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10. 如图，三条直线 $AD$，$BE$，$CF$ 相交于点 $O$. 设 $∠ AOC = 150^{\circ}$，$∠ COE = 130^{\circ}$，求 $∠ AOB$ 的度数.
答案
10. 100°.
解析
【解析】
1. 由平角的定义，AD为直线，故$∠ AOC + ∠ COD = 180^{\circ}$。
已知$∠ AOC = 150^{\circ}$，代入得：$∠ COD = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$。
2. 同理，BE为直线，$∠ COE + ∠ BOC = 180^{\circ}$。
已知$∠ COE = 130^{\circ}$，代入得：$∠ BOC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$。
3. 因为AD为直线，$∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD = 180^{\circ}$，将$∠ BOC=50^{\circ}$，$∠ COD=30^{\circ}$代入得：
$∠ AOB = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 30^{\circ} = 100^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{100^{\circ}}$
【知识点】
平角的定义，角的和差运算
【点评】
本题考查平角性质与角的和差计算，解题关键是利用平角为$180^{\circ}$的性质，结合已知角逐步推导，求出目标角的度数。
1. 由平角的定义，AD为直线，故$∠ AOC + ∠ COD = 180^{\circ}$。
已知$∠ AOC = 150^{\circ}$，代入得：$∠ COD = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$。
2. 同理，BE为直线，$∠ COE + ∠ BOC = 180^{\circ}$。
已知$∠ COE = 130^{\circ}$，代入得：$∠ BOC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$。
3. 因为AD为直线，$∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD = 180^{\circ}$，将$∠ BOC=50^{\circ}$，$∠ COD=30^{\circ}$代入得：
$∠ AOB = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 30^{\circ} = 100^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{100^{\circ}}$
【知识点】
平角的定义，角的和差运算
【点评】
本题考查平角性质与角的和差计算，解题关键是利用平角为$180^{\circ}$的性质，结合已知角逐步推导，求出目标角的度数。
11. 如图，直线 $MD$，$CN$ 相交于点 $O$，$OA$ 是 $∠ COM$ 内的一条射线，$OB$ 是 $∠ DON$ 内的一条射线，$∠ MON = 70^{\circ}$.
（1）若 $∠ BOD = \frac{1}{2}∠ COD$，求 $∠ BON$ 的度数.
（2）若 $∠ AOD = 2∠ BOD$，$∠ BOC = 3∠ AOC$，求 $∠ BON$ 的度数.
（1）若 $∠ BOD = \frac{1}{2}∠ COD$，求 $∠ BON$ 的度数.
（2）若 $∠ AOD = 2∠ BOD$，$∠ BOC = 3∠ AOC$，求 $∠ BON$ 的度数.
答案
11. (1) 75°. (2) 54°.
解析
【解析】
（1）因为直线$MD$，$CN$相交于点$O$，根据对顶角相等，得$∠ COD = ∠ MON = 70^{\circ}$。
已知$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ COD$，则$∠ BOD = \frac{1}{2} × 70^{\circ} = 35^{\circ}$。
根据平角定义，$∠ DON = 180^{\circ} - ∠ COD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$，
所以$∠ BON = ∠ DON - ∠ BOD = 110^{\circ} - 35^{\circ} = 75^{\circ}$。
（2）设$∠ AOC = x$，则$∠ BOC = 3x$。
由直线$MD$，$CN$相交于点$O$，$∠ MON = 70^{\circ}$，根据对顶角相等得$∠ COD = ∠ MON = 70^{\circ}$，根据平角定义得$∠ COM = 180^{\circ} - ∠ MON = 110^{\circ}$。
$∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 3x - 70^{\circ}$，
$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = x + 70^{\circ}$。
已知$∠ AOD = 2∠ BOD$，则$x + 70^{\circ} = 2(3x - 70^{\circ})$，
解得$x = 42^{\circ}$，所以$∠ BOD = 3 × 42^{\circ} - 70^{\circ} = 56^{\circ}$。
根据对顶角相等，$∠ DON = ∠ COM = 110^{\circ}$，
所以$∠ BON = ∠ DON - ∠ BOD = 110^{\circ} - 56^{\circ} = 54^{\circ}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{75^{\circ}}$；（2）$\boldsymbol{54^{\circ}}$
【知识点】
对顶角相等；平角定义；角的和差计算
【点评】
本题考查对顶角、平角的性质及角的和差运算，通过设未知数构建方程求解是解题关键，需准确梳理角之间的数量关系。
（1）因为直线$MD$，$CN$相交于点$O$，根据对顶角相等，得$∠ COD = ∠ MON = 70^{\circ}$。
已知$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ COD$，则$∠ BOD = \frac{1}{2} × 70^{\circ} = 35^{\circ}$。
根据平角定义，$∠ DON = 180^{\circ} - ∠ COD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$，
所以$∠ BON = ∠ DON - ∠ BOD = 110^{\circ} - 35^{\circ} = 75^{\circ}$。
（2）设$∠ AOC = x$，则$∠ BOC = 3x$。
由直线$MD$，$CN$相交于点$O$，$∠ MON = 70^{\circ}$，根据对顶角相等得$∠ COD = ∠ MON = 70^{\circ}$，根据平角定义得$∠ COM = 180^{\circ} - ∠ MON = 110^{\circ}$。
$∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 3x - 70^{\circ}$，
$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = x + 70^{\circ}$。
已知$∠ AOD = 2∠ BOD$，则$x + 70^{\circ} = 2(3x - 70^{\circ})$，
解得$x = 42^{\circ}$，所以$∠ BOD = 3 × 42^{\circ} - 70^{\circ} = 56^{\circ}$。
根据对顶角相等，$∠ DON = ∠ COM = 110^{\circ}$，
所以$∠ BON = ∠ DON - ∠ BOD = 110^{\circ} - 56^{\circ} = 54^{\circ}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{75^{\circ}}$；（2）$\boldsymbol{54^{\circ}}$
【知识点】
对顶角相等；平角定义；角的和差计算
【点评】
本题考查对顶角、平角的性质及角的和差运算，通过设未知数构建方程求解是解题关键，需准确梳理角之间的数量关系。
12. 如图，在同一平面内，两条直线相交时最多有 $1$ 个交点，三条直线相交时最多有 $3$ 个交点，四条直线相交时最多有 $6$ 个交点.
（1）五条直线相交时，最多有多少个交点？
（2）猜想 $n$ 条直线相交时最多有多少个交点？（用含 $n$ 的代数式表示）
（1）五条直线相交时，最多有多少个交点？
（2）猜想 $n$ 条直线相交时最多有多少个交点？（用含 $n$ 的代数式表示）
答案
12. (1)
∵两条直线相交，最多有1个交点，
三条直线相交，最多有1 + 2 = 3个交点，
四条直线相交，最多有1 + 2 + 3 = 6个交点，
∴五条直线相交，最多有1 + 2 + 3 + 4 = 10个交点.
(2) n条直线相交，最多有1 + 2 + 3 + ⋯ + (n - 1) = $\frac{n(n - 1)}{2}$个交点.
∵两条直线相交，最多有1个交点，
三条直线相交，最多有1 + 2 = 3个交点，
四条直线相交，最多有1 + 2 + 3 = 6个交点，
∴五条直线相交，最多有1 + 2 + 3 + 4 = 10个交点.
(2) n条直线相交，最多有1 + 2 + 3 + ⋯ + (n - 1) = $\frac{n(n - 1)}{2}$个交点.
