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七、解决问题。
1. 某校六年级有$340$名学生参加国家学生体质健康标准测试，达标率为$95\%$。达标的学生有多少人？
1. 某校六年级有$340$名学生参加国家学生体质健康标准测试，达标率为$95\%$。达标的学生有多少人？
答案
$340\times95\% = 323（$人）
答：达标学生有323人。
答：达标学生有323人。
解析
【分析】
这道题是典型的百分数应用问题，解题关键是理解达标率的含义：达标率表示达标的人数占总人数的百分比，由此可推导出达标人数的计算公式为“达标人数=总人数×达标率”。已知总人数是340名，达标率为95%，只需代入公式计算即可得到达标的学生人数。
【解析】
根据达标人数的计算公式：达标人数=总人数×达标率，代入已知数据：
$340×95\% = 340×0.95 = 323$（人）
答：达标学生有323人。
【答案】
323人
【知识点】
百分数的应用（求一个数的百分之几）
【点评】
本题考查百分数的基础应用，核心是理解达标率的意义，掌握“求一个数的百分之几是多少用乘法计算”的方法，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.9
这道题是典型的百分数应用问题，解题关键是理解达标率的含义：达标率表示达标的人数占总人数的百分比，由此可推导出达标人数的计算公式为“达标人数=总人数×达标率”。已知总人数是340名，达标率为95%，只需代入公式计算即可得到达标的学生人数。
【解析】
根据达标人数的计算公式：达标人数=总人数×达标率，代入已知数据：
$340×95\% = 340×0.95 = 323$（人）
答：达标学生有323人。
【答案】
323人
【知识点】
百分数的应用（求一个数的百分之几）
【点评】
本题考查百分数的基础应用，核心是理解达标率的意义，掌握“求一个数的百分之几是多少用乘法计算”的方法，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.9
2. 一种电线长$20\ \mathrm{m}$，重$50\ \mathrm{kg}$，照这样计算，$215\ \mathrm{kg}$这样的电线长多少米？（用比例的知识解答）
答案
解:设电线长x米。
20:50=x:215
解得x=86
答:电线长86米。
解析
【分析】
这道题是比例知识的实际应用，首先要判断两个量的比例关系：因为电线的单位长度重量是固定不变的，也就是电线的重量与长度的比值一定，所以电线的长度和重量成正比例关系。解题时，我们可以设所求的长度为未知数，根据正比例关系列出比例式，再利用比例的基本性质求解即可。
【解析】
解：设215kg这样的电线长$ x $米。
因为电线的重量和长度成正比例，所以可列比例：
$ 20:50 = x:215 $
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$ 50x = 20×215 $
计算得：$ 50x = 4300 $
两边同时除以50：$ x = 4300÷50 = 86 $
答：215kg这样的电线长86米。
【答案】
86米
【知识点】
正比例的应用、比例的基本性质
【点评】
本题主要考查正比例关系在实际问题中的应用，解题关键是准确判断出电线长度与重量成正比例关系，通过列比例式并利用比例基本性质求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这道题是比例知识的实际应用，首先要判断两个量的比例关系：因为电线的单位长度重量是固定不变的，也就是电线的重量与长度的比值一定，所以电线的长度和重量成正比例关系。解题时，我们可以设所求的长度为未知数，根据正比例关系列出比例式，再利用比例的基本性质求解即可。
【解析】
解：设215kg这样的电线长$ x $米。
因为电线的重量和长度成正比例，所以可列比例：
$ 20:50 = x:215 $
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$ 50x = 20×215 $
计算得：$ 50x = 4300 $
两边同时除以50：$ x = 4300÷50 = 86 $
答：215kg这样的电线长86米。
【答案】
86米
【知识点】
正比例的应用、比例的基本性质
【点评】
本题主要考查正比例关系在实际问题中的应用，解题关键是准确判断出电线长度与重量成正比例关系，通过列比例式并利用比例基本性质求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 要将教学楼一楼走廊上的$20$根长方体柱子漆上油漆，每根柱子底面是边长为$0.4\ \mathrm{m}$的正方形，高是$5\ \mathrm{m}$。一共需要漆多少平方米？
答案
$0.4\times5\times4\times20 = 160（$平方米）
答：一共需要漆160平方米。
答：一共需要漆160平方米。
解析
【分析】
首先要明确，给柱子漆油漆时，柱子的上下底面与地面、天花板接触，不需要油漆，所以只需计算长方体柱子的侧面积。
