登录
1. 如图，已知 $ OC $ 是 $ ∠ BOD $ 的平分线，$ OD ⊥ OA $，$ ∠ BOC = 32° $，则 $ ∠ AOC $ 的度数是(
A.$ 58° $
B.$ 64° $
C.$ 26° $
D.$ 68° $
A
)。A.$ 58° $
B.$ 64° $
C.$ 26° $
D.$ 68° $
答案
1.A
解析
【解析】
因为OC是∠BOD的平分线，∠BOC=32°，根据角平分线的定义，可得∠COD=∠BOC=32°。
又因为OD⊥OA，所以∠AOD=90°，
则∠AOC=∠AOD - ∠COD=90°-32°=58°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题主要考查角平分线、垂直的定义及角的和差运算，解题关键是根据相关定义找出角之间的数量关系，进而计算出所求角的度数。
因为OC是∠BOD的平分线，∠BOC=32°，根据角平分线的定义，可得∠COD=∠BOC=32°。
又因为OD⊥OA，所以∠AOD=90°，
则∠AOC=∠AOD - ∠COD=90°-32°=58°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题主要考查角平分线、垂直的定义及角的和差运算，解题关键是根据相关定义找出角之间的数量关系，进而计算出所求角的度数。
2. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ EO ⊥ CD $，垂足为 $ O $，则图中 $ ∠ AOE $ 和 $ ∠ DOB $ 的关系是(
A.互余
B.互补
C.相等
D.对顶角
A
)。A.互余
B.互补
C.相等
D.对顶角
答案
2.A
解析
【解析】
因为 $EO ⊥ CD$，所以 $∠ EOC = 90°$，即 $∠ AOE + ∠ AOC = 90°$。
又因为 $∠ AOC$ 与 $∠ DOB$ 是对顶角，根据对顶角相等，得 $∠ AOC = ∠ DOB$。
所以 $∠ AOE + ∠ DOB = 90°$，即 $∠ AOE$ 和 $∠ DOB$ 互余。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查了余角、对顶角及垂直的相关知识，解题关键是利用对顶角相等将角进行转化，从而判断两角的互余关系。
因为 $EO ⊥ CD$，所以 $∠ EOC = 90°$，即 $∠ AOE + ∠ AOC = 90°$。
又因为 $∠ AOC$ 与 $∠ DOB$ 是对顶角，根据对顶角相等，得 $∠ AOC = ∠ DOB$。
所以 $∠ AOE + ∠ DOB = 90°$，即 $∠ AOE$ 和 $∠ DOB$ 互余。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查了余角、对顶角及垂直的相关知识，解题关键是利用对顶角相等将角进行转化，从而判断两角的互余关系。
3. 如图，$ OC ⊥ AB $，垂足为 $ O $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，则图中互余的角共有(
A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对
C
)。A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对
答案
3.C
解析
【解析】
因为$OC⊥AB$，所以$∠AOC=∠COB=90°$，可得$∠1+∠AOE=90°$，$∠2+∠COD=90°$；
又因为$∠1=∠2$，通过等量代换可推出$∠2+∠AOE=90°$，$∠1+∠COD=90°$。
综上，图中互余的角共有4对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、垂直的性质
【点评】
本题考查互余角的判断，需熟练掌握余角的定义（和为90°的两个角互余），结合垂直的性质，利用等量代换找出所有互余的角，避免遗漏。
因为$OC⊥AB$，所以$∠AOC=∠COB=90°$，可得$∠1+∠AOE=90°$，$∠2+∠COD=90°$；
又因为$∠1=∠2$，通过等量代换可推出$∠2+∠AOE=90°$，$∠1+∠COD=90°$。
综上，图中互余的角共有4对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、垂直的性质
【点评】
本题考查互余角的判断，需熟练掌握余角的定义（和为90°的两个角互余），结合垂直的性质，利用等量代换找出所有互余的角，避免遗漏。
4. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，$ BC $，$ BD $ 为折痕，则 $ ∠ CBD $ 的度数是
