1. (2024 江西中考)如图,一小球从斜坡 O 点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数$y= ax^{2}+bx(a＜0)$刻画,斜坡可以用一次函数$y= \frac {1}{4}x$刻画,小球飞行的水平距离 x(m)与小球飞行的高度 y(m)的变化规律如表:

(1)①$m= $____,$n= $____;
②小球的落点是 A,求点 A 的坐标;
(2)小球飞行高度 y(m)与飞行时间 t(秒)满足关系:$y= -5t^{2}+vt$.
①小球飞行的最大高度为____m;
②求 v 的值.

解：(1)①由表格可知，抛物线的对称轴为 $ x = 4 $，$\therefore m = 3$，$n = 6$；
②该二次函数可设为 $ y = a(x - 4)^2 + 8 $，
把 $(0,0)$ 代入，得 $ 0 = a(0 - 4)^2 + 8 $，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
联立 $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8, \\ y = \frac{1}{4}x, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x = 0, \\ y = 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x = \frac{15}{2}, \\ y = \frac{15}{8}, \end{cases}$
$\therefore$ 点 $ A $ 的坐标是 $(\frac{15}{2}, \frac{15}{8})$；
(2)①由题干可知小球飞行最大高度为 $ 8 $ m；
② $\because y = -5t^2 + vt = -5(t - \frac{v}{10})^2 + \frac{v^2}{20}$，
$\therefore \frac{v^2}{20} = 8$，解得 $ v = 4\sqrt{10} $（负值舍去）。

2. (2024 陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索$L_{1}与缆索L_{2}$均呈抛物线形,桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面,如图所示,以 O 为原点,以直线$FF'$为 x 轴,以桥塔 AO 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索$L_{1}所在抛物线与缆索L_{2}$所在抛物线关于 y 轴对称,桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离$OC= 100m,AO= BC= 17m$,缆索$L_{1}$的最低点 P 到$FF'的距离PD= 2m$.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$L_{1}$所在抛物线的函数解析式;
(2)点 E 在缆索$L_{2}$上,$EF⊥FF'$,且$EF= 2.6m,FO\lt OD$,求 FO 的长.

解：(1)由题意，
$\because AO = 17$ m，$\therefore A(0,17)$。
$\because OC = 100$ m，$AO = BC$，缆索 $ L_1 $ 的最低点 $ P $ 到 $ FF' $ 的距离 $ PD = 2 $ m，
$\therefore$ 抛物线 $ L_1 $ 的顶点 $ P $ 为 $(50,2)$，
故可设抛物线为 $ y = a(x - 50)^2 + 2 $。
把 $(0,17)$ 代入，得 $ 2500a + 2 = 17 $，
$\therefore a = \frac{3}{500}$，$\therefore$ 缆索 $ L_1 $ 所在抛物线为 $ y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2 $；
(2)由题意，$\because$ 缆索 $ L_1 $ 所在抛物线与缆索 $ L_2 $ 所在抛物线关于 $ y $ 轴对称，又缆索 $ L_1 $ 所在抛物线为 $ y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2 $，$\therefore$ 缆索 $ L_2 $ 所在抛物线为 $ y = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2 $。
由 $ 2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2 $，
解得 $ x_1 = -40 $，$ x_2 = -60 $。
又 $ FO ＜ OD = 50 $ m，
$\therefore x = -40$。$\therefore FO $ 的长为 $ 40 $ m。