1. 先计算一根柱子的侧面积：底面是边长0.4m的正方形，四个侧面面积相等，每个侧面是长5m、宽0.4m的长方形，单个侧面面积为$0.4×5$，四个侧面的面积和就是$0.4×5×4$；
2. 再计算20根柱子的总油漆面积，用单根柱子的侧面积乘以20即可。
【解析】
综合算式计算：
$0.4×5×4×20$
$=2×4×20$
$=8×20$
$=160$（平方米）
答：一共需要漆160平方米。
【答案】
160平方米
【知识点】
长方体侧面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题考查长方体侧面积在实际生活中的应用，解题关键是结合实际场景，明确油漆部分为柱子侧面积，避免误算上下底面，掌握长方体侧面积计算方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
首先要明确，给柱子漆油漆时，柱子的上下底面与地面、天花板接触，不需要油漆，所以只需计算长方体柱子的侧面积。
1. 先计算一根柱子的侧面积：底面是边长0.4m的正方形，四个侧面面积相等，每个侧面是长5m、宽0.4m的长方形，单个侧面面积为$0.4×5$，四个侧面的面积和就是$0.4×5×4$；
2. 再计算20根柱子的总油漆面积，用单根柱子的侧面积乘以20即可。
【解析】
综合算式计算：
$0.4×5×4×20$
$=2×4×20$
$=8×20$
$=160$（平方米）
答：一共需要漆160平方米。
【答案】
160平方米
【知识点】
长方体侧面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题考查长方体侧面积在实际生活中的应用，解题关键是结合实际场景，明确油漆部分为柱子侧面积，避免误算上下底面，掌握长方体侧面积计算方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
4. 某商店$2025$年下半年的营业额是$280$万元，下半年的营业额比上半年增加$\dfrac{1}{4}$，上半年的营业额是多少万元？
答案
$280\div(1+\frac{1}{4}) = 224（$万元）
答：上半年的营业额是224万元。
答：上半年的营业额是224万元。
解析
【分析】
首先要明确题目中的单位“1”，这里把上半年的营业额看作单位“1”。下半年的营业额比上半年增加$\frac{1}{4}$，说明下半年的营业额是上半年的$(1+\frac{1}{4})$倍。已知下半年营业额为280万元，要求单位“1”（上半年营业额），根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，我们可以用下半年的营业额除以它对应的分率$(1+\frac{1}{4})$来计算。
【解析】
1. 确定单位“1”：把上半年的营业额看作单位“1”，该量未知。
2. 计算下半年营业额对应的分率：$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
3. 根据数量关系列式计算：
$280÷(1+\frac{1}{4})$
$=280÷\frac{5}{4}$
$=280×\frac{4}{5}$
$=224$（万元）
答：上半年的营业额是224万元。
【答案】
224万元
【知识点】
分数除法应用题、单位“1”的确定
【点评】
本题是典型的“已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数”的分数除法应用题，解题关键是准确找准单位“1”，理清数量之间的分率关系，通过除法运算求出单位“1”的量，考查学生对分数除法意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
首先要明确题目中的单位“1”，这里把上半年的营业额看作单位“1”。下半年的营业额比上半年增加$\frac{1}{4}$，说明下半年的营业额是上半年的$(1+\frac{1}{4})$倍。已知下半年营业额为280万元，要求单位“1”（上半年营业额），根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，我们可以用下半年的营业额除以它对应的分率$(1+\frac{1}{4})$来计算。
【解析】
1. 确定单位“1”：把上半年的营业额看作单位“1”，该量未知。
2. 计算下半年营业额对应的分率：$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
3. 根据数量关系列式计算：
$280÷(1+\frac{1}{4})$
$=280÷\frac{5}{4}$
$=280×\frac{4}{5}$
$=224$（万元）
答：上半年的营业额是224万元。
【答案】
224万元
【知识点】
分数除法应用题、单位“1”的确定
【点评】
