一、选择题
1. 如图所示，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ △ ABC $ 三边的中点，则图中平行四边形有()。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. C

证明：
∵D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC；
DF//AC，DF=$\frac{1}{2}$AC；
EF//AB，EF=$\frac{1}{2}$AB。
∵F是BC中点，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=BF=FC，DF=AE=EC，EF=AD=DB。
∵DE//BF且DE=BF，
∴四边形DBFE是平行四边形；
∵DE//FC且DE=FC，
∴四边形DECF是平行四边形；
∵DF//AE且DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形。
综上，图中平行四边形有3个。
C

2. 四边形两条对角线长分别是 $ 10 \mathrm{ cm} $ 和 $ 8 \mathrm{ cm} $，则顺次连接各边中点所得的四边形的周长是()。

A.$ 36 \mathrm{ cm} $
B.$ 26 \mathrm{ cm} $
C.$ 18 \mathrm{ cm} $
D.$ 9 \mathrm{ cm} $

2. C

顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形两条对角线长度之和。
原四边形两条对角线长分别为 $10\ \mathrm{cm}$ 和 $8\ \mathrm{cm}$，
故所得四边形的周长为 $10 + 8 = 18\ \mathrm{cm}$。
C

3. 如图所示，$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，$ ∠ ADC $ 的平分线与边 $ AB $ 交于点 $ P $，点 $ E $ 是 $ PD $ 的中点，若 $ AD = 4 $，$ CD = 6 $，则 $ EO $ 的长为()。

A.1
B.2
C.3
D.4

3. A

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD = 6$，$AD = BC = 4$，$O$为$BD$中点。
∵$DP$平分$∠ ADC$，
∴$∠ ADP=∠ CDP$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ APD=∠ CDP$，
∴$∠ ADP=∠ APD$，
∴$AP = AD = 4$，
∴$PB=AB - AP=6 - 4=2$。
∵点$E$是$PD$的中点，$O$为$BD$中点，
∴$EO$是$△ DPB$的中位线，
∴$EO=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2 = 1$。
答案：A

二、填空题
4. 如图所示，$ A $，$ B $ 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 $ A $，$ B $ 间的距离，但绳子不够。一位同学帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接达到 $ A $，$ B $ 的点 $ C $，找到 $ AC $ 和 $ BC $ 的中点 $ D $ 和 $ E $，并且测出 $ DE $ 的长为 $ 15 \mathrm{ m} $，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离为$ \mathrm{ m} $。

4. 30

【分析】
要解决这个问题，首先观察图形，D、E分别是AC、BC的中点，由此可联想到三角形中位线的相关知识。我们的思路是：先判断DE的身份，它是△ABC的中位线，再根据三角形中位线定理，中位线长度是第三边AB长度的一半，从而通过已知的DE长度求出AB的距离。
【解析】
因为D是AC的中点，E是BC的中点，所以DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
可得$AB = 2DE$。
已知$DE = 15\ \mathrm{m}$，代入计算：
$AB = 2×15 = 30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的实际应用，通过将不可直接测量的AB距离转化为可测量的DE长度，体现了数学中的转化思想，题目较为基础，侧重对定理的理解与运用。
【难度系数】
0.8

5. 三角形的周长为 $ 30 \mathrm{ cm} $，则以各边中点为顶点的三角形周长是。

5. 15 cm

【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形中位线的性质：以原三角形各边中点为顶点的新三角形，其三边是原三角形的三条中位线。根据三角形中位线定理，中位线长度为对应原三角形边长的一半，因此新三角形的周长是原三角形周长的一半，结合原三角形周长即可求出结果。
【解析】
设原三角形为$△ ABC$，$D$、$E$、$F$分别为$AB$、$BC$、$AC$的中点，连接$DE$、$DF$、$EF$，则$△ DEF$是所求三角形。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$。
$△ DEF$的周长为：
$DE+DF+EF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$。
已知原三角形周长$AB+BC+AC=30\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{1}{2}×30=15\mathrm{cm}$。
【答案】
$15\mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，解题核心是识别出新三角形的三边为原三角形的中位线，将周长问题转化为中位线与原边长的比例关系，属于基础题型，侧重对定理的理解与简单计算能力的考查。
【难度系数】
0.8

6. 如图所示，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ BC $，$ CA $ 的中点，$ AC = 10 $，$ BC = 14 $，则四边形 $ DECF $ 的周长为。

6. 24

证明：
∵ D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线，CF = $\frac{1}{2}$AC，CE = $\frac{1}{2}$BC，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC，DE // AC，
∵ F 是 CA 的中点，
∴ CF = $\frac{1}{2}$AC = 5，
同理 CE = $\frac{1}{2}$BC = 7，DE = CF = 5，
∵ DE // AC，即 DE // FC，
∴ 四边形 DECF 是平行四边形，
∴ DF = CE = 7，
∴ 四边形 DECF 的周长 = DE + EC + CF + FD = 5 + 7 + 5 + 7 = 24。
24

三、解答题
7. 如图所示，点 $ O $ 是 $ △ ABC $ 内一点，$ D $，$ E $，$ F $，$ G $ 分别为 $ AB $，$ AC $，$ OC $，$ OB $ 的中点。若 $ OB ⊥ OC $，且 $ OA = 6 $，$ OC = 3 $，$ OB = 4 $，试求四边形 $ DEFG $ 的周长。

7. 11

解：
∵D，E，F，G分别为AB，AC，OC，OB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△OBC的中位线，DG是△ABO的中位线，EF是△ACO的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC，GF = $\frac{1}{2}$BC，DG = $\frac{1}{2}$OA，EF = $\frac{1}{2}$OA，
∴DE = GF，DG = EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵OB⊥OC，OC = 3，OB = 4，
∴BC = $\sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∵OA = 6，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5}{2}$，DG = $\frac{1}{2}$OA = 3，
∴四边形DEFG的周长 = 2(DE + DG) = 2($\frac{5}{2}$ + 3) = 11。