2. 如图，△ABC 是等腰三角形，顶角∠A = 36°，DE 是 AB 的垂直平分线。已知下列结论：
①BD 平分∠ABC；②AD = BD = BC；③AD = CD；④△BCD 的周长 = AB + BC。
其中正确的结论有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

2. C

解：
∵△ABC是等腰三角形，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
即BD平分∠ABC，①正确；
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
又AD=BD，
∴AD=BD=BC，②正确；
假设AD=CD，则∠A=∠ACD=36°，
∠BCD=∠C-∠ACD=72°-36°=36°，
∠BDC=72°，∠DBC=36°，
此时CD=BD=AD，但∠ADC=180°-∠BDC=108°，
∠A=36°，∠ACD=36°，∠ADC=108°，符合三角形内角和，
但AD=CD与AD=BD=BC矛盾（CD=BD=BC，则△BCD为等边三角形，∠C=60°≠72°），故③错误；
△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC（AB=AC），④正确。
综上，正确结论为①②④，共3个。
C

3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 108°。若 AD，AE 三等分∠BAC，则图中等腰三角形有()


A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个

3. D

证明：
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=(180°-108°)/2=36°。
∵AD，AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=108°/3=36°。
在△ABD中：∠BAD=∠B=36°，
∴AD=BD（等腰三角形）。
在△AEC中：∠EAC=∠C=36°，
∴AE=EC（等腰三角形）。
∠ADE=∠B+∠BAD=36°+36°=72°，
∠AED=∠C+∠EAC=36°+36°=72°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE（等腰三角形）。
∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠BEA=∠AED=72°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE（等腰三角形）。
∠CAD=∠DAE+∠EAC=72°，∠CDA=∠ADE=72°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴AC=CD（等腰三角形）。
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC，△ABD，△AEC，△ADE，△ABE，△ACD，共6个。
答案：D

4. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE//BC，且 DE = 8。如果点 E 是边 AC 的中点，那么 AC 的长为。

4. 16

证明：
∵ CD 平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠BCD。
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ACD = ∠EDC，
∴ DE = EC（等角对等边）。
∵ DE = 8，
∴ EC = 8。
∵ 点 E 是 AC 的中点，
∴ AC = 2EC = 2×8 = 16。
16

5. 如图，一艘船上午 9 时从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度向正西方向航行，上午 11 时到达海岛 B。从海岛 A，B 望灯塔 C，测得∠DAC = 34°，∠DBC = 68°，则从海岛 B 到灯塔 C 的距离为n mile。

5. 30

解：由题意得，船从上午9时到11时航行的时间为$11 - 9 = 2$小时，速度为$15$n mile/h，所以$AB = 15×2 = 30$n mile。
因为$∠ DAC = 34^{\circ}$，$∠ DBC = 68^{\circ}$，且$∠ DBC$是$△ ABC$的外角，所以$∠ DBC = ∠ BAC + ∠ ACB$，即$68^{\circ} = 34^{\circ} + ∠ ACB$，解得$∠ ACB = 34^{\circ}$。
所以$∠ BAC = ∠ ACB = 34^{\circ}$，故$△ ABC$是等腰三角形，$BC = AB = 30$n mile。
30

6. 如图，CE 平分∠BCD，且 CE⊥BD 于点 E，∠DAB = ∠ABD。若 AC = 24，△BCD 的周长为 34，则 BD 的长为。

6. 14

证明：
∵CE平分∠BCD，CE⊥BD，
∴CD=CB（三线合一）。
∵∠DAB=∠ABD，
∴AD=BD。
设BD=AD=x，CD=CB=y，
∵AC=AD+CD=24，
∴x+y=24。
∵△BCD的周长=CD+CB+BD=34，
∴y+y+x=34，即x+2y=34。
联立方程组：
$\begin{cases}x+y=24\\x+2y=34\end{cases}$
解得：x=14，y=10。
∴BD=14。
14

7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角不小于 60°。

7. 证明:假设一个三角形中没有一个内角大于或等于60°,则这个三角形的内角和小于 180°。这与三角形内角和定理矛盾,故假设不成立,所以一个三角形中至少有一个内角不小于 60°。

证明：假设一个三角形中所有内角都小于$60°$，则三个内角之和小于$60°×3 = 180°$。这与三角形内角和定理（三角形内角和等于$180°$）矛盾，故假设不成立，所以一个三角形中至少有一个内角不小于$60°$。

8. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，点 E 为 CA 延长线上的一点，过点 E 作 EF//AD，分别交 AB，BC 于点 P，F。
(1)求证：△AEP 是等腰三角形。
(2)若 AD = BD，求∠E 的度数。

8. (1)证明:
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD 平分∠BAC。
∴∠BAD=∠CAD。
∵EF//AD,
∴∠E=∠CAD,∠APE=∠BAD。
∴∠E=∠APE。
∴△AEP 是等腰三角形。
(2)解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
∵AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD。
由(1)知 AD⊥BC,
∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°。
∴∠E=∠CAD=45°。