16. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,某超市为了满足人们的需求,计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售. 经了解,每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多$2$元,用$1000元购进甲种粽子的个数与用1200$元购进乙种粽子的个数相同.
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?
(2)该超市计划购进这两种粽子共$200$个(两种都有),其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的$2$倍,若甲、乙两种粽子的售价分别为$12$元/个、$15$元/个,设购进甲种粽子$m$个,两种粽子全部售完时获得的利润为$W$元.
①求$W与m$的函数关系式,并求出$m$的取值范围;
②超市应如何进货才能获得最大利润? 最大利润是多少元?

解 (1)设每个甲种粽子的进价为$x$元，则每个乙种粽子的进价为$(x+2)$元，根据题意得，$\frac {1000}{x}=\frac {1200}{x+2}$，解得$x=10$，经检验，$x=10$是原方程的根，此时$x+2=12$．
故每个甲种粽子的进价为$10$元，每个乙种粽子的进价为$12$元．
(2)①购进甲种粽子$m$个，则购进乙种粽子$(200-m)$个，根据题意得，$W=(12-10)m+(15-12)(200-m)=2m+600-3m=-m+600$．
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的$2$倍，
∴$m\geqslant 2(200-m)$，解得$m\geqslant \frac {400}{3}$，
∴$\frac {400}{3}\leqslant m＜200$（$m$为正整数）．
②由①知，$W=-m+600$，$-1＜0$，
∴$W$随$m$的增大而减小．
∵$m$为正整数，∴当$m=134$时，$W$有最大值，最大值为$466$，此时$200-134=66$，∴购进甲种粽子$134$个，乙种粽子$66$个时利润最大，最大利润为$466$元．