90°
，$ BC $ 与 $ BD $ 的位置关系是互相垂直
。答案
4.90° 互相垂直
解析
【解析】
根据折叠的性质可知：$∠ABC=∠A'BC$，$∠EBD=∠E'BD$。
因为$∠ABE$是平角，即$∠ABC+∠A'BC+∠EBD+∠E'BD=180°$，
所以$2∠A'BC + 2∠E'BD=180°$，
则$∠A'BC+∠E'BD=90°$，即$∠CBD=90°$，
所以$BC$与$BD$互相垂直。
【答案】
$90°$；互相垂直
【知识点】
折叠的性质；垂直的定义
【点评】
本题借助折叠的性质构建角的等量关系，结合平角定义计算角度，进而判断直线的垂直关系，考查了对折叠性质与垂直概念的理解和运用能力。
根据折叠的性质可知：$∠ABC=∠A'BC$，$∠EBD=∠E'BD$。
因为$∠ABE$是平角，即$∠ABC+∠A'BC+∠EBD+∠E'BD=180°$，
所以$2∠A'BC + 2∠E'BD=180°$，
则$∠A'BC+∠E'BD=90°$，即$∠CBD=90°$，
所以$BC$与$BD$互相垂直。
【答案】
$90°$；互相垂直
【知识点】
折叠的性质；垂直的定义
【点评】
本题借助折叠的性质构建角的等量关系，结合平角定义计算角度，进而判断直线的垂直关系，考查了对折叠性质与垂直概念的理解和运用能力。
5. 如图，已知 $ OA ⊥ OB $，$ OC ⊥ OD $，若 $ ∠ AOD = 138° $，则 $ ∠ BOC $ 的度数是
42°
。答案
5.42°
解析
【解析】
因为$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，根据垂直的定义，可得$∠AOB=90°$，$∠COD=90°$。
由角的和差关系可知$∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = 180°$，
已知$∠AOD=138°$，所以$∠BOC=180° - 138°=42°$。
【答案】
42°
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查垂直的性质与角的运算，通过垂直得到直角，再利用角的和差关系建立等式是求解的关键。
因为$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，根据垂直的定义，可得$∠AOB=90°$，$∠COD=90°$。
由角的和差关系可知$∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = 180°$，
已知$∠AOD=138°$，所以$∠BOC=180° - 138°=42°$。
【答案】
42°
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查垂直的性质与角的运算，通过垂直得到直角，再利用角的和差关系建立等式是求解的关键。
6. 画图：在图①、图②中分别过点 $ B $，$ C $ 作 $ AD $ 的垂线段 $ BE $，$ CF $。
答案
1. 图①：
使用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与$AD$重合。
移动三角板，使三角板的另一直角边经过点$B$，沿该直角边画出直线$BE$，使其与$AD$相交于点$E$，$BE⊥ AD$。
同样，将三角板的一条直角边与$AD$重合，移动三角板使另一直角边经过点$C$，沿该直角边画出直线$CF$，使其与$AD$相交于点$F$，$CF⊥ AD$。
2. 图②：
用直尺和三角板，把三角板的一条直角边与直线$AD$重合。
移动三角板，让三角板的另一直角边通过点$C$，沿着这条直角边画出直线$CF$，与$AD$相交于点$F$，$CF⊥ AD$。
再将三角板的一条直角边与直线$AD$重合，移动三角板使另一直角边经过点$B$，沿该直角边画出直线$BE$，与$AD$相交于点$E$，$BE⊥ AD$。
使用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与$AD$重合。
移动三角板，使三角板的另一直角边经过点$B$，沿该直角边画出直线$BE$，使其与$AD$相交于点$E$，$BE⊥ AD$。
同样，将三角板的一条直角边与$AD$重合，移动三角板使另一直角边经过点$C$，沿该直角边画出直线$CF$，使其与$AD$相交于点$F$，$CF⊥ AD$。
2. 图②：
用直尺和三角板，把三角板的一条直角边与直线$AD$重合。
移动三角板，让三角板的另一直角边通过点$C$，沿着这条直角边画出直线$CF$，与$AD$相交于点$F$，$CF⊥ AD$。
再将三角板的一条直角边与直线$AD$重合，移动三角板使另一直角边经过点$B$，沿该直角边画出直线$BE$，与$AD$相交于点$E$，$BE⊥ AD$。