本题是典型的“已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数”的分数除法应用题，解题关键是准确找准单位“1”，理清数量之间的分率关系，通过除法运算求出单位“1”的量，考查学生对分数除法意义的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 在一个底面直径为$20\ \mathrm{cm}$，高为$30\ \mathrm{cm}$，水深$16\ \mathrm{cm}$的圆柱形玻璃缸中放入一个底面直径为$10\ \mathrm{cm}$的圆锥形铁块（如下图），完全浸没，水面上升了$1\ \mathrm{cm}$。
（1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？
（2）圆锥形铁块的高是多少厘米？
（1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？
（2）圆锥形铁块的高是多少厘米？
答案
$3.14\times(20\div2)^2\times1 = 314（$立方厘米）
答：圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
$314\times3\div[3.14\times(10\div2)^2] = 12（$厘米）
答：圆锥形铁块的高是12厘米。
答：圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
$314\times3\div[3.14\times(10\div2)^2] = 12（$厘米）
答：圆锥形铁块的高是12厘米。
解析
【分析】
（1）当圆锥形铁块完全浸没在水中时，水面上升部分的圆柱体积就等于圆锥形铁块的体积。我们可以先求出圆柱形玻璃缸的底面积，再乘水面上升的高度，即可得到圆锥的体积。
（2）已知圆锥的体积，根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是圆锥底面积，$h$是圆锥的高），变形可得$h=3V÷S$。先求出圆锥的底面积，再代入公式计算就能得到圆锥的高。
【解析】
（1）计算圆锥形铁块的体积：
圆柱形玻璃缸的底面半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
玻璃缸的底面积：$3.14×10^2=314(\mathrm{cm}^2)$
圆锥的体积（即水面上升的体积）：$314×1=314(\mathrm{立方厘米})$
答：圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
（2）计算圆锥形铁块的高：
圆锥形铁块的底面半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
圆锥的底面积：$3.14×5^2=78.5(\mathrm{cm}^2)$
根据圆锥体积公式变形可得高：$314×3÷78.5=12(\mathrm{厘米})$
答：圆锥形铁块的高是12厘米。
【答案】
（1）314立方厘米；（2）12厘米
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，以及圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，核心是理解“完全浸没时，水面上升的体积等于物体体积”这一关键等量关系。
【难度系数】
0.6
（1）当圆锥形铁块完全浸没在水中时，水面上升部分的圆柱体积就等于圆锥形铁块的体积。我们可以先求出圆柱形玻璃缸的底面积，再乘水面上升的高度，即可得到圆锥的体积。
（2）已知圆锥的体积，根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是圆锥底面积，$h$是圆锥的高），变形可得$h=3V÷S$。先求出圆锥的底面积，再代入公式计算就能得到圆锥的高。
【解析】
（1）计算圆锥形铁块的体积：
圆柱形玻璃缸的底面半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
玻璃缸的底面积：$3.14×10^2=314(\mathrm{cm}^2)$
圆锥的体积（即水面上升的体积）：$314×1=314(\mathrm{立方厘米})$
答：圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
（2）计算圆锥形铁块的高：
圆锥形铁块的底面半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
圆锥的底面积：$3.14×5^2=78.5(\mathrm{cm}^2)$
根据圆锥体积公式变形可得高：$314×3÷78.5=12(\mathrm{厘米})$
答：圆锥形铁块的高是12厘米。
【答案】
（1）314立方厘米；（2）12厘米
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，以及圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，核心是理解“完全浸没时，水面上升的体积等于物体体积”这一关键等量关系。
【难度系数】
0.6
