14. 甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,球拍一副定价 50 元,乒乓球每盒定价 10 元. “十一”长假期间,两家商店都搞促销活动:甲商店规定每买一副乒乓球拍赠 2 盒乒乓球;乙商店规定所有商品 9 折优惠. 某校乒乓球队需要 2 副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于 4 盒). 设该校要买乒乓球 $ x $ 盒,所需商品在甲商店购买需要 $ y _ { 1 } $ 元,在乙商店购买需要 $ y _ { 2 } $ 元.
请分别写出 $ y _ { 1 } $, $ y _ { 2 } $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并对 $ x $ 的取值情况进行分析,说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜.

解:由题意知,在甲商店购买所需商品可获赠4盒乒乓球,因此还需购买$(x - 4)$盒乒乓球,所以$y_1 = 10(x - 4) + 50 × 2 = 10x + 60$,即$y_1 = 10x + 60(x \geq 4)$.
因为乙商店规定所有商品9折优惠,所以$y_2 = 0.9(10x + 50 × 2) = 9x + 90$,即$y_2 = 9x + 90(x \geq 4)$.
在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象,如图所示.

解方程组$\left\{ \begin{array} { l } { y = 10x + 60 }, \\ { y = 9x + 90 }, \end{array} \right.$得$\left\{ \begin{array} { l } { x = 30 }, \\ { y = 360 }. \end{array} \right.$
故两函数图象交于点$(30, 360)$.
由图象可知:当$4 \leq x ＜ 30$时,$10x + 60 ＜ 9x + 90$;
当$x = 30$时,$10x + 60 = 9x + 90$;
当$x ＞ 30$时,$10x + 60 ＞ 9x + 90$.
所以当$4 \leq x ＜ 30$时,在甲商店购买所需商品比较便宜;
当$x = 30$时,在甲商店购买所需商品与在乙商店购买所需商品价钱一样;
当$x ＞ 30$时,在乙商店购买所需商品比较便宜.

15. 如图,在平面直角坐标系中, $ A ( - 1, 4 ) $, $ B ( - 4, - 1 ) $, $ C ( - 4, 4 ) $,已知 $ \triangle A _ { 1 } A C _ { 1 } $ 是由 $ \triangle ABC $ 旋转得到的.
(1)请写出旋转中心的坐标是________,旋转角是________ $ ^ { \circ } $;
(2)以(1)中的旋转中心为中心,分别画出 $ \triangle A _ { 1 } A C _ { 1 } $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $, $ 180 ^ { \circ } $ 的三角形;
(3)设 $ \mathrm { Rt } \triangle ABC $ 的两直角边 $ BC = a $, $ AC = b $,斜边 $ AB = c $,利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.

解:(1)$(0,0)$ 90
(2)画出的图形如图:

(3)由旋转的过程可知,四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$是正方形.
因为$S_{正方形CC_1C_2C_3} = S_{正方形AA_1A_2B} + 4S_{\triangle ABC}$,
所以$(a + b)^2 = c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,
即$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$,所以$a^2 + b^2 = c^2$.