefore \angle DBC = \angle OBC$. 又$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDB = \angle COB = 90^{\circ}$. $\because BC = BC$，$\therefore \triangle BCD \cong \triangle BCO (AAS)$，$\therefore DC = OC = t$，$DB = OB = 6$，$\therefore AD = AB - DB = 4$，$\therefore$在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AD^{2} + DC^{2} = AC^{2}$，即$4^{2} + t^{2} = (8 - t)^{2}$，解得$t = 3$，$\therefore OC = 3$，即点C的坐标是$(-3, 0)$. 在$\triangle EBD$和$\triangle ABO$中，$\begin{cases} \angle EBD = \angle ABO, \\ BD = BO, \\ \angle EDB = \angle AOB = 90^{\circ}, \end{cases}$ $\therefore \triangle EBD \cong \triangle ABO (ASA)$，$\therefore EB = AB = 10$，$\therefore OE = EB - OB = 4$，$\therefore$点E的坐标是$(0, -4)$. 设直线CE对应的函数表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases} b = -4, \\ -3k + b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -\frac{4}{3}, \\ b = -4. \end{cases}$ $\therefore$直线CE对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x - 4$
(2) 8 解析：$\because$易得直线AB与直线$y = \frac{3}{4}x - 4$互相平行，且直线$y = \frac{3}{4}x - 4$经过点E$(0, -4)$，$\therefore$它们之间的距离即为线段DE的长. 由$\triangle EBD \cong \triangle ABO$，得$DE = OA = 8$